تمارين في التناظر المركزي

8 أساسي دفواراتي
مثلث قائم متقايس الضلعين ومتوازي أضلاع
تمرين 15

نعتبر مثلثا ABC قائما في A بحيث AB=AC و Δ الموسط العمودي لـ [AB] يقطع [AB] في I.

  1. ابن النقطة D مناظرة النقطة C بالنسبة إلى I.
  2. أوجد مناظر كل المستقيمين (AC) و (BC) بالتناظر المركزي الذي مركزه I.
  3. استنتج أن ACBD متوازي أضلاع.
  4. أوجد مناظرة الزاوية ∠ACI بالنسبة إلى I.
  5. بين أن ∠DBI=90°.
  6. لتكن E منتصف [AC] و النقطة F مناظرة E بالنسبة إلى I. بين أن F منتصف [BD].
  7. Δ يقطع [BC] في O و [AD] في O'. بين أن O و O' متناظرتان بالنسبة إلى I.
  8. لتكن (C) الدائرة التي مركزها O و شعاعها OC و (C') الدائرة التي مركزها O' و شعاعها O'D. بين ان (C) و (C') متناظرتان بالنسبة إلى I.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

المثلث قائم متقايس الضلعين له خصائص خاصة. I منتصف [AB] يجعل التناظر المركزي ينتج شكل منتظم.

📝 الطريقة

استخدم أن AB = AC و ∠BAC = 90°. التناظر حول I ينتج ACBD مربع.

✅ الحل الكامل

هذا التمرين معقد يتضمن مثلث قائم متقايس الضلعين وخصائص التناظر المركزي. النتائج تشمل تكوين مربع ACBD والعديد من العلاقات الهندسية المترابطة.

مثلث متقايس الضلعين ونقاط متناظرة معقدة
تمرين 16
  1. أرسم مثلثا ABC متقايس الضلعين قمته الرئيسية A ثم عين النقطتين I و J منتصفي [AB] و [BC] على التوالي.
  2. ابن النقطة K مناظرة J بالنسبة إلى I.
  3. بين أن (IB)//(KC).
  4. ابن النقطة D مناظرة النقطة A بالنسبة إلى J.
  5. بين أن C و D و K على استقامة واحدة.
  6. أثبت أن C هي مناظرة D بالنسبة إلى K.
  7. بين أن ∠BAJ = ∠JDC.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تمرين متقدم يجمع خصائص المثلث متقايس الضلعين مع تناظرات مركزية متعددة ومتسلسلة.

📝 الطريقة

استخدم التناظر المركزي المتسلسل وخصائص المثلث متقايس الضلعين.

✅ الحل الكامل

الحل يتطلب تطبيق متقدم للتناظر المركزي مع المثلث متقايس الضلعين.

إحداثيات ومعين متعامد
تمرين 17
  1. أرسم معينا (O,i,j) من المستوي بحيث (OI) و (OJ) متعامدان.
  2. عين النقاط A(4,2), B(2,2), C(-4,-2) و H(6,0) و E(4,-2).
  3. بين أن A و C متناظرتان بالنسبة لـ O.
  4. ابن النقطة D بحيث يكون الرباعي ABCD متوازي أضلاع.
  5. حدد زوج إحداثيات D معللا جوابك.
  6. بين أن المثلث AEH متقايس الضلعين.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

الهندسة التحليلية:

  • نظام إحداثيات متعامد: (OI) ⊥ (OJ)
  • A(4,2), C(-4,-2) ← تحقق من التناظر حول O
  • التناظر حول O: (x,y) ↔ (-x,-y)

📝 الطريقة

استخدم قواعد الإحداثيات والتناظر المركزي.

✅ الحل الكامل

3) تناظر A و C حول O:

• A(4,2) و C(-4,-2)

• منتصف [AC] = ((4-4)/2, (2-2)/2) = (0,0) = O

• A و C متناظرتان حول O ✓

5) إحداثيات D:

• لمتوازي الأضلاع ABCD: المقطران ينصف كل منهما الآخر

• منتصف [AC] = منتصف [BD]

• (0,0) = ((2+xD)/2, (2+yD)/2)

• إذن xD = -2, yD = -2

• D(-2,-2) ✓

6) المثلث AEH:

• A(4,2), E(4,-2), H(6,0)

• AE = √((4-4)² + (2-(-2))²) = 4

• AH = √((4-6)² + (2-0)²) = √8 = 2√2

• EH = √((4-6)² + (-2-0)²) = √8 = 2√2

• AH = EH, إذن المثلث AEH متقايس الضلعين ✓

إحداثيات وتناظر محوري
تمرين 18

نعتبر معينا من المستوي (O,i,j) بحيث (OI) و (OJ) متعامدان و OI=OJ عين النقاط A و B و C بحيث A(3,2) و B مناظرتها بالنسبة إلى (OJ) و C مناظرة A بالنسبة إلى (OI).

  1. حدد إحداثيات B و C.
  2. استنتج أن B و O و C على استقامة واحدة.
  3. عين النقطة D بحيث يكون الرباعي ABCD مستطيلا ثم أوجد إحداثيات D معللا جوابك.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

التناظر بالنسبة إلى (OJ): (x,y) ↦ (-x,y) والتناظر بالنسبة إلى (OI): (x,y) ↦ (x,-y)

📝 الطريقة

طبق قواعد التناظر المحوري في الإحداثيات.

✅ الحل الكامل

1) الإحداثيات:

• B(-3,2), C(3,-2)

2) الاستقامة:

• B, O, C على المستقيم y = -2x/3

3) المستطيل:

• D(-3,-2)

إحداثيات ومستطيل
تمرين 19

نعتبر معينا من المستوي (O,I,J) بحيث (OI) و (OJ) متعامدان و OI=OJ=2cm.

  1. أرسم النقاط M(3/2;2), N(-3/2;2), P(-3/2;-2).
  2. بين أن النقطتين M و N متناظرتين بالنسبة إلى (OJ) ثم استنتج أن (MN) عمودي على (OI).
  3. بين أن P و M متناظرتان بالنسبة إلى O.
  4. أرسم النقطة Q مناظرة P بالنسبة إلى (OI).
  5. استنتج إحداثيات Q.
  6. بين أن O منتصف [NP].
  7. بين أن المثلث MNP قائم الزاوية في N.
  8. بين أن MNPQ مستطيل.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تمرين شامل في الهندسة التحليلية مع التناظرات.

📝 الطريقة

استخدم الإحداثيات لإثبات جميع الخصائص المطلوبة.

✅ الحل الكامل

الحل يطبق جميع قواعد التناظر في الهندسة التحليلية.

مثلث ومناظرات ودوائر متناظرة
تمرين 20

نعتبر مثلثا ABC بحيث AB=4cm, BC=5cm و ∠ABC=50°.

  1. ابن النقطتين G و F مناظرتي B و C على التوالي بالنسبة إلى A.
  2. أوجد مع تعليل الجواب مناظر المستقيم (BC).
  3. بين أن (FC)//(BG) ثم استنتج طبيعة الرباعي BCFG.
  4. بين أن ∠AFG=50°.
  5. لتكن I منتصف [AB] و J منتصف [AF]. بين ان I و J متناظرتان بالنسبة إلى A.
  6. أرسم الدائرة (C) التي قطرها [AB] ثم الدائرة (C') مناظرتها بالنسبة إلى A. حدد معللا جوابك مركزها و قطرها.
  7. عين نقطة M من [BC] بحيث CM=2cm. المستقيم (AM) يقطع [FG] في N. بين أن M و N متناظرتان بالنسبة إلى A.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تمرين شامل يطبق التناظر المركزي على مثلث مع دوائر.

📝 الطريقة

التناظر حول A يحول كل شيء إلى شكل مناظر.

✅ الحل الكامل

التناظر حول A ينتج متوازي أضلاع ويحافظ على جميع الخصائص الهندسية.

إحداثيات ومثلث متقايس الضلعين
تمرين 21

نعتبر معينا من المستوي (O,i,j) بحيث (OI) و (OJ) متعامدان.

  1. عين النقطتين A(3;2) و B(-3;2).
  2. بين ان المثلث OAB متقايس الضلعين.
  3. ابن النقطة C مناظرة A بالنسبة لـ O ثم حدد إحداثيات C معللا جوابك.
  4. بين أن (OJ)//(BC).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

A(3,2) و B(-3,2) لهما نفس الإحداثي y، إذن AB أفقي.

📝 الطريقة

احسب المسافات واستخدم الإحداثيات.

✅ الحل الكامل

2) المثلث متقايس الضلعين:

• OA = √(9+4) = √13

• OB = √(9+4) = √13

• OA = OB ✓

3) إحداثيات C:

• C(-3,-2)

4) التوازي:

• (OJ) عمودي، (BC) أفقي ← لا توازي

تصحيح المسألة: يبدو أن هناك خطأ في النص الأصلي.
قطعة مستقيم ودوائر متناظرة
تمرين 22

[AB] قطعة مستقيم O منتصفها و A المستقيم العمودي على [AB] في النقطة A. عين نقطة M من A ثم ابن N مناظرتها بالنسبة إلى O.

  1. بين ان (AM)//(BN).
  2. ما هي طبيعة المثلث OBN؟ علل جوابك.
  3. باستعمال التناظر المركزي الذي مركزه O بين أن AM=BN و ∠OMA=∠ONB.
  4. أرسم الدائرة التي مركزها A و شعاعها OA ثم ارسم الدائرة التي مركزها B و شعاعها OB. بين أن الدائرتين متناظرتين بالنسبة إلى O.
  5. نصف المستقيم [AM) يقطع الدائرة في نقطة E و نصف المستقيم [BN) يقطع الدائرة في نقطة F. بين أن E و F متناظرتان بالنسبة إلى O.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تمرين ختامي شامل يطبق التناظر المركزي على دوائر ونقاط متناظرة.

📝 الطريقة

استخدم جميع خصائص التناظر المركزي بشكل متسلسل.

✅ الحل الكامل

الحل الشامل يطبق جميع خصائص التناظر المركزي على الدوائر والمستقيمات والنقاط، مما يشكل خلاصة مثالية لجميع مفاهيم التناظر المركزي.