ابن مثلثا EFG قائما في E بحيث يكون EF=3 و ∠EFG=60°.
معطيات المثلث القائم:
خصائص المثلث القائم الخاص (30°-60°-90°):
خاصية التناظر المركزي: يحافظ على البعد والزوايا
الموسط العمودي: مجموعة النقاط متساوية البعد عن طرفي القطعة
خطوة 1 - حساب أبعاد المثلث EFG:
• في المثلث القائم EFG: ∠FEG = 90°, ∠EFG = 60°, ∠EGF = 30°
• EF = 3 (معطى)
✍️ إصلاح هذا السؤال سيُدرَج لاحقًا.
• بما أن E منتصف [FH] (H مناظرة F بالنسبة إلى E)، فإن FH = 2·EF = 6؛ وبما أن FGH متقايس الأضلاع، فإن FG = GH = HF = 6
خطوة 2 - بناء H وإثبات الموسط العمودي:
• H صورة F بالتناظر حول E
• إذن E منتصف [FH]
• EF = EH = 3 و F, E, H على استقامة واحدة
• لإثبات أن (EG) موسط عمودي لـ [FH]: أثبت أن GF = GH
خطوة 3 - حساب الزوايا في المثلث الجديد:
• استخدم خصائص التناظر المركزي
• احسب ∠EHG باستخدام خصائص المثلث
خطوة 4 - إثبات نوع المثلث FGH:
• احسب FG, GH, FH
• تحقق من تساوي الأضلاع
حساب أبعاد المثلث EFG:
• في المثلث القائم EFG: ∠FEG = 90°, ∠EFG = 60°, ∠EGF = 30°
• EF = 3 (معطى)
✍️ إصلاح هذا السؤال سيُدرَج لاحقًا.
• بما أن E منتصف [FH] (H مناظرة F بالنسبة إلى E)، فإن FH = 2·EF = 6؛ وبما أن FGH متقايس الأضلاع، فإن FG = GH = HF = 6
1) إثبات أن (EG) موسط عمودي لـ [FH]:
• H صورة F بالتناظر المركزي حول E
• إذن E منتصف [FH] و EF = EH = 3
• F و H على جانبي E، إذن FH = EF + EH = 6
• في المثلث EFG: EF = 3, EG = 3√3
• في المثلث EHG: EH = 3, EG = 3√3, ∠HEG = 90°
• إذن المثلثان EFG و EHG متطابقان
• بالتالي GF = GH = 6
• وبما أن E منتصف [FH] و GF = GH
• إذن (EG) هو الموسط العمودي لـ [FH] ✓
2) إثبات أن ∠EHG = 60°:
• في المثلث EHG: EH = 3, EG = 3√3, ∠HEG = 90°
✍️ إصلاح هذا السؤال سيُدرَج لاحقًا.
• إذن ∠EHG = arctan(√3) = 60°
• ∠EHG = 60° ✓
3) إثبات أن المثلث FGH متقايس الأضلاع:
• FG = 6 (محسوب سابقاً)
• GH = 6 (مبرهن أن GF = GH)
• FH = 6 (مجموع EF + EH = 3 + 3 = 6)
• إذن FG = GH = FH = 6
• المثلث FGH متقايس الأضلاع وطول كل ضلع = 6 ✓
نعتبر مثلثا ABC متقايس الأضلاع.
خصائص المثلث متقايس الأضلاع:
خصائص التناظر المركزي:
استراتيجية: استخدم أن التناظر المركزي يحول مثلث متقايس الأضلاع إلى مثلث مطابق
خطوة 1 - بناء النقاط:
• A' مناظرة A بالنسبة إلى B ← B منتصف [AA']
• C' مناظرة C بالنسبة إلى B ← B منتصف [CC']
• إذن BA' = BA و BC' = BC
خطوة 2 - إثبات أن المثلث A'BC' متقايس الأضلاع:
• استخدم أن BA' = BA = BC = BC'
• احسب A'C' باستخدام خصائص التناظر
خطوة 3 - إثبات التوازي:
• استخدم أن B منتصف كل من [AA'] و [CC']
• طبق مبرهنة منتصفي ضلعين في رباعي
خطوة 4 - إثبات متوازي الأضلاع:
• أثبت أن الأضلاع المتقابلة متوازية
• أو أثبت أن القطران ينصف كل منهما الآخر
1) بناء A' و C':
• A' مناظرة A بالنسبة إلى B ← B منتصف [AA']
• C' مناظرة C بالنسبة إلى B ← B منتصف [CC']
• بخصائص التناظر المركزي: BA' = BA و BC' = BC
• وبما أن ABC متقايس الأضلاع: AB = BC = CA
• إذن BA' = BC' = AB = BC ✓
2) إثبات أن المثلث A'BC' متقايس الأضلاع:
• من النتيجة السابقة: BA' = BC'
• لحساب A'C': نستخدم أن A', B, C' تشكل مثلث
• بالتناظر المركزي حول B: الزاوية ∠ABC = 60° تبقى محفوظة
• ∠A'BC' = ∠ABC = 60° (التناظر يحافظ على الزوايا)
• في المثلث A'BC': BA' = BC' و ∠A'BC' = 60°
• إذن المثلث A'BC' متقايس الضلعين بزاوية رأس 60°
• إذن المثلث A'BC' متقايس الأضلاع ✓
3) إثبات (A'C')//(AC):
• B منتصف [AA'] و B منتصف [CC']
• في الرباعي ACA'C': B منتصف القطرين [AA'] و [CC']
• بمبرهنة منتصفي القطرين في رباعي: الرباعي متوازي أضلاع
• إذن (A'C')//(AC) ✓
4) إثبات أن AC'A'C متوازي أضلاع:
• من النتيجة السابقة: الرباعي ACA'C' له قطران يتقاطعان في المنتصف (النقطة B)
• إذن AC'A'C متوازي أضلاع ✓
تحقق إضافي:
• (AC)//(A'C') ✓ (مبرهن)
• (AC')//(A'C) ✓ (لأن B منتصف كل من [AC'] و [A'C])
• إذن الأضلاع المتقابلة متوازية
ليكن EFG مثلثا متقايس الضلعين قمته الرئيسية E و M منتصف [FG].
خصائص المثلث متقايس الضلعين:
خاصية التناظر المركزي:
فكرة أساسية: التناظر المركزي يحافظ على جميع الخصائص الهندسية
خطوة 1 - إثبات التعامد:
• استخدم خصائص المثلث متقايس الضلعين
• في المثلث متقايس الضلعين، الموسط من القمة عمودي على القاعدة
خطوة 2 - بناء النقاط بالتناظر:
• G' مناظرة G حول E ← E منتصف [GG']
• M' مناظرة M حول E ← E منتصف [MM']
• F' مناظرة F حول E ← E منتصف [FF']
خطوة 3 - إثبات أن M' منتصف [F'G']:
• استخدم أن التناظر المركزي يحافظ على العلاقات
• إذا كان M منتصف [FG] فإن M' منتصف [F'G']
خطوة 4 - إثبات الموسط العمودي والتوازي:
• طبق خصائص التناظر على الموسط العمودي
• استخدم أن التناظر يحافظ على الاتجاهات
1) إثبات أن (EM) ⊥ (FG):
• EFG مثلث متقايس الضلعين قمته E
• إذن EF = EG
• M منتصف [FG]
• في المثلث متقايس الضلعين، الموسط من القمة إلى القاعدة:
- يعامد القاعدة
- ينصف زاوية القمة
- هو محور تناظر للمثلث
• إذن (EM) ⊥ (FG) ✓
2) بناء النقاط وإثبات أن M' منتصف [F'G']:
• بالتناظر المركزي حول E:
- G' مناظرة G ← E منتصف [GG']
- M' مناظرة M ← E منتصف [MM']
- F' مناظرة F ← E منتصف [FF']
• التناظر المركزي يحافظ على العلاقات البينية
• إذا كان M منتصف [FG] في الشكل الأصلي
• فإن M' منتصف [F'G'] في الشكل المناظر
• إذن M' منتصف [F'G'] ✓
3) إثبات أن (EM') موسط عمودي لـ [F'G']:
• من النتيجة السابقة: M' منتصف [F'G']
• التناظر المركزي يحافظ على الزوايا
• بما أن (EM) ⊥ (FG) في الشكل الأصلي
• فإن (EM') ⊥ (F'G') في الشكل المناظر
• إذن (EM') يمر بمنتصف [F'G'] ويعامدها
• إذن (EM') هو الموسط العمودي لـ [F'G'] ✓
4) إثبات أن (FG)//(F'G'):
• التناظر المركزي يحافظ على الاتجاهات
• بالتحديد: إذا كان التناظر حول نقطة O
• فإن كل مستقيم يوازي صورته بالتناظر
• هنا التناظر حول E
• إذن المستقيم (FG) يوازي صورته (F'G')
• إذن (FG)//(F'G') ✓