تمارين في التناظر المركزي

التمرين رقم 1

MNP مثلثا و I نقطة من [NP] و I منتصف [MP] و E مناظرة A بالنسبة إلى I[cite: 3].
(1) بين أن NMEP شبه منحرف[cite: 4].
(2) ابن النقطة I منتصف [MN] و F مناظرة I بالنسبة إلى I[cite: 5]. بين أن M و E و F على استقامة واحدة[cite: 6].

التصحيح للتمرين 1:

الخطوة 1: نحدد المعطيات[cite: 3].

الخطوة 2: لإثبات أن NMEP شبه منحرف، يجب إظهار أن لديه ضلعين متوازيين[cite: 4].

الخطوة 3: لإثبات أن M و E و F على استقامة واحدة، يمكن استخدام خصائص التناظر المركزي[cite: 5, 6].

التمرين رقم 2

ABCD شبه منحرف قائما في A قاعدتاه [AB] و [CD][cite: 7].
(1) عين منتصف [AB] و G مناظرة D بالنسبة لـ O[cite: 7].
(2) بين أن (BG) عمودي على (CD)[cite: 7].
(3) المستقيمان (BG) و (CD) يتقاطعان في E . بين أن ABED مستطيل[cite: 9].

التصحيح للتمرين 2:

الخطوة 1: تحديد منتصف [AB] والنقطة G[cite: 7].

الخطوة 2: نستخدم خصائص التناظر المركزي لإثبات التعامد[cite: 7].

الخطوة 3: لإثبات أن ABED مستطيل، يجب إظهار أن جميع زواياه قائمة وأن الأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية[cite: 9].

التمرين رقم 3

ABCD متوازي أضلاع مركزه O[cite: 11].
(1) بين أن A و C من جهة و B و D من جهة أخرى متناظرة بالنسبة إلى O[cite: 12].
(2) ارسم I منتصف [BC] و E مناظرة A بالنسبة لـ O[cite: 13].
(3) بين أن (AB)//(EC)[cite: 14].
(4) استنتج أن E و D و C على استقامة واحدة[cite: 15].
(5) بين أن CE=AB[cite: 15].
(6) استنتج أن C منتصف [ED][cite: 15].
(7) ارسم I' مناظرة B بالنسبة لـ I[cite: 15].
(8) بين أن E و B و I' على استقامة واحدة[cite: 17].

التصحيح للتمرين 3:

الخطوة 1: استخدام تعريف متوازي الأضلاع وخصائص مركزه[cite: 11, 12].

الخطوة 2: بناء النقطتين I و E بناءً على التعليمات[cite: 13].

الخطوة 3: استخدام خصائص التناظر المركزي والمتوازيات لإثبات التوازي[cite: 14].

الخطوة 4: استنتاج التوازي يؤدي إلى الاستقامة[cite: 15].

الخطوة 5: خصائص التناظر المركزي تحافظ على المسافات[cite: 15].

الخطوة 6: استخدام النتائج السابقة لاستنتاج نقطة المنتصف[cite: 15].

الخطوة 7: بناء النقطة I'[cite: 15].

الخطوة 8: إثبات الاستقامة باستخدام خصائص التناظر[cite: 17].

التمرين رقم 4

ارسم شبه منحرف ABCD قاعدتاه [AB] و [CD] قائم في A و D بحيث AB=3, AD=2 و CD=4cm و I منتصف [CB][cite: 18, 19].
(1) ابن E و F مناظرتي A و D على التوالي بالنسبة لـ I[cite: 19].
(2) بين أن (AB)//(CE)[cite: 20].
(3) استنتج أن C و D و E على استقامة واحدة[cite: 21].
(4) أحسب DE[cite: 21].
(5) بين أن A و B و F على استقامة واحدة[cite: 22].
(6) أحسب AF[cite: 23].
(7) بين أن ADEF مستطيل[cite: 24].

التصحيح للتمرين 4:

الخطوة 1: رسم شبه المنحرف وتحديد E و F[cite: 18, 19].

الخطوة 2: استخدام خصائص التناظر المركزي لإثبات التوازي[cite: 20].

الخطوة 3: استنتاج الاستقامة من التوازي[cite: 21].

الخطوة 4: حساب البعد DE باستخدام خصائص التناظر[cite: 21].

الخطوة 5: إثبات الاستقامة A, B, F[cite: 22].

الخطوة 6: حساب AF[cite: 23].

الخطوة 7: إثبات أن ADEF مستطيل بالتحقق من الزوايا القائمة والأضلاع المتوازية والمتساوية[cite: 24].

التمرين رقم 5

ارسم مثلثا ABC متقايس الضلعين قمته الرئيسية A و $ABC=40^{\circ}$[cite: 28].
(1) ابن النقطة I منتصف [BC] ثم ابن النقطة E مناظرة A بالنسبة لـ I[cite: 29].
(2) ما هي صورة الزاوية ABC بالنسبة لـ I[cite: 29].
(3) استنتج أن (CB] هو منصف الزاوية ACE . أوجد ACE[cite: 30].

التصحيح للتمرين 5:

الخطوة 1: رسم المثلث وتحديد I و E[cite: 28, 29].

الخطوة 2: تحديد صورة الزاوية باستخدام خصائص التناظر المركزي[cite: 29].

الخطوة 3: استنتاج المنصف وحساب الزاوية ACE[cite: 30].

التمرين رقم 6

مثلثا ABC بحيث ABC=50°, BAC=70°, AB=5cm[cite: 33].
(1) ارسم I بحيث تكون A و B متناظرتان بالنسبة لـ I[cite: 34].

وابن D مناظرة C بالنسبة لـ I[cite: 35].

(2) بين أن (AD)//(BC) واستنتج أن ADBC متوازي أضلاع[cite: 35].
(3) ما هو مناظر كل من BAC, ACB, ABC بالنسبة لـ I[cite: 35].
(4) استنتج أن ACB + DAC = 180° وأن CAD=BC[cite: 37, 38, 39].

التصحيح للتمرين 6:

الخطوة 1: رسم المثلث وتحديد النقطتين I و D[cite: 33, 34, 35].

الخطوة 2: إثبات التوازي وأن الشكل متوازي أضلاع[cite: 35].

الخطوة 3: تحديد مناظر الزوايا باستخدام خصائص التناظر[cite: 35].

الخطوة 4: استنتاج العلاقات بين الزوايا والأضلاع[cite: 37, 38, 39].

التمرين رقم 7

ABC مثلثا متقايس الضلعين قمته الرئيسية A و A' الموسط العمودي لـ [BC][cite: 41].
(1) بين أن A نقطة من A'[cite: 42].
(2) ابن منتصف [AB] و M' مناظرتها بالنسبة لـ A. بين أن A و C متناظرتان بالنسبة لـ M'[cite: 43].
(3) ابن B' مناظرة B بالنسبة لـ M ثم بين أن (B'C)//(AB)[cite: 45].
(4) بين أن (AB) و (BC) متناظران بالنسبة لـ M[cite: 45].
(5) المستقيم (CM) يقطع (AB) في C'. بين أن M هي منتصف [C'C][cite: 46].
(6) بين أن BAC = C'AB وأن BAC = ABC[cite: 47].
(7) ابن الدائرة (C) التي مركزها B و شعاعها CB ثم الدائرة (C') التي مركزها C و شعاعها BC[cite: 48].
(8) بين أن الدائرتين (C) و (C') متناظرتان بالنسبة لـ A[cite: 49].

التصحيح للتمرين 7:

الخطوة 1: استخدام تعريف الموسط العمودي[cite: 41, 42].

الخطوة 2: بناء النقطة M' وإثبات التناظر[cite: 43, 44].

الخطوة 3: بناء B' وإثبات التوازي[cite: 45].

الخطوة 4: إثبات تناظر المستقيمين[cite: 45].

الخطوة 5: إثبات أن M هي المنتصف[cite: 46].

الخطوة 6: إثبات تساوي الزوايا[cite: 47].

الخطوة 7: بناء الدائرتين[cite: 48].

الخطوة 8: إثبات تناظر الدائرتين[cite: 49].

التمرين رقم 8

ارسم دائرة (C) مركزها O و شعاعها 2 ثم عين عليها النقطة I بحيث OI=1.5cm[cite: 51, 52].
(1) ابن الدائرة (C') التي مركزها O' مناظرة (C) بالنسبة لـ I[cite: 52].
(2) ما هي الوضعية النسبية للدائرتين[cite: 52].
(3) لتكن A و B نقطتي تقاطع الدائرتين[cite: 52].

بين أن A و B متناظرتين بالنسبة إلى I[cite: 53].

(4) بين أن (OB)//(OA)[cite: 54].
(5) المستقيم (AO) يقطع (C) في نقطة ثانية M. ابن مناظرة M بالنسبة لـ I ثم بين أن B و M متقابلتان قطريا[cite: 55, 56].

التصحيح للتمرين 8:

الخطوة 1: رسم الدائرة (C) وتحديد I، ثم بناء الدائرة (C')[cite: 51, 52].

الخطوة 2: تحديد الوضعية النسبية للدائرتين بناءً على البعد بين المركزين والشعاعين[cite: 52].

الخطوة 3: إثبات تناظر A و B بالنسبة لـ I[cite: 53].

الخطوة 4: إثبات التوازي (OB)//(OA)[cite: 54].

الخطوة 5: بناء مناظرة M وإثبات أنها نقطتان متقابلتان قطريًا[cite: 55, 56].

التمرين رقم 9

(C) و (C') دائرتان خارجيتان مركزاهما على التوالي A و B ولهما نفس الشعاع 2cm[cite: 57].
(1) ابن I بحيث تكون الدائرة (C) مناظرة الدائرة (C') بالنسبة لـ I[cite: 58].
(2) [AB] يقطع (C) في E و (C') في F[cite: 59].

بين أن E و F متناظرتان بالنسبة لـ I[cite: 60].

(3) الموسط العمودي لـ [AE] يقطع [AE] في O[cite: 60].
(4) الموسط العمودي [BF] يقطع [BF] في O'[cite: 61, 62].

أ) بين أن O و O' متناظرتان بالنسبة لـ I[cite: 63].
ب) بين أن (OO') // (AB)[cite: 63].
ج) استنتج أن A و A' متناظران بالنسبة لـ I[cite: 63].

التصحيح للتمرين 9:

الخطوة 1: رسم الدائرتين وبناء I[cite: 57, 58].

الخطوة 2: تحديد نقاط التقاطع E و F وإثبات التناظر[cite: 59, 60].

الخطوة 3: تحديد O منتصف [AE][cite: 60].

الخطوة 4: تحديد O' منتصف [BF][cite: 61, 62].

الخطوة 5: إثبات تناظر O و O'[cite: 63].

الخطوة 6: إثبات التوازي (OO') // (AB)[cite: 63].

الخطوة 7: استنتاج تناظر A و A'[cite: 63].

التمرين رقم 10

(1) ارسم مستقيما A و عين عليه نقطة B لا تنتمي إلى A ثم ابن النقطة C مناظرة B بالنسبة لـ A[cite: 64].
(2) عين نقطة A' من A لا تنتمي إلى (BC) . ما هو نوع المثلث ABC؟[cite: 65].
(3) عين النقطة I منتصف [AB] ثم ابن I' مناظرة I بالنسبة إلى A . بين أن I' هي منتصف [AC][cite: 67, 68].
(4) المستقيم (IC) يقطع A' في K . بين أن J و B و K على استقامة واحدة[cite: 69].
(5) بين أن C مناظرة C' بالنسبة إلى I[cite: 70].
(6) أثبت أن AC=BC[cite: 70].
(7) بين أن ICA = IC'A = ICB = IC'B[cite: 71].

التصحيح للتمرين 10:

الخطوة 1: رسم المستقيم A وتعيين B و C[cite: 64].

الخطوة 2: تعيين A' وتحديد نوع المثلث ABC[cite: 65].

الخطوة 3: تحديد I و I' وإثبات أن I' منتصف [AC][cite: 67, 68].

الخطوة 4: إثبات استقامة J, B, K[cite: 69].

الخطوة 5: إثبات تناظر C و C'[cite: 70].

الخطوة 6: إثبات تساوي AC و BC[cite: 70].

الخطوة 7: إثبات تساوي الزوايا[cite: 71].

التمرين رقم 11

(1) ابن مثلثا ABC بحيث AB=3cm, AC=5cm, BC=6cm[cite: 73].
(2) ابن Δ الموسط العمودي لـ [BC] حيث يقطع [BC] في I و [AC] في J[cite: 74].
(3) ابن E مناظرة A بالنسبة إلى Δ ثم بين أن EC=3cm[cite: 74, 75].
(4) بين أن (AE)//(BC) و أن BAI = IEC[cite: 76].
(5) بين أن E و J و B على استقامة واحدة[cite: 77].
(6) ابن F مناظرة A بالنسبة لـ I ثم بين أن (CF) // (AB) و أن CF=AB[cite: 77].
(7) بين أن IFC = IEC ثم استنتج نوع المثلث ECF[cite: 77].
(8) لتكن P نقطة من (IM) , (CF) يقطع (AB) في Q . بين أن I منتصف [PQ][cite: 78].
(9) بين أن (CQ)//(BF)[cite: 79].

التصحيح للتمرين 11:

الخطوة 1: رسم المثلث ABC[cite: 73].

الخطوة 2: بناء الموسط العمودي Δ وتحديد I و J[cite: 74].

الخطوة 3: بناء E وإثبات EC=3cm[cite: 74, 75].

الخطوة 4: إثبات التوازي وتساوي الزوايا[cite: 76].

الخطوة 5: إثبات استقامة E, J, B[cite: 77].

الخطوة 6: بناء F وإثبات التوازي وتساوي الأضلاع[cite: 77].

الخطوة 7: إثبات تساوي الزوايا وتحديد نوع المثلث ECF[cite: 77].

الخطوة 8: تحديد نقطتي P و Q وإثبات أن I منتصف [PQ][cite: 78].

الخطوة 9: إثبات التوازي (CQ)//(BF)[cite: 79].

التمرين رقم 12

نعتبر مثلثا ABC قائما في A بحيث AB=AC و Δ الموسط العمودي لـ [AB] يقطع [AB] في I[cite: 81, 82].
(1) ابن النقطة D مناظرة C بالنسبة إلى I[cite: 83].
(2) أوجد مناظر كل من (AC) و (BC) و (IC) بالنسبة إلى I[cite: 84].
(3) استنتج طبيعة الرباعي ABCD[cite: 84].
(4) أوجد مناظرة الزاوية ACI بالنسبة إلى I ثم بين أن DBI = 90°[cite: 85].
(5) لتكن E منتصف [AC] و F منتصف [BD][cite: 85].

بين أن I و E و F على استقامة واحدة[cite: 86].

(6) Δ يقطع (BC) في O ويقطع [AD] في O'[cite: 86].

بين أن I منتصف [OO'][cite: 87].

(7) لتكن (C) الدائرة التي مركزها B و تمر من A. حدد مناظرة الدائرة (C) بالنسبة إلى I[cite: 87].

التصحيح للتمرين 12:

الخطوة 1: رسم المثلث وتحديد I، ثم بناء D[cite: 81, 82, 83].

الخطوة 2: تحديد مناظر المستقيمات باستخدام خصائص التناظر[cite: 84].

الخطوة 3: استنتاج طبيعة الرباعي ABCD[cite: 84].

الخطوة 4: تحديد مناظرة الزاوية وإثبات أن DBI = 90°[cite: 85].

الخطوة 5: تحديد E و F، وإثبات استقامة I, E, F[cite: 85, 86].

الخطوة 6: تحديد O و O'، وإثبات أن I منتصف [OO'][cite: 86, 87].

الخطوة 7: تحديد مناظرة الدائرة (C)[cite: 87].

التمرين رقم 13

نعتبر مثلثا ABC قائما في A بحيث AB=AC و I منتصف [AB] و Δ الموسط العمودي لـ [AB][cite: 89, 90].
(1) (أ) ابن D مناظرة C بالنسبة لـ I و E مناظرة C بالنسبة إلى Δ[cite: 91].
(2) حدد مناظر المجموعات التالية بالنسبة إلى I: (IC), [CD], [BC], [AC][cite: 92].
(3) حدد مناظر المجموعات التالية بالنسبة إلى Δ: (IC), [CD], [BC], [AC][cite: 92].
(4) بين أن BD=AC و أن AC=BE[cite: 92].
(5) بين أن (BD)//(AC) وأن (BE)//(AC)[cite: 92].
(6) استنتج أن B هي منتصف [ED][cite: 93].
(7) بين أن BEI = BDI ثم أن ACI = BDI[cite: 94].

التصحيح للتمرين 13:

الخطوة 1: رسم المثلث وتحديد I، ثم بناء D و E[cite: 89, 90, 91].

الخطوة 2: تحديد مناظر المجموعات بالنسبة إلى I[cite: 92].

الخطوة 3: تحديد مناظر المجموعات بالنسبة إلى Δ[cite: 92].

الخطوة 4: إثبات تساوي الأطوال[cite: 92].

الخطوة 5: إثبات التوازي[cite: 92].

الخطوة 6: استنتاج أن B هي المنتصف[cite: 93].

الخطوة 7: إثبات تساوي الزوايا[cite: 94].

التمرين رقم 14

ABC مثلث و M منتصف [BC] و I منتصف [AM][cite: 97].
(1) ارسم E و F مناظرتي B و C على التوالي بالنسبة إلى I[cite: 98].

بين أن E و F متناظرتان بالنسبة إلى A[cite: 99, 100].

(2) بين أن AB=ME[cite: 101].
(3) بين أن (AC)//(MF)[cite: 102].
(4) بين أن IBC = IEA[cite: 103].

التصحيح للتمرين 14:

الخطوة 1: رسم المثلث وتحديد M و I، ثم بناء E و F[cite: 97, 98].

الخطوة 2: إثبات تناظر E و F بالنسبة إلى A[cite: 99, 100].

الخطوة 3: إثبات تساوي الأطوال AB=ME[cite: 101].

الخطوة 4: إثبات التوازي (AC)//(MF)[cite: 102].

الخطوة 5: إثبات تساوي الزوايا IBC = IEA[cite: 103].

التمرين رقم 15

ليكن ABC مثلثا حيثث AB=6cm, BC=5cm, AC=4cm[cite: 105, 106].
(1) ارسم D و E مناظرتي A و C على التوالي بالنسبة إلى B[cite: 107].

بين أن DE=4cm[cite: 108].

(2) بين أن (AE)//(CD)[cite: 109].
(3) لتكن نقطة M من (AE) . ارسم المستقيم (MB) حيث يقطع (CD) في N . بين أن B هي منتصف [MN][cite: 110, 111, 112].
(4) ارسم الارتفاع [AH] للمثلث ABC و الارتفاع [DK] للمثلث BED[cite: 112].

أ) بين أن (AH) // (DK)[cite: 113].
ب) بين أن (AH) و (DK) متناظران بالنسبة إلى B[cite: 113].
ت) استنتج مناظرة H بالنسبة إلى B[cite: 113].

التصحيح للتمرين 15:

الخطوة 1: رسم المثلث وتحديد D و E[cite: 105, 106, 107].

الخطوة 2: إثبات أن DE=4cm[cite: 108].

الخطوة 3: إثبات التوازي (AE)//(CD)[cite: 109].

الخطوة 4: تحديد M و N، وإثبات أن B منتصف [MN][cite: 110, 111, 112].

الخطوة 5: رسم الارتفاعين [AH] و [DK][cite: 112].

الخطوة 6: إثبات التوازي (AH) // (DK)[cite: 113].

الخطوة 7: إثبات تناظر (AH) و (DK)[cite: 113].

الخطوة 8: استنتاج مناظرة H[cite: 113].

التمرين رقم 16

(1) ارسم مثلثا ABC حيث BC = 5cm و ABC=50° و I منتصف [AB][cite: 115].

أ) ابن D مناظرة C بالنسبة إلى I[cite: 115].
ب) بين أن AD=5cm و أن (BC)//(AD)[cite: 116].
ت) بين أن BAD=50°[cite: 116].

(2) ابن E و F مناظرتي B و C بالنسبة إلى A[cite: 117].
(3) بين أن EF=AD و أن (EF)//(AD)[cite: 118].
(4) بين أن DAB=FEA[cite: 119, 120, 121].
(5) لتكن الدائرة (C) التي مركزها C و شعاعها 2cm و (C') الدائرة التي مركزها D و شعاعها 2cm[cite: 123, 124].

[BC] يقطع الدائرة (C) في P و [AD] يقطع (C') في Q[cite: 125].
A هو المماس للدائرة (C) في P و A' المماس للدائرة (C') في Q[cite: 125].
بين أن A و A' متناظران بالنسبة إلى I[cite: 126].

التصحيح للتمرين 16:

الخطوة 1: رسم المثلث وتحديد I، ثم بناء D[cite: 115].

الخطوة 2: إثبات AD=5cm و التوازي (BC)//(AD)[cite: 116].

الخطوة 3: إثبات BAD=50°[cite: 116].

الخطوة 4: بناء E و F[cite: 117].

الخطوة 5: إثبات EF=AD و التوازي (EF)//(AD)[cite: 118].

الخطوة 6: إثبات DAB=FEA[cite: 119, 120, 121].

الخطوة 7: تحديد الدائرتين (C) و (C')[cite: 123, 124].

الخطوة 8: تحديد نقاط التقاطع P و Q والمماسات A و A'[cite: 125].

الخطوة 9: إثبات تناظر A و A'[cite: 126].

التمرين رقم 17

ABC مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية A بحيث BAC=70° و I منتصف [AC] و J منتصف [BC][cite: 128, 129].
(1) أحسب ABI معللا جوابك[cite: 130].
(2) المستقيم المار من C و الموازي لـ (AB) يقطع (BI) في D[cite: 131].

أ) بين أن I هي منتصف [BD][cite: 132].
ب) أحسب قيس الزاوية CED[cite: 132].

(3) (أ) ابن النقطة G مركز ثقل المثلث ACD[cite: 133].

ت) (CG) يقطع (AD) في E . بين أن E و I و J على استقامة واحدة[cite: 134].
ث) أحسب قيس الزاوية DEC[cite: 134].
ج) بين أن EJ=AC[cite: 136].

التصحيح للتمرين 17:

الخطوة 1: رسم المثلث وتحديد I و J[cite: 128, 129].

الخطوة 2: حساب ABI[cite: 130].

الخطوة 3: رسم المستقيم CD وتحديد D[cite: 131].

الخطوة 4: إثبات أن I منتصف [BD][cite: 132].

الخطوة 5: حساب قيس الزاوية CED[cite: 132].

الخطوة 6: بناء النقطة G[cite: 133].

الخطوة 7: تحديد E وإثبات استقامة E, I, J[cite: 134].

الخطوة 8: حساب قيس الزاوية DEC[cite: 134].

الخطوة 9: إثبات EJ=AC[cite: 136].

التمرين رقم 18

[AB] قطعة مستقيم و M منتصفها. و (Ax] نصف مستقيم بحيث BÂx=30°[cite: 138].
(1) (أ) عين النقطة E من نصف المستقيم (Ax] حيث AE=6cm وابن النقطة F مناظرة E بالنسبة إلى M[cite: 138, 139].

ب) بين أن (AE) // (BF) وأن BF = 6cm[cite: 139].

(2) أ) عين النقطة I منتصف [AE] وابن النقطة J مناظرتها بالنسبة إلى M[cite: 140, 141, 142].

ب) أثبت أن B و F متناظرتان بالنسبة إلى J[cite: 143].

(3) أ) لتكن H المسقط العمودي لـ A على (EF) و K المسقط العمودي ل B على (EF)[cite: 143, 144].

ب) بين أن المستقيمين (AH) و (BK) متناظران بالنسبة لـ M[cite: 145].
ج) استنتج أن M منتصف [HK][cite: 146].

التصحيح للتمرين 18:

الخطوة 1: تحديد [AB] و M، ورسم (Ax][cite: 138].

الخطوة 2: بناء E و F[cite: 138, 139].

الخطوة 3: إثبات التوازي وتساوي الأطوال[cite: 139].

الخطوة 4: بناء I و J[cite: 140, 141, 142].

الخطوة 5: إثبات تناظر B و F بالنسبة إلى J[cite: 143].

الخطوة 6: تحديد H و K[cite: 143, 144].

الخطوة 7: إثبات تناظر (AH) و (BK) بالنسبة لـ M[cite: 145].

الخطوة 8: استنتاج أن M منتصف [HK][cite: 146].

التمرين رقم 19

AEO مثلث والنقطتان F و E متناظرتان بالنسبة إلى A و EF=8cm[cite: 148].
(1) (أ) إبن النقطتين B و C على التوالي مناظرتي النقطتين A و E بالنسبة إلى O[cite: 149].

ب) بين أن (BC) // (AE) و احسب BC[cite: 150].

(2) المستقيم (OF) يقطع المستقيم (BC) في النقطة G[cite: 151].

(أ) بين أن G منتصف [FC][cite: 152].
(ب) بين أن O منتصف [EG][cite: 153].
(ج) بين أن (EG) // (FC)[cite: 154, 155].

(3) أ) بين أن النقطتين C و C' متناظرتان بالنسبة إلى B[cite: 156].

ب) استنتج أن المستقيمين (EG) و (CF) متناظران بالنسبة إلى B[cite: 157].

التصحيح للتمرين 19:

الخطوة 1: تحديد المثلث AEO وتناظر F و E[cite: 148].

الخطوة 2: بناء B و C[cite: 149].

الخطوة 3: إثبات التوازي (BC) // (AE) وحساب BC[cite: 150].

الخطوة 4: تحديد G[cite: 151].

الخطوة 5: إثبات أن G منتصف [FC][cite: 152].

الخطوة 6: إثبات أن O منتصف [EG][cite: 153].

الخطوة 7: إثبات التوازي (EG) // (FC)[cite: 154, 155].

الخطوة 8: إثبات تناظر C و C'[cite: 156].

الخطوة 9: استنتاج تناظر المستقيمين (EG) و (CF)[cite: 157].

التمرين رقم 20

ليكن ABCD مربعا مركزه O طول ضلعه 5 لتكن E نقطة من [AB] بحيث AE=2[cite: 159].
(1) (OE) يقطع (CD) في نقطة F[cite: 160].

أ) بين أن O هي منتصف [EF][cite: 160].
ب) أحسب CF[cite: 160].
ج) بين أن (DE) // (BF)[cite: 161].

(2) عين النقطة I منتصف [BC] و J منتصف [AD][cite: 162].

بين أن O و I و J على استقامة واحدة[cite: 163, 164].

(3) بين أن AICI متوازي الأضلاع[cite: 165].
(4) ابن مثلثا EFG قائما في E بحيث EF=3 و EFG=60°[cite: 165].
(5) ابن النقطة H صورة F بالتناظر المركزي حول E ثم برهن على أن (EG) هو الموسط العمودي للقطعة [EH][cite: 165, 166].
(6) برهن على أن EHG = 60°[cite: 166].
(7) استنتج أن المثلث FGH متقايس الأضلاع ثم ابحث عن طول كل ضلع من أضلاعه[cite: 167].

التصحيح للتمرين 20:

الخطوة 1: رسم المربع وتحديد E[cite: 159].

الخطوة 2: تحديد F[cite: 160].

الخطوة 3: إثبات أن O منتصف [EF][cite: 160].

الخطوة 4: حساب CF[cite: 160].

الخطوة 5: إثبات التوازي (DE) // (BF)[cite: 161].

الخطوة 6: تحديد I و J[cite: 162].

الخطوة 7: إثبات استقامة O, I, J[cite: 163, 164].

الخطوة 8: إثبات أن AICI متوازي الأضلاع[cite: 165].

الخطوة 9: بناء المثلث EFG[cite: 165].

الخطوة 10: بناء H وإثبات أن (EG) هو الموسط العمودي[cite: 165, 166].

الخطوة 11: إثبات أن EHG = 60°[cite: 166].

الخطوة 12: استنتاج نوع المثلث FGH وحساب أطوال أضلاعه[cite: 167].