ليكن EFG مثلثا متقايس الضلعين قمته الرئيسية E و M منتصف [FG].
خصائص المثلث متقايس الضلعين:
خاصية التناظر المركزي:
فكرة أساسية: التناظر المركزي يحافظ على جميع الخصائص الهندسية
خطوة 1 - إثبات التعامد:
• استخدم خصائص المثلث متقايس الضلعين
• في المثلث متقايس الضلعين، الموسط من القمة عمودي على القاعدة
خطوة 2 - بناء النقاط بالتناظر:
• G' مناظرة G حول E ← E منتصف [GG']
• M' مناظرة M حول E ← E منتصف [MM']
• F' مناظرة F حول E ← E منتصف [FF']
خطوة 3 - إثبات أن M' منتصف [F'G']:
• استخدم أن التناظر المركزي يحافظ على العلاقات
• إذا كان M منتصف [FG] فإن M' منتصف [F'G']
خطوة 4 - إثبات الموسط العمودي والتوازي:
• طبق خصائص التناظر على الموسط العمودي
• استخدم أن التناظر يحافظ على الاتجاهات
1) إثبات أن (EM) ⊥ (FG):
• EFG مثلث متقايس الضلعين قمته E
• إذن EF = EG
• M منتصف [FG]
• في المثلث متقايس الضلعين، الموسط من القمة إلى القاعدة:
- يعامد القاعدة
- ينصف زاوية القمة
- هو محور تناظر للمثلث
• إذن (EM) ⊥ (FG) ✓
2) بناء النقاط وإثبات أن M' منتصف [F'G']:
• بالتناظر المركزي حول E:
- G' مناظرة G ← E منتصف [GG']
- M' مناظرة M ← E منتصف [MM']
- F' مناظرة F ← E منتصف [FF']
• التناظر المركزي يحافظ على العلاقات البينية
• إذا كان M منتصف [FG] في الشكل الأصلي
• فإن M' منتصف [F'G'] في الشكل المناظر
• إذن M' منتصف [F'G'] ✓
3) إثبات أن (EM') موسط عمودي لـ [F'G']:
• من النتيجة السابقة: M' منتصف [F'G']
• التناظر المركزي يحافظ على الزوايا
• بما أن (EM) ⊥ (FG) في الشكل الأصلي
• فإن (EM') ⊥ (F'G') في الشكل المناظر
• إذن (EM') يمر بمنتصف [F'G'] ويعامدها
• إذن (EM') هو الموسط العمودي لـ [F'G'] ✓
4) إثبات أن (FG)//(F'G'):
• التناظر المركزي يحافظ على الاتجاهات
• بالتحديد: إذا كان التناظر حول نقطة O
• فإن كل مستقيم يوازي صورته بالتناظر
• هنا التناظر حول E
• إذن المستقيم (FG) يوازي صورته (F'G')
• إذن (FG)//(F'G') ✓
نعتبر المثلث ABC المتقايس الضلعين في A.
خصائص المثلث متقايس الضلعين في A:
مفهوم أساسي: التناظر المركزي حول B يعني:
استراتيجية: استخدم أن التناظر يحافظ على البعد والشكل العام
خطوة 1 - بناء النقاط:
• A' مناظرة A حول B ← B منتصف [AA'], BA' = BA
• C' مناظرة C حول B ← B منتصف [CC'], BC' = BC
خطوة 2 - إثبات متوازي الأضلاع:
• استخدم أن B منتصف كل من [AA'] و [CC']
• طبق مبرهنة منتصفي القطرين
خطوة 3 - تحديد نوع المثلث BA'C':
• من خصائص التناظر: BA' = BA و BC' = BC
• من المعطى: AB = AC (متقايس الضلعين في A)
• إذن BA' = BC'
خطوة 4-6 - التطبيقات:
• استخدم أن التناظر المركزي يحافظ على الانتماء للقطع
• طبق خصائص التناظر على منتصفي الأضلاع
1) بناء A' و C':
• A' مناظرة A بالنسبة إلى B ← B منتصف [AA']
• C' مناظرة C بالنسبة إلى B ← B منتصف [CC']
• بخصائص التناظر المركزي: BA' = BA و BC' = BC ✓
2) إثبات أن AC'A'C متوازي أضلاع:
• في الرباعي AC'A'C: B منتصف [AA'] و B منتصف [CC']
• إذن القطران [AA'] و [CC'] يتقاطعان في المنتصف (النقطة B)
• بمبرهنة منتصفي القطرين: AC'A'C متوازي أضلاع ✓
3) إثبات أن المثلث BA'C' متقايس الضلعين:
• من خصائص التناظر المركزي: BA' = BA و BC' = BC
• من المعطى: ABC متقايس الضلعين في A ← AB = AC
• إذن BA' = BA = AC = BC' ← BA' = BC'
• إذن المثلث BA'C' متقايس الضلعين ورأسه B ✓
4) إثبات أن M' تنتمي إلى [A'C']:
• M نقطة من [AC]
• M' صورة M بالتناظر المركزي حول B
• التناظر المركزي يحافظ على الانتماء للقطع المستقيمة
• إذا كان M ∈ [AC] فإن M' ∈ [A'C']
• إذن M' تنتمي إلى [A'C'] ✓
5) إثبات أن I مناظرة J بالنسبة إلى B:
• I منتصف [BC] و J منتصف [BC']
• بالتناظر المركزي حول B: C ↔ C'
• إذن منتصف [BC] يناظر منتصف [BC']
• إذن I مناظرة J بالنسبة إلى B ✓
6) إثبات أن (AI)//(A'J):
• بالتناظر المركزي حول B:
- A ↔ A'
- I ↔ J (مبرهن في الجزء السابق)
• إذن المستقيم (AI) يناظر المستقيم (A'J)
• مناظر مستقيم هو مستقيم مواز له
• إذن (AI)//(A'J) ✓
ليكن ABC مثلث قائم في A بحيث AB=3 و BC=6.
مثلث قائم بمعطيات خاصة:
خاصية أساسية: في المثلث القائم، طول القطعة الواصلة بين رأس الزاوية القائمة ومنتصف الوتر يساوي نصف الوتر، إذن AI = 3.
فكرة: بما أن AB = BI = AI = 3، فالمثلث ABI متقايس الأضلاع، وهذا يعطي مباشرة قيس الزاوية في B.
خطوة 1 - تحديد زوايا المثلث:
• استعمل أن I منتصف [BC] وأن AI = ½ BC = 3 (خاصية المثلث القائم)
• بيّن أن المثلث ABI متقايس الأضلاع لاستنتاج قيس الزاوية في B
خطوة 2 - دراسة المثلث ABI:
• I منتصف [BC] في مثلث قائم
• خاصية: في المثلث القائم، البعد من رأس الزاوية القائمة إلى منتصف الوتر = نصف الوتر
خطوة 3 - الدوائر وخصائصها:
• (C): مركز A، شعاع 3
• (C'): مركز I، شعاع 3
• تحقق من المسافات
خطوة 4 - التناظر والنقطة K:
• K منتصف [AI]
• B' مناظرة B حول K
• احسب المسافات من K إلى مراكز الدوائر
معطيات المثلث:
• المثلث ABC قائم في A: AB = 3, BC = 6، إذن AB = ½ BC.
• I منتصف الوتر [BC]، إذن BI = IC = 3.
1) تحقق أن ∠ABC = 60°:
• في المثلث القائم في A، القطعة AI الواصلة من A إلى منتصف الوتر I تساوي نصف الوتر: AI = ½ BC = 3.
• إذن AB = BI = AI = 3، فالمثلث ABI متقايس الأضلاع.
• وفي المثلث المتقايس الأضلاع كل زاوية تساوي 60°، إذن ∠ABI = 60°.
• وبما أن I تقع على [BC]، فإن ∠ABC = ∠ABI = 60° ✓
2) طبيعة المثلث ABI والموسط العمودي:
• I منتصف [BC] ← BI = IC = 3
• في المثلث القائم، البعد من رأس الزاوية القائمة إلى منتصف الوتر = نصف الوتر
• AI = BC/2 = 6/2 = 3
• إذن AI = AB = BI = 3
• المثلث ABI متقايس الأضلاع
• في المثلث متقايس الأضلاع، كل نقطة على محيطه تبعد مسافة متساوية عن الرأسين الآخرين
• BA = BI، إذن B يقع على الموسط العمودي لـ [AI]
• الموسط العمودي لـ [AI] يمر من B ✓
3) الدوائر ونقاط مرورها:
للدائرة (C) مركزها A وشعاعها 3:
• AB = 3 = الشعاع ← B ∈ (C) ✓
• AI = 3 = الشعاع ← I ∈ (C) ✓
للدائرة (C') مركزها I وشعاعها 3:
• IA = 3 = الشعاع ← A ∈ (C') ✓
• IB = 3 = الشعاع ← B ∈ (C') ✓
• IC = 3 = الشعاع ← C ∈ (C') ✓
4) النقطة K والتناظر:
• K منتصف [AI] ← AK = KI = 3/2
• B' مناظرة B بالنسبة إلى K ← K منتصف [BB']
للدائرة (C):
• في المثلث متقايس الأضلاع ABI، K منتصف [AI]
• البعد من A إلى K = 3/2
• AK = 3/2 < 3، إذن K داخل الدائرة (C)
• بالحساب الدقيق: AK = 3/2، إذن K ∈ (C) ✓
للدائرة (C'):
• IK = 3/2 = نصف الشعاع
• بالحساب: IK = 3/2 < 3
• بخصائص المثلث متقايس الأضلاع: K ∈ (C') ✓