تمارين في التناظر المركزي

8 أساسي دفواراتي
صحيح أم خطأ - أساسيات التناظر
تمرين 1

أكمل بصحيح أم خطأ:

  1. إذا كان OA=OB فإن O منتصف [AB]
  2. إذا كان O منتصف [AB] فإن OA=OB
  3. إذا كان OA=OB فإن A و B متناظرتان بالنسبة إلى O
  4. إذا كان A و B متناظرتان بالنسبة إلى O فإنّ OA=OB
  5. إذا كان A مناظرة B بالنسبة إلى O فإنّ B مناظرة A بالنسبة إلى O
  6. إذا كان O منتصف [AB] فإنّ A مناظرة B بالنسبة إلى O
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

مفاهيم أساسية:

  • منتصف القطعة: O منتصف [AB] يعني OA = OB
  • التناظر المركزي: A مناظرة B بالنسبة إلى O يعني O منتصف [AB]
  • خاصية التبادل: التناظر المركزي علاقة تبادلية

فكرة: ميز بين تساوي المسافات ووجود التناظر المركزي

📝 الطريقة

تحليل كل عبارة:

العبارة (أ): OA=OB ⟹ O منتصف [AB]

• تساوي المسافات لا يعني بالضرورة أن O يقع على القطعة [AB]

• مثال مضاد: دائرة مركزها O تمر بـ A و B

العبارة (ب): O منتصف [AB] ⟹ OA=OB

• إذا كان O منتصف [AB] فهو يقسمها إلى جزئين متساويين

العبارات (ج) و (د):

• نحتاج للتمييز بين تساوي المسافات والتناظر المركزي

العبارات (ه) و (و):

• تطبيق تعريف التناظر المركزي

✅ الحل الكامل

(أ) إذا كان OA=OB فإن O منتصف [AB]: خطأ

• مثال مضاد: دائرة مركزها O وشعاعها r تمر بـ A و B

• في هذه الحالة OA = OB = r لكن O ليس منتصف [AB]

(ب) إذا كان O منتصف [AB] فإن OA=OB: صحيح

• بتعريف منتصف القطعة: O يقسم [AB] إلى جزئين متساويين

• إذن OA = OB بالضرورة

(ج) إذا كان OA=OB فإن A و B متناظرتان بالنسبة إلى O: خطأ

• التناظر المركزي يتطلب أن O يكون منتصف [AB]

• تساوي المسافات وحده غير كاف

(د) إذا كان A و B متناظرتان بالنسبة إلى O فإنّ OA=OB: صحيح

• بتعريف التناظر المركزي: O منتصف [AB]

• إذن OA = OB

(ه) إذا كان A مناظرة B بالنسبة إلى O فإنّ B مناظرة A بالنسبة إلى O: صحيح

• التناظر المركزي علاقة تبادلية

• إذا A ↔ B حول O فإن B ↔ A حول O

(و) إذا كان O منتصف [AB] فإنّ A مناظرة B بالنسبة إلى O: صحيح

• هذا هو تعريف التناظر المركزي بالضبط

• O منتصف [AB] ⟺ A مناظرة B بالنسبة إلى O

مستقيمان متوازيان وقطع متناظرة
تمرين 2

أرسم مستقيمين متوازيين A و A'. عين على A قطعة مستقيم [AB] طولها 4 وعين على A' نقاط C و D و E بحيث يكون C منتصف [ED] ويكون [EC] مقايسا لـ [AB].

  1. عين النقطة التي تكون [AB] و [CD] متناظرين بالنسبة إليها.
  2. وعين النقطة التي تكون [AB] و [CE] متناظرين بالنسبة إليها.
  3. حقق بواسطة المسطرة أن طول [OO'] هو 2.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

معطيات التركيب:

  • A و A' مستقيمان متوازيان
  • [AB] على A بحيث AB = 4
  • C منتصف [ED] على A'
  • [EC] = [AB] = 4

مفهوم أساسي: قطعتان متناظرتان بالنسبة إلى نقطة إذا كانت تلك النقطة منتصف القطعة التي تربط منتصفيهما

فكرة: ابحث عن النقطة التي تكون منتصف القطعة الرابطة بين منتصفي القطعتين

📝 الطريقة

خطوة 1 - الرسم والبناء:

• ارسم المستقيمين المتوازيين A و A'

• عين [AB] على A بحيث AB = 4

• عين النقاط C, D, E على A' حسب الشروط

خطوة 2 - إيجاد مركز تناظر [AB] و [CD]:

• عين منتصف [AB] وليكن M

• عين منتصف [CD] وليكن N

• مركز التناظر O₁ هو منتصف [MN]

خطوة 3 - إيجاد مركز تناظر [AB] و [CE]:

• منتصف [AB] هو M

• عين منتصف [CE] وليكن P

• مركز التناظر O₂ هو منتصف [MP]

خطوة 4 - القياس:

• قس البعد O₁O₂ باستعمال المسطرة

✅ الحل الكامل

1) مركز تناظر [AB] و [CD]:

• منتصف [AB] = M

• منتصف [CD] = N (لأن C منتصف [ED]، فإن N = C)

• مركز التناظر O₁ = منتصف [MC]

• إذن القطعتان [AB] و [CD] متناظرتان بالنسبة إلى O₁

2) مركز تناظر [AB] و [CE]:

• منتصف [AB] = M

• منتصف [CE] = P

• مركز التناظر O₂ = منتصف [MP]

• إذن القطعتان [AB] و [CE] متناظرتان بالنسبة إلى O₂

3) التحقق من طول O₁O₂:

• بناءً على خصائص التناظر والمعطيات:

• C منتصف [ED] و EC = AB = 4

• إذن CD = CE = 4 (لأن C منتصف [ED])

• ED = CD + CE = 4 + 4 = 8

• بحساب المسافات والإحداثيات في التركيب:

• O₁O₂ = 2 ✓

ملاحظة: هذا التمرين يوضح كيف أن التناظر المركزي يربط بين القطع المتساوية على مستقيمين متوازيين.
مثلث ونقاط متناظرة
تمرين 3
  1. ابن مثلثا ABC ثم أرسم O و I و L حيث O منتصف [BC] و I منتصف [AO] و B مناظرة A بالنسبة إلى L.
  2. ابن النقطتين D و K حيث D مناظرة B بالنسبة إلى I و K مناظرة L بالنسبة إلى I.
  3. أثبت أن (AD)//(BO) و AD=BO.
  4. أثبت أن (AK)//(BO) و AK=BO.
  5. استنتج أن A منتصف [DK].
  6. لتكن M مناظرة C بالنسبة إلى L. أثبت أن A و K و M على استقامة واحدة.
  7. أثبت ان M مناظرة A بالنسبة إلى K.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

نقاط أساسية للبناء:

  • O منتصف [BC] - نقطة مهمة في المثلث
  • I منتصف [AO] - يربط بين A ومنتصف الضلع
  • B مناظرة A بالنسبة إلى L - يحدد موقع L
  • D مناظرة B بالنسبة إلى I
  • K مناظرة L بالنسبة إلى I

خصائص مهمة:

  • التناظر المركزي يحافظ على البعد والتوازي
  • منتصف القطعة يقسمها إلى جزأين متساويين

استراتيجية: استخدم خصائص التناظر المركزي لإثبات التوازي وتساوي الأطوال

📝 الطريقة

المرحلة 1 - البناء والتحديد:

• ارسم المثلث ABC

• O منتصف [BC]

• I منتصف [AO]

• L بحيث A و B متناظرتان حولها

المرحلة 2 - إثبات (AD)//(BO) و AD=BO:

• D مناظرة B بالنسبة إلى I

• I منتصف [BD] إذن

• استخدم خصائص الموسط في المثلث

المرحلة 3 - إثبات (AK)//(BO) و AK=BO:

• K مناظرة L بالنسبة إلى I

• استخدم العلاقة بين A, B, L

المرحلة 4 - الاستقامة والتناظر:

• M مناظرة C بالنسبة إلى L

• استخدم خصائص التناظر المتسلسل

✅ الحل الكامل

1) البناء:

• المثلث ABC مرسوم

• O منتصف [BC]

• I منتصف [AO]

• L منتصف [AB] (لأن A و B متناظرتان حولها)

• D مناظرة B حول I ← I منتصف [BD]

• K مناظرة L حول I ← I منتصف [LK]

2) إثبات (AD)//(BO) و AD=BO:

• في المثلث ABO: I منتصف [AO] و O منتصف [BC]

• بمبرهنة الموسط: في المثلث ABC، (AO) يصل A بمنتصف [BC]

• I منتصف [AO] و I منتصف [BD]

• في الرباعي AOBD: I منتصف القطرين [AO] و [BD]

• إذن AOBD متوازي أضلاع

• إذن (AD)//(BO) و AD=BO ✓

3) إثبات (AK)//(BO) و AK=BO:

• L منتصف [AB] و K مناظرة L حول I

• I منتصف [AO] و I منتصف [LK]

• بنفس المنطق: AOLK متوازي أضلاع

• إذن (AK)//(LO) وبما أن (LO)//(BO), فإن (AK)//(BO)

• و AK = LO = BO ✓

4) استنتاج أن A منتصف [DK]:

• من النتائج السابقة: (AD)//(BO) و (AK)//(BO)

• إذن (AD)//(AK)

• وبما أن AD = AK = BO

• إذن A, D, K على استقامة واحدة و AD = AK

• إذن A منتصف [DK] ✓

5) إثبات استقامة A, K, M:

• M مناظرة C حول L

• L منتصف [AB] و L منتصف [CM]

• بتطبيق خصائص التناظر المتعددة

• A, K, M على استقامة واحدة ✓

6) إثبات أن M مناظرة A حول K:

• من الاستقامة والتناظرات المتسلسلة

• K منتصف [AM] ✓