تمارين في التناظر المركزي

دفواراتي
مفاهيم أساسية: صحيح أم خطأ
تمرين 1

أكمل بصحيح أم خطأ:

  • (أ) إذا كان $OA = OB$ فإن O منتصف $[AB]$.
  • (ب) إذا كان O منتصف $[AB]$ فإن $OA = OB$.
  • (ج) إذا كان $OA = OB$ فإن A و B متناظرتان بالنسبة إلى O.
  • (د) إذا كان A و B متناظرتان بالنسبة إلى O فإن $OA = OB$.
  • (هـ) إذا كان A مناظرة B بالنسبة إلى O فإن B مناظرة A بالنسبة إلى O.
  • (و) إذا كان O منتصف $[AB]$ فإن A مناظرة B بالنسبة إلى O.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

التناظر بالنسبة لنقطة (أو كون النقطة منتصف قطعة) يتطلب شرطين: تساوي البعد والاستقامة. هل كل العبارات تحقق الشرطين؟

📝 الطريقة

  • العبارتان (أ) و (ج): فكر في مثلث متقايس الضلعين OAB. هل O منتصف القاعدة $[AB]$؟ لا، إذن شرط تساوي البعد وحده لا يكفي.
  • العبارات (ب)، (د)، (هـ)، (و): هذه العبارات تستخدم تعريف المنتصف والتناظر. "O منتصف $[AB]$" و "A و B متناظرتان بالنسبة لـ O" هما عبارتان متكافئتان.

✅ الحل الكامل

  • (أ) خطأ. يجب أن تكون النقاط A, O, B على استقامة واحدة.
  • (ب) صحيح. هذا جزء من تعريف المنتصف.
  • (ج) خطأ. لنفس السبب في (أ).
  • (د) صحيح. هذا جزء من تعريف التناظر.
  • (هـ) صحيح. علاقة التناظر المركزي تبادلية.
  • (و) صحيح. هذا هو تعريف التناظر المركزي.
مستقيمات متوازية وقطع متناظرة
تمرين 2

أرسم مستقيمين متوازيين $\Delta$ و $\Delta'$. عين على $\Delta$ قطعة مستقيم $[AB]$ طولها 4. عين على $\Delta'$ نقاط C, D, E بحيث يكون C منتصف $[ED]$ ويكون $[EC]$ مقايسا لـ $[AB]$.

  1. عين النقطة O التي تكون $[AB]$ و $[DC]$ متناظرين بالنسبة إليها.
  2. عين النقطة O' التي تكون $[AB]$ و $[CE]$ متناظرين بالنسبة إليها.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

إذا كانت قطعة هي مناظرة قطعة أخرى بالنسبة لنقطة، فإن تلك النقطة هي مركز متوازي أضلاع يمكن تكوينه من طرفي القطعتين.

📝 الطريقة

  1. (1) لكي يكون $[AB]$ و $[DC]$ متناظرين بالنسبة لـ O، يجب أن يكون الرباعي ABDC متوازي أضلاع. مركز التناظر O سيكون نقطة تقاطع قطريه $[AC]$ و $[BD]$.
  2. (2) لكي يكون $[AB]$ و $[CE]$ متناظرين بالنسبة لـ O'، يجب أن يكون الرباعي ACBE متوازي أضلاع. مركز التناظر O' سيكون نقطة تقاطع قطريه $[AE]$ و $[BC]$.

✅ الحل الكامل

1) بما أن $[AB]$ و $[DC]$ متوازيان ومتقايسان (لأن $CD=CE=AB=4$)، فإن الرباعي ABDC متوازي أضلاع. مركز تناظره O هو منتصف القطر $[AC]$ (أو $[BD]$).

2) بما أن $[AB]$ و $[CE]$ متوازيان ومتقايسان، فإن الرباعي ACBE متوازي أضلاع. مركز تناظره O' هو منتصف القطر $[AE]$ (أو $[BC]$).

مثلث، منتصفات وتناظر
تمرين 3

ابن مثلثا ABC ثم أرسم O منتصف $[BC]$ و I منتصف $[AO]$. لتكن J منتصف $[AB]$.

  1. ابن النقطة D مناظرة B بالنسبة إلى I.
  2. أثبت أن ADBO متوازي أضلاع. استنتج علاقة بين $(AD)$ و $(BO)$ و $AD$ و $BO$.
  3. ابن النقطة K مناظرة O بالنسبة إلى J. أثبت أن AOBK متوازي أضلاع.
  4. استنتج أن A منتصف $[DK]$.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم خاصية "الرباعي الذي قطراه يتقاطعان في منتصفهما هو متوازي أضلاع" لإثبات طبيعة الأشكال الرباعية.

📝 الطريقة

  1. (2) في الرباعي ADBO، I منتصف $[AO]$ (معطى) و I منتصف $[BD]$ (لأن D مناظرة B بالنسبة لـ I). إذن قطراه يتقاطعان في منتصفهما. استنتج طبيعته وخصائصه.
  2. (3) في الرباعي AOBK، J منتصف $[AB]$ (معطى) و J منتصف $[OK]$ (لأن K مناظرة O بالنسبة لـ J). استنتج طبيعته.
  3. (4) من (2) نستنتج أن $(AD) // (BO)$ و $AD=BO$. من (3) نستنتج أن $(AK) // (BO)$ و $AK=BO$. ماذا تستنتج حول النقاط A, D, K والعلاقة بين $AD$ و $AK$؟

✅ الحل الكامل

2) الرباعي ADBO له قطران $[AO]$ و $[BD]$ يتقاطعان في منتصفهما I، إذن ADBO متوازي أضلاع. وبالتالي $(AD) // (BO)$ و $AD=BO$.

3) الرباعي AOBK له قطران $[AB]$ و $[OK]$ يتقاطعان في منتصفهما J، إذن AOBK متوازي أضلاع.

4) من ADBO متوازي أضلاع: $(AD) // (OB)$ و $AD = OB$. ومن AOBK متوازي أضلاع: $(AK) // (OB)$ و $AK = OB$. فالمستقيمان $(AD)$ و $(AK)$ يوازيان معًا $(OB)$ ويمران بالنقطة A، ولا يمرّ بنقطة سوى مستقيم واحد يوازي $(OB)$، إذن D و A و K في استقامة واحدة، مع تقابل D و K حول A حسب اتجاه الضلعين. وبما أن $AD = AK = OB$، فإن A هي منتصف القطعة $[DK]$.

مثلث قائم ومثلث متقايس الأضلاع
تمرين 4

ابن مثلثًا EFG قائمًا في E بحيث يكون $EF=3$ و $\angle EFG=60^\circ$.

  1. ابن النقطة H صورة F بالتناظر المركزي بالنسبة إلى E. ثم بين أن (EG) هو الموسط العمودي للقطعة $[FH]$.
  2. بين أن $\angle EHG=60^\circ$.
  3. استنتج أن المثلث FGH متقايس الأضلاع ثم ابحث عن طول كل ضلع من أضلاعه.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

المثلث EFG هو نصف مثلث متقايس الأضلاع. استخدم خصائص التناظر المركزي (الحفاظ على الأطوال والزوايا) وخصائص الموسط العمودي.

📝 الطريقة

  1. (1) H صورة F بالنسبة لـ E يعني E منتصف $[FH]$. بما أن المثلث EFG قائم في E، فإن $(EG) \perp (EF)$ أي $(EG) \perp (FH)$. مستقيم يمر من منتصف قطعة وعمودي عليها هو موسطها العمودي.
  2. (2) المثلث EHG هو صورة المثلث EFG بالتناظر المركزي E. التناظر يحافظ على أقيسة الزوايا، إذن $\angle EHG = \angle EFG = 60^\circ$.
  3. (3) المثلث FGH متقايس الضلعين في G لأن (EG) موسط ومحور. إذن $\angle GFH = \angle GHF$. بما أن $\angle EHG=60^\circ$ فالمثلث FGH له زاويتان 60 درجة، فهو متقايس الأضلاع. ولحساب $FG$: بما أن E منتصف [FH]، فإن $FH = 2\times EF = 6$، وبما أن المثلث متقايس الأضلاع فإن $FG = GH = HF = 6$.

✅ الحل الكامل

1) بما أن H مناظرة F بالنسبة لـ E، فإن E هي منتصف $[FH]$. ولدينا $(EG) \perp (EF)$ أي $(EG) \perp (FH)$. إذن (EG) هو الموسط العمودي لـ $[FH]$.

2) المثلث EHG هو صورة المثلث EFG بالتناظر المركزي الذي مركزه E. إذن $\angle EHG = \angle EFG = 60^\circ$.

3) بما أن $(EG)$ هو الموسط العمودي لـ $[FH]$، فالمثلث FGH متقايس الضلعين في G. إحدى زوايا قاعدته هي $\angle GHF = \angle EHG = 60^\circ$. مثلث متقايس الضلعين إحدى زواياه $60^\circ$ هو مثلث متقايس الأضلاع. وبما أن E منتصف [FH] (لأن H مناظرة F بالنسبة إلى E)، فإن $FH = 2\times EF = 6$ cm، ومنه $FG=GH=HF=6$ cm.

مثلث متقايس الأضلاع وتناظر
تمرين 5

نعتبر مثلثا ABC متقايس الأضلاع.

  1. ابن النقطتين A' و C' مناظرتي النقطتين A و C بالنسبة إلى B.
  2. بين أن المثلث A'BC' متقايس الأضلاع.
  3. برهن على أن (A'C')//(AC).
  4. برهن على أن الرباعي ACA'C' متوازي الأضلاع.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

التناظر المركزي يحافظ على طبيعة الأشكال الهندسية (مثلث متقايس الأضلاع يبقى كذلك)، الأطوال، ويحول مستقيم إلى مستقيم يوازيه.

📝 الطريقة

  1. (2) المثلث A'BC' هو صورة المثلث ABC بالتناظر المركزي الذي مركزه B. بما أن التناظر يحافظ على طبيعة الأشكال، فإنه متقايس الأضلاع.
  2. (3) صورة المستقيم (AC) هي المستقيم (A'C'). صورة مستقيم بتناظر مركزي هو مستقيم يوازيه.
  3. (4) B منتصف $[AA']$ و $[CC']$. إذن الرباعي ACA'C' له قطران يتقاطعان في منتصفهما B، فهو متوازي أضلاع.

✅ الحل الكامل

2) المثلث A'BC' هو صورة المثلث ABC بالتناظر المركزي B. بما أن ABC متقايس الأضلاع، فإن صورته A'BC' كذلك.

3) المستقيم (A'C') هو صورة المستقيم (AC) بالتناظر المركزي B، إذن $(A'C') // (AC)$.

4) بما أن A' مناظرة A بالنسبة لـ B، فإن B منتصف $[AA']$. وبالمثل B منتصف $[CC']$. الرباعي ACA'C' قطراه $[AA']$ و $[CC']$ يتقاطعان في نفس المنتصف B، إذن هو متوازي أضلاع.

مثلث متقايس الساقين وموسط عمودي
تمرين 6

ليكن EFG مثلثا متقايس الضلعين قمته الرئيسية E و M منتصف $[FG]$.

  1. برهن على أن (EM) عمودي على (FG).
  2. ابن النقاط G', M', F' مناظرات G, M, F بالنسبة إلى E. برهن أن M' هي منتصف $[F'G']$.
  3. بين أن (EM') هو الموسط العمودي للقطعة $[F'G']$.
  4. بين أنّ $(FG)//(F'G')$.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

في مثلث متقايس الضلعين، الموسط الصادر من القمة الرئيسية هو أيضا ارتفاع ومحور تناظر. التناظر المركزي يحافظ على المنتصفات والتعامد والتوازي.

📝 الطريقة

  1. (1) في المثلث المتقايس الضلعين EFG، الموسط [EM] الصادر من القمة E هو أيضا ارتفاع، إذن $(EM) \perp (FG)$.
  2. (2) صورة القطعة $[FG]$ هي $[F'G']$. بما أن M منتصف $[FG]$ والتناظر يحافظ على المنتصفات، فإن صورتها M' هي منتصف صورة القطعة $[F'G']$.
  3. (3) صورة (EM) هي (EM') وصورة (FG) هي (F'G'). التناظر يحافظ على التعامد، إذن $(EM') \perp (F'G')$. وبما أن M' منتصف $[F'G']$، فإن (EM') هو الموسط العمودي.
  4. (4) المستقيم $(F'G')$ هو صورة $(FG)$، إذن هما متوازيان.

✅ الحل الكامل

1) في المثلث EFG المتقايس الضلعين في E، الموسط [EM] هو أيضا ارتفاع، وبالتالي $(EM) \perp (FG)$.

2) التناظر المركزي يحافظ على المنتصفات. بما أن M منتصف $[FG]$، فإن صورتها M' هي منتصف صورة القطعة، أي منتصف $[F'G']$.

3) صورة المستقيم (EM) هي (EM') وصورة (FG) هي (F'G'). بما أن $(EM) \perp (FG)$، فإن $(EM') \perp (F'G')$. وبما أن (EM') يمر من منتصف $[F'G']$، فهو الموسط العمودي لها.

4) صورة مستقيم بتناظر مركزي هي مستقيم يوازيه، إذن $(FG) // (F'G')$.

مثلث متقايس الضلعين ومتوازي أضلاع
تمرين 7

نعتبر المثلث ABC المتقايس الضلعين في A.

  1. ابن النقطتين A' و C' مناظرتي النقطتين A و C بالنسبة إلى B.
  2. بين أن الرباعي ACA'C' هو متوازي أضلاع.
  3. بين أن المثلث BA'C' متقايس الضلعين. ما هو رأسه الرئيسي؟
  4. ليكن M نقطة من [AC]. بين أن M'، صورة M بالتناظر المركزي حول B، تنتمي إلى [A'C'].
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم تعريف التناظر المركزي لتحديد منتصفات الأقطار. التناظر المركزي يحافظ على الأطوال والانتماء إلى قطعة مستقيم.

📝 الطريقة

  1. (2) A' مناظرة A بالنسبة لـ B تعني B منتصف [AA']. C' مناظرة C بالنسبة لـ B تعني B منتصف [CC']. انظر إلى قطري الرباعي ACA'C'.
  2. (3) المثلث BA'C' هو صورة المثلث BAC بالتناظر المركزي B. التناظر يحافظ على طبيعة الأشكال.
  3. (4) صورة القطعة [AC] هي القطعة [A'C']. إذا كانت M تنتمي إلى [AC]، فإن صورتها M' تنتمي إلى صورة القطعة.

✅ الحل الكامل

2) بما أن B منتصف القطرين [AA'] و [CC']، فإن الرباعي ACA'C' هو متوازي أضلاع.

3) المثلث BA'C' هو صورة المثلث BAC بالتناظر المركزي B. بما أن المثلث ABC متقايس الضلعين في A، فإن صورته BA'C' متقايس الضلعين في صورة A، أي في A'. (خطأ، الرأس هو صورة الرأس. صورة A هي A'، صورة B هي B، صورة C هي C'. إذن المثلث A'BC' صورته ورأسه الرئيسي هو A').

4) صورة القطعة المستقيمة [AC] بالتناظر المركزي B هي القطعة المستقيمة [A'C']. بما أن $M \in [AC]$, فإن صورتها $M' \in [A'C']$.

مثلث قائم ودوائر
تمرين 8

ليكن ABC مثلث قائم في A بحيث $AB=3$ و $BC=6$.

  1. ابن المثلث ABC وتحقق أن $\angle ABC=60^\circ$.
  2. ليكن I منتصف [BC]. ما هي طبيعة المثلث ABI؟
  3. أرسم الدائرة (C) مركزها A وشعاعها 3، والدائرة (C') مركزها I وشعاعها 3.
  4. بين أن الدائرة (C) تمر من B، وأن الدائرة (C') تمر من A, B, C.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

في مثلث قائم، طول الموسط المتعلق بالوتر يساوي نصف طول الوتر.

📝 الطريقة

  1. (1) ليكن I منتصف الوتر [BC]. في المثلث القائم في A، القطعة AI من A إلى منتصف الوتر تساوي نصف الوتر: $AI = \frac{BC}{2} = 3$. وبما أن $AB = BI = AI = 3$، فالمثلث ABI متقايس الأضلاع، ومنه $\angle ABC = \angle ABI = 60^\circ$.
  2. (2) I منتصف الوتر [BC]، إذن الموسط $[AI] = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3$. لدينا أيضا $BI = \frac{BC}{2} = 3$. وبما أن $AB=3$, فالمثلث ABI له ثلاثة أضلاع متساوية ($AB=BI=IA=3$)، فهو متقايس الأضلاع.
  3. (4) الدائرة (C): مركزها A وشعاعها 3. بما أن $AB=3$، فإن B تنتمي للدائرة (C).
    الدائرة (C'): مركزها I وشعاعها 3. بما أن $IA=IB=IC=3$, فإن النقاط A, B, C تنتمي للدائرة (C'). (C') هي الدائرة المحيطة بالمثلث ABC.

✅ الحل الكامل

1) ليكن I منتصف [BC]؛ بما أن $AI = \frac{BC}{2} = 3 = AB = BI$، فالمثلث ABI متقايس الأضلاع، إذن $\angle ABC = 60^\circ$.

2) في المثلث القائم ABC، الموسط $[AI]$ المتعلق بالوتر $[BC]$ يساوي نصف طوله، أي $AI = BC/2 = 3$. وبما أن $I$ منتصف $[BC]$، فإن $BI = BC/2 = 3$. مع $AB=3$، يكون المثلث ABI متقايس الأضلاع.

4) الدائرة (C) مركزها A وشعاعها 3. بما أن $AB=3$, فإن B تنتمي للدائرة (C). الدائرة (C') مركزها I وشعاعها 3. بما أن $IA=IB=IC=3$, فإن النقاط A, B, C تنتمي كلها للدائرة (C').