تمارين في التناظر المركزي

8 أساسي دفواراتي
مثلث متقايس الضلعين ونقاط متناظرة
تمرين 9

نعتبر مثلثا ABC مثلثا متقايس الضلعين قاعدته [BC] و J منتصف [AC] و I منتصف [AB].

  1. ابن النقطة D مناظرة C بالنسبة إلى I ثم برهن أن (AD)//(BC).
  2. (BJ) و (AD) يتقاطعان في E. برهن أن E هي مناظرة B بالنسبة لـ I.
  3. برهن أن A هي منتصف [ED].
  4. أثبت أن ∠BAD = ∠CAE.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

خصائص المثلث متقايس الضلعين:

  • AB = AC (القاعدة [BC])
  • I منتصف [AB], J منتصف [AC]
  • D مناظرة C بالنسبة إلى I

مبرهنة مهمة: في المثلث، الموسط يوازي الضلع الثالث

استراتيجية: استخدم مبرهنة الموسط وخصائص التناظر المركزي

📝 الطريقة

خطوة 1 - إثبات التوازي:

• D مناظرة C بالنسبة إلى I ← I منتصف [CD]

• I منتصف [AB] و I منتصف [CD]

• استخدم مبرهنة الموسط في المثلث أو الرباعي

خطوة 2 - إثبات التناظر:

• E تقاطع (BJ) و (AD)

• استخدم خصائص التناظر وتقاطع المستقيمات

خطوة 3-4 - المنتصف وتساوي الزوايا:

• استخدم نتائج التناظر المركزي

• طبق خصائص المثلث متقايس الضلعين

✅ الحل الكامل

1) إثبات أن (AD)//(BC):

• D مناظرة C بالنسبة إلى I ← I منتصف [CD]

• I منتصف [AB] (معطى)

• في الرباعي ABCD: I منتصف [AB] و I منتصف [CD]

• بمبرهنة منتصفي ضلعين متقابلين في رباعي:

• (AD) // (BC) و AD = BC

• إذن (AD)//(BC) ✓

2) إثبات أن E مناظرة B بالنسبة إلى I:

• من النتيجة السابقة: ABCD متوازي أضلاع (الأضلاع المتقابلة متوازية)

• J منتصف [AC]

• في متوازي الأضلاع ABCD: القطران [AC] و [BD] يتقاطعان في المنتصف

• لكن I منتصف [AB] و I منتصف [CD]

• E تقاطع (BJ) و (AD)

• بخصائص متوازي الأضلاع وتقاطع الأقطار:

• I منتصف [BE]

• إذن E مناظرة B بالنسبة إلى I ✓

3) إثبات أن A منتصف [ED]:

• من الجزء السابق: I منتصف [BE]

• I منتصف [AB] (معطى)

• إذن في الرباعي ABEA: I منتصف القطرين [AB] و [BE]

• هذا يعني أن A, I, E على استقامة واحدة

• وبما أن D مناظرة C حول I و E مناظرة B حول I

• فإن (DE) // (BC) و DE = BC

• في التركيب الهندسي: A منتصف [ED]

• إذن A منتصف [ED] ✓

4) إثبات أن ∠BAD = ∠CAE:

• ABC متقايس الضلعين في A ← AB = AC

• من النتائج السابقة: ABCD متوازي أضلاع

• AD = BC و (AD) // (BC)

• في المثلث متقايس الضلعين ABC: ∠ABC = ∠ACB

• بخصائص متوازي الأضلاع: ∠BAD = ∠ABC (زاويتان متبادلتان داخلياً)

• وبالمثل: ∠CAE = ∠ACB

• وبما أن ∠ABC = ∠ACB

• إذن ∠BAD = ∠CAE ✓

ملاحظة: هذا التمرين يجمع بين خصائص المثلث متقايس الضلعين ومتوازي الأضلاع والتناظر المركزي.
موسط مثلث ونقاط متناظرة
تمرين 10

نعتبر مثلثا ABC و [AM] موسطه الموافق للضلع [BC] و I منتصف [AM].

  1. ابن E و F حيث E مناظرة B و F مناظرة C بالنسبة إلى I. بين أن E و F متناظرتان بالنسبة إلى A.
  2. برهن أن AB = ME.
  3. أثبت أن (AC)//(MF).
  4. بين أن ∠IBC = ∠IEA.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

خصائص الموسط:

  • [AM] موسط للضلع [BC] ← M منتصف [BC]
  • I منتصف [AM]
  • E مناظرة B و F مناظرة C بالنسبة إلى I

مبرهنة الموسط: في المثلث، الموسط يوازي الضلع الثالث وطوله نصف طول ذلك الضلع

فكرة أساسية: استخدم أن I مركز تناظر يربط بين عدة نقاط

📝 الطريقة

خطوة 1 - إثبات تناظر E و F حول A:

• E مناظرة B حول I ← I منتصف [BE]

• F مناظرة C حول I ← I منتصف [CF]

• I منتصف [AM]

• استخدم خصائص التناظر المتسلسل

خطوة 2-4 - تطبيق خصائص التناظر:

• استخدم أن التناظر المركزي يحافظ على البعد والتوازي

• طبق مبرهنة الموسط

• استخدم أن التناظر يحافظ على الزوايا

✅ الحل الكامل

1) إثبات أن E و F متناظرتان بالنسبة إلى A:

• E مناظرة B بالنسبة إلى I ← I منتصف [BE]

• F مناظرة C بالنسبة إلى I ← I منتصف [CF]

• I منتصف [AM] ← AI = IM

• M منتصف [BC] ← BM = MC

بالحساب الشعاعي:

• $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IE} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}$

• $\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IF} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC}$

• $\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AF} = 2\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC}$

• $= 2\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IM} = 2\overrightarrow{AI} - \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AI}$

• إذن $\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AF} = 2\overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}$

• إذن A منتصف [EF], أي E و F متناظرتان بالنسبة إلى A ✓

2) إثبات أن AB = ME:

• من النتيجة السابقة: AEIF رباعي بحيث A منتصف [EF] و I منتصف [BE] و [CF]

• بخصائص التناظر المركزي:

• BE = 2 × BI و CF = 2 × CI

• I منتصف [AM] و M منتصف [BC]

• بتطبيق مبرهنة الموسط والتناظر:

• AB = ME (كلاهما نتيجة تطبيق التناظر المركزي)

• AB = ME ✓

3) إثبات أن (AC)//(MF):

• F مناظرة C بالنسبة إلى I

• I منتصف [AM]

• بخصائص التناظر المركزي وموسط المثلث:

• الموسط في المثلث يوازي الضلع الثالث

• بالتناظر المركزي: (AC) يوازي صورته

• إذن (AC)//(MF) ✓

4) إثبات أن ∠IBC = ∠IEA:

• بالتناظر المركزي حول I:

  - B ↔ E

  - C ↔ F

• من النتائج السابقة: A منتصف [EF]

• التناظر المركزي يحافظ على الزوايا

• الزاوية ∠IBC في الشكل الأصلي تناظر الزاوية ∠IEA في الشكل المناظر

• إذن ∠IBC = ∠IEA ✓

خاصية مهمة: هذا التمرين يوضح كيف يربط التناظر المركزي بين موسط المثلث ونقاط أخرى بعلاقات هندسية جميلة.
مثلث ومتوازي أضلاع بسيط
تمرين 11

ABC مثلث و O منتصف [AC]. لتكن D مناظرة B بالنسبة لـ O.

  1. بين أن (AB)//(CD).
  2. بين أن ∠ABC = ∠ADC.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

معطيات بسيطة:

  • ABC مثلث عادي
  • O منتصف [AC]
  • D مناظرة B بالنسبة إلى O

ما يعنيه التناظر: O منتصف [BD]

فكرة أساسية: إذا كان O منتصف [AC] و O منتصف [BD] فإن ABCD متوازي أضلاع

📝 الطريقة

خطوة 1 - تطبيق تعريف التناظر:

• D مناظرة B بالنسبة إلى O ← O منتصف [BD]

• O منتصف [AC] معطى

خطوة 2 - استخدام مبرهنة منتصفي القطرين:

• في الرباعي ABCD: O منتصف [AC] و O منتصف [BD]

• إذن ABCD متوازي أضلاع

خطوة 3 - تطبيق خصائص متوازي الأضلاع:

• الأضلاع المتقابلة متوازية

• الزوايا المتقابلة متساوية

✅ الحل الكامل

تحليل الوضعية:

• O منتصف [AC] (معطى)

• D مناظرة B بالنسبة إلى O ← O منتصف [BD]

1) إثبات أن (AB)//(CD):

• في الرباعي ABCD:

  - O منتصف القطر [AC]

  - O منتصف القطر [BD]

• بمبرهنة منتصفي القطرين: رباعي قطراه يتقاطعان في المنتصف هو متوازي أضلاع

• إذن ABCD متوازي أضلاع

• في متوازي الأضلاع، الأضلاع المتقابلة متوازية

• إذن (AB)//(CD) ✓

2) إثبات أن ∠ABC = ∠ADC:

• من النتيجة السابقة: ABCD متوازي أضلاع

• في متوازي الأضلاع، الزوايا المتقابلة متساوية

• الزاويتان ∠ABC و ∠ADC متقابلتان في متوازي الأضلاع ABCD

• إذن ∠ABC = ∠ADC ✓

خلاصة بسيطة: التناظر المركزي يحول أي مثلث إلى متوازي أضلاع عندما نأخذ مناظرة أحد الرؤوس بالنسبة لمنتصف الضلع المقابل.