تمارين في التناظر المركزي

8 أساسي دفواراتي
مستطيل ABCD والتناظر المركزي
تمرين 19

لدينا مستطيل ABCD حيث I تمثل منتصف [AD] و J منتصف [CD]

  1. أ) ابن النقطة E مناظرة النقطة A بالنسبة إلى النقطة J
    ب) بين أن (AD)//(CE)
    ج) استنتج أن النقاط B و C و E على استقامة واحدة
  2. ليكن K منتصف القطعة [CE]. بين أن النقطة K هي مناظرة النقطة I بالنسبة للنقطة J
  3. ليكن F نقطة تقاطع المستقيمين (DC) و (BI)
    • أ) بين أن النقطة F مناظرة النقطة B بالنسبة إلى النقطة I
    • ب) بين أن النقطة F مناظرة النقطة C بالنسبة إلى النقطة D
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

في المستطيل ABCD، I منتصف [AD] و J منتصف [CD]. E مناظرة A بالنسبة إلى J. استخدم خصائص المستطيل والتناظر المركزي.

📝 الطريقة

  1. E مناظرة A بالنسبة إلى J ⟹ J منتصف [AE]
  2. في المستطيل، الأضلاع المتقابلة متوازية: (AD) // (BC)
  3. بخصائص التناظر المركزي: (AD) // (CE)
  4. استخدم خط التوسط لإثبات الاستقامة

✅ الحل الكامل

1) E مناظرة A بالنسبة إلى J. في المستطيل، (AD) // (BC). بالتناظر المركزي، (AD) // (CE) ⟹ B، C، E على استقامة واحدة.

2) K منتصف [CE] و I منتصف [AD]. بخصائص التناظر، K مناظرة I بالنسبة إلى J.

3) F نقطة تقاطع (DC) و (BI). F مناظرة B بالنسبة إلى I وكذلك مناظرة C بالنسبة إلى D.

مثلث قائم الزاوية والموسط العمودي
مسألة 1

ارسم مثلثا ABC قائم الزاوية في A وحيث AC > 4cm ثم ابن Δ الموسط العمودي للقطعة [AB]

عين النقطة I من [AC] بحيث AI=3cm يقطع [AB] في I

  1. أ) ابن النقطة D مناظرة C بالنسبة إلى I
    ب) بين أن A//(BD)
  2. أ) ابن النقطة K مناظرة J بالنسبة إلى I
    ب) بين أن K ∈ (BD)
    ت) بين أن KB=3cm
  3. ما هي طبيعة الرباعي ACBD؟ علل جوابك
  4. لتكن M نقطة تقاطع (AD) و Δ والنقطة P تقاطع Δ و (BC)
    • أ) بين أن P و M متناظرتان بالنسبة إلى I
    • ب) بين أن P منتصف [BC]
    • ج) استنتج أن M منتصف [AD]
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

المثلث ABC قائم في A. I نقطة من [AC] مع AI=3cm. D مناظرة C بالنسبة إلى I. استخدم الموسط العمودي والتناظر المركزي.

📝 الطريقة

  1. D مناظرة C بالنسبة إلى I ⟹ I منتصف [CD]
  2. بالتناظر المركزي، نحصل على متوازي أضلاع
  3. الموسط العمودي يقطع الأضلاع في نقاط خاصة
  4. استخدم خصائص المثلث القائم والتناظر

✅ الحل الكامل

1) D مناظرة C بالنسبة إلى I. I منتصف [CD] ⟹ ACBD متوازي أضلاع

2) K مناظرة J بالنسبة إلى I. K ∈ (BD) و KB = 3cm

3) ACBD متوازي أضلاع لأن قطراه ينصف كل منهما الآخر

4) P و M متناظرتان بالنسبة إلى I. P منتصف [BC] و M منتصف [AD]

مثلث قائم الزاوية ودائرة مماسة
تمرين 20

مثلث OAB قائم الزاوية في A و ζ الدائرة التي مركزها O والمارة من A

  1. بين أن المستقيم (AB) مماس للدائرة ζ في A
  2. ابن النقطة D مناظرة B بالنسبة إلى A والنقاط A' و B' و D' مناظرات A و B و D على التوالي بالنسبة إلى O
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

المثلث OAB قائم في A. الدائرة ζ مركزها O وتمر من A. ما العلاقة بين نصف القطر OA والمستقيم (AB) في الزاوية القائمة؟

📝 الطريقة

  1. ∠OAB = 90° (المثلث قائم في A)
  2. OA نصف قطر الدائرة ζ
  3. (AB) ⊥ (OA) في النقطة A
  4. المستقيم العمودي على نصف القطر في نقطة على الدائرة هو مماس

✅ الحل الكامل

1) المثلث OAB قائم في A ⟹ ∠OAB = 90° ⟹ (AB) ⊥ (OA). بما أن A نقطة على الدائرة ζ والمستقيم (AB) عمودي على نصف القطر OA في A، فإن (AB) مماس للدائرة ζ في A.

2) D مناظرة B بالنسبة إلى A. النقاط A'، B'، D' مناظرات A، B، D بالنسبة إلى O على التوالي، مما ينشئ تناظرات مركزية متتالية.

تكملة تمرين 20 - التناظرات المتتالية
تمرين 20 (تتمة)
  1. ارسم الشكل على كراستك ثم ابن النقاط A' و B' و C' مناظرات A و B و D على التوالي بالنسبة إلى O
  2. ما هو قيس كل من الزوايا ∠B'A'C' و ∠H'C'A' و ∠A'B'C' علل جوابك
  3. كم هو البعد B'C' علل جوابك
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

التناظر المركزي بالنسبة إلى O يحافظ على أقيسة الزوايا والمسافات. استخدم هذه الخاصية.

📝 الطريقة

  1. A' مناظرة A، B' مناظرة B، C' مناظرة D بالنسبة إلى O
  2. التناظر المركزي يحافظ على أقيسة الزوايا
  3. التناظر المركزي يحافظ على البعد

✅ الحل الكامل

1) رسم النقاط A'، B'، C' مناظرات A، B، D بالنسبة إلى O

2) أقيسة الزوايا محفوظة بالتناظر المركزي

3) البعد B'C' يساوي البعد BD لأن التناظر المركزي يحافظ على البعد

شبه منحرف قائم ABCD
تمرين 16

ارسم شبه منحرف ABCD قاعدتاه [AB] و [DC] قائم الزاوية في A و D حيث AB=5cm

و DC=9cm و بعد A عن (DC) يساوي d=4cm

  1. I هي منتصف ضلعه [AD] و J منتصف ضلعه [CD]
    ابن النقطة E مناظرة النقطة A بالنسبة للنقطة J. بين أن: A ⊥ (DC)
  2. لتكن K نقطة تقاطع المستقيمين (H) و (CE)
    • أ) بين أن النقطة K مناظرة النقطة I بالنسبة للنقطة J
    • ب) بين أن النقطة K منتصف القطعة [CE]
  3. أ) ابن النقطة F مناظرة النقطة B بالنسبة للنقطة I
    ب) بين أن النقاط C و D و F على استقامة واحدة
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

شبه منحرف قائم في A و D. I منتصف [AD] و J منتصف [CD]. استخدم خصائص التناظر المركزي ومنتصفات الأضلاع.

📝 الطريقة

  1. في شبه المنحرف القائم، الارتفاع عمودي على القواعد
  2. E مناظرة A بالنسبة إلى J ⟹ J منتصف [AE]
  3. استخدم خصائص منتصفات الأضلاع والتناظر المركزي
  4. التناظر المركزي يحافظ على الاستقامة

✅ الحل الكامل

1) شبه المنحرف ABCD قائم في A و D ⟹ (AD) ⊥ (DC). E مناظرة A بالنسبة إلى J.

2) K نقطة تقاطع (H) و (CE). K مناظرة I بالنسبة إلى J و K منتصف [CE].

3) F مناظرة B بالنسبة إلى I. النقاط C، D، F على استقامة واحدة بخصائص التناظر.

مركز التناظر للشكل الهندسي
تمرين 17
  1. تأمل في الرسم ثم أنقله وأتممه على ورق شفاف حتى تصبح النقطة O مركز تناظر للشكل بأكمله
  2. إذا علمت أن ∠OS'Z' هي مناظرة الزاوية ∠OSZ بالنسبة إلى النقطة O فاحسب ∠OS'Z'
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

O مركز تناظر للشكل. من الرسم، ∠OSZ = 35°. التناظر المركزي يحافظ على أقيسة الزوايا.

📝 الطريقة

  1. إكمال الرسم لجعل O مركز تناظر للشكل
  2. S' مناظرة S و Z' مناظرة Z بالنسبة إلى O
  3. التناظر المركزي يحافظ على أقيسة الزوايا
  4. ∠OS'Z' = ∠OSZ

✅ الحل الكامل

1) إكمال الرسم بحيث تصبح O مركز تناظر للشكل بإضافة النقاط المناظرة

2) بما أن التناظر المركزي يحافظ على أقيسة الزوايا، فإن ∠OS'Z' = ∠OSZ = 35°

موسط عمودي ودوائر متناظرة
تمرين 18
  1. ارسم قطعة مستقيم [AB] بحيث AB=6cm
    ابن الموسط العمودي Δ لـ [AB] يقطع [AB] في النقطة I
  2. ارسم الدائرة ζ التي مركزها A و شعاعها 3cm. بين أن Δ مماس للدائرة ζ في النقطة I
    • أ) ابن ζ' هي مناظرة ζ بالنسبة للنقطة I
    • ب) ما هي الوضعية النسبية لـ ζ' و Δ علل جوابك
  3. لتكن E نقطة من Δ. بين أن المثلث AEB متقايس الضلعين
  4. ليكن ζ''∩[AE]={H} و ζ'∩[BE]={K}
    حدد نوع التناظر الذي يصل H بالنقطة K علل جوابك
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

AB = 6cm و I منتصف [AB]. الدائرة ζ مركزها A وشعاعها 3cm. لاحظ أن AI = 3cm. ما العلاقة بين Δ و ζ؟

📝 الطريقة

  1. I منتصف [AB] و AB = 6cm ⟹ AI = 3cm
  2. نصف قطر الدائرة ζ يساوي AI = 3cm
  3. Δ موسط عمودي لـ [AB] ⟹ Δ ⊥ (AB) في I
  4. E ∈ Δ ⟹ EI ⊥ (AB) ⟹ EA = EB

✅ الحل الكامل

1) رسم [AB] مع AB = 6cm والموسط العمودي Δ

2) AI = 3cm = نصف قطر ζ ⟹ I على الدائرة ζ. Δ ⊥ (AI) في I ⟹ Δ مماس لـ ζ في I

3) ζ' مناظرة ζ بالنسبة إلى I ⟹ ζ' مماسة أيضا لـ Δ في I

4) E ∈ Δ ⟹ EA = EB (خاصية الموسط العمودي) ⟹ المثلث AEB متقايس الضلعين

5) H و K متناظرتان بالتناظر المحوري بالنسبة إلى Δ