نعتبر مثلثا ABC حيث AB = AC.
خصائص المثلث متقايس الضلعين:
الدوائر المعطاة:
التناظر للدوائر: مناظرة دائرة هي دائرة مركزها مناظر المركز الأصلي ونفس الشعاع
خطوة 1 - فهم الدوائر:
• (C) مركزها O وشعاعها AB
• (C') مركزها O وشعاعها AC
• بما أن AB = AC، فالدائرتان متطابقتان
خطوة 2 - التناظر بالنسبة لـ B:
• مناظرة الدائرة (C) حول B
• المركز الجديد = مناظر O حول B
• الشعاع يبقى نفسه
خطوة 3 - التناظر بالنسبة لـ A:
• نفس المنطق مع مركز التناظر A
1) بناء الدائرتين (C) و (C'):
• لتكن O نقطة معينة (مركز الدائرتين)
• (C): مركزها O وشعاعها AB
• (C'): مركزها O وشعاعها AC
• بما أن AB = AC (المثلث متقايس الضلعين)
• إذن الدائرتان (C) و (C') متطابقتان (نفس المركز ونفس الشعاع)
• (C) = (C') ✓
2) بناء الدائرة (C₁) مناظرة (C) بالنسبة لـ B:
• مناظرة دائرة بالتناظر المركزي:
- المركز الجديد = مناظر المركز الأصلي
- الشعاع يبقى نفسه
• مناظر المركز O بالنسبة لـ B = O₁ بحيث B منتصف [OO₁]
• إذن الدائرة (C₁): مركزها O₁ وشعاعها AB
• (C₁) مبنية ✓
3) مناظرة (C) بالنسبة لـ A:
• بنفس المنطق:
• مناظر المركز O بالنسبة لـ A = O₂ بحيث A منتصف [OO₂]
• مناظرة الدائرة (C) بالنسبة لـ A هي دائرة:
- مركزها O₂ (مناظر O حول A)
- شعاعها AB (نفس الشعاع الأصلي)
• مناظرة (C) بالنسبة لـ A هي الدائرة مركزها O₂ وشعاعها AB
• حيث A منتصف [OO₂] ✓
ABC مثلث قائم الزاوية في A و I منتصف [AB].
خصائص المثلث القائم:
مبرهنة الموسط: في المثلث، الموسط يوازي الضلع الثالث
خاصية الدائرة: الدائرة قطرها [AB] تمر بجميع النقاط التي ترى [AB] بزاوية قائمة
خطوة 1-2 - التوازي والتعامد:
• C' مناظرة C حول I ← I منتصف [CC']
• I منتصف [AB]
• استخدم مبرهنة الموسط في المثلث
خطوة 3 - مناظرة الزاوية:
• التناظر المركزي يحافظ على قياس الزوايا
• حدد النقاط المناظرة
خطوة 4-5 - النقاط والدوائر:
• استخدم خصائص التناظر المركزي
• للدوائر: حدد المركز والشعاع للدائرة المناظرة
1) بناء C':
• C' مناظرة C بالنسبة إلى I
• إذن I منتصف [CC'] ✓
2) إثبات (BC')//(AC) والتعامد:
• في المثلث ACC': I منتصف [AB] و I منتصف [CC']
• بمبرهنة الموسط: في المثلث، إذا كانت نقطة منتصف ضلع ونقطة أخرى منتصف قطعة تربط رأساً بنقطة
• فإن المستقيم المار بهاتين النقطتين يوازي الضلع الثالث
• في الرباعي ABC'C: I منتصف [AB] و I منتصف [C'C]
• إذن (BC')//(AC) بمبرهنة منتصفي ضلعين في رباعي
• (BC')//(AC) ✓
• بما أن المثلث ABC قائم في A: (AC) ⊥ (AB)
• وبما أن (BC')//(AC)
• إذن (BC') ⊥ (AB) ✓
3) مناظرة الزاوية ∠AC'C:
• بالتناظر المركزي حول I:
- A يبقى A (لأن I على [AB])
- C ↔ C'
- C ↔ C'
• إذن الزاوية ∠AC'C تناظر الزاوية ∠ACA'
• مناظرة ∠AC'C هي ∠ACB ✓
4) النقطتان B' و I':
• B' مناظرة B حول A ← A منتصف [BB']
• I' مناظرة I حول A ← A منتصف [II']
• I منتصف [AB] ← AI = IB
• I' مناظرة I حول A ← AI' = AI = IB
• B' مناظرة B حول A ← AB' = AB
• إذن AI' = IB = AB/2 و AB' = AB
• إذن I' منتصف [AB'] ✓
5) الدوائر والوضعية النسبية:
• الدائرة (C): قطرها [AB] ← مركزها I ومراعها AB/2
• الدائرة (C') مناظرة (C) حول A:
- المركز الجديد = مناظر I حول A = I'
- الشعاع يبقى AB/2
• إذن (C'): مركزها I' وشعاعها AB/2
• البعد بين المركزين: II' = 2 × AI = AB
• مجموع الشعاعين: AB/2 + AB/2 = AB
• بما أن البعد بين المركزين = مجموع الشعاعين
• الدائرتان (C) و (C') متماستان خارجياً ✓
ABC مثلث قائم الزاوية في A بحيث AB=2cm و AC=3cm.
E و F مناظرتا B و C حول A يعني A منتصف [BE] و A منتصف [CF]. هذا ينتج مستطيل EBCF.
استخدم أن A مركز التناظر يجعل EBCF مستطيل لأن الزاوية في A قائمة.
1-2) E و F مناظرتا B و C حول A تجعل EBCF مستطيل لأن ∠BAC = 90°.
3-5) التناظر المركزي يحافظ على الانتماء للمستقيمات، إذن M و N متناظرتان حول A، مما ينتج MBFN متوازي أضلاع.