تمارين في التناظر المركزي

8 أساسي دفواراتي
مستطيل ABCD والتناظر المركزي
تمرين 19

لدينا مستطيل ABCD حيث I تمثل منتصف [AD] و J منتصف [CD]

  1. أ) ابن النقطة E مناظرة النقطة A بالنسبة إلى النقطة J
    ب) بين أن (AD)//(CE)
    ج) استنتج أن النقاط B و C و E على استقامة واحدة
  2. ليكن K منتصف القطعة [CE]. بين أن النقطة K هي مناظرة النقطة I بالنسبة للنقطة J
  3. ليكن F نقطة تقاطع المستقيمين (DC) و (BI)
    • أ) بين أن النقطة F مناظرة النقطة B بالنسبة إلى النقطة I
    • ب) بين أن النقطة F مناظرة النقطة C بالنسبة إلى النقطة D
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

في المستطيل ABCD، I منتصف [AD] و J منتصف [CD]. استخدم خصائص التناظر المركزي وخصائص المستطيل.

📝 الطريقة

  1. E مناظرة A بالنسبة إلى J ⟹ J منتصف [AE]
  2. في المستطيل، الأضلاع المتقابلة متوازية
  3. استخدم خصائص منتصفات الأضلاع في المستطيل
  4. التناظر المركزي يحافظ على الاستقامة والمسافات

✅ الحل الكامل

1) E مناظرة A بالنسبة إلى J. في المستطيل ABCD، (AD) // (BC) ⟹ (AD) // (CE)

2) K منتصف [CE] و I منتصف [AD]. بخصائص التناظر المركزي، K مناظرة I بالنسبة إلى J

3) F نقطة تقاطع (DC) و (BI). F مناظرة B بالنسبة إلى I وكذلك مناظرة C بالنسبة إلى D

مثلث قائم الزاوية والموسط العمودي
مسألة 1

ارسم مثلثا ABC قائم الزاوية في A وحيث AC > 4cm ثم ابن Δ الموسط العمودي للقطعة [AB]

عين النقطة I من [AC] بحيث AI=3cm يقطع [AB] في I

  1. أ) ابن النقطة D مناظرة C بالنسبة إلى I
    ب) بين أن A//(BD)
  2. أ) ابن النقطة K مناظرة J بالنسبة إلى I
    ب) بين أن K ∈ (BD)
    ت) بين أن KB=3cm
  3. ما هي طبيعة الرباعي ACBD؟ علل جوابك
  4. لتكن M نقطة تقاطع (AD) و Δ والنقطة P تقاطع Δ و (BC)
    • أ) بين أن P و M متناظرتان بالنسبة إلى I
    • ب) بين أن P منتصف [BC]
    • ج) استنتج أن M منتصف [AD]
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

المثلث ABC قائم في A و I نقطة من [AC]. استخدم الموسط العمودي لـ [AB] والتناظر المركزي بالنسبة إلى I.

📝 الطريقة

  1. D مناظرة C بالنسبة إلى I ⟹ I منتصف [CD]
  2. في المثلث القائم، استخدم خصائص الموسط العمودي
  3. التناظر المركزي ينشئ متوازي أضلاع
  4. استخدم خصائص نقاط التقاطع مع الموسط العمودي

✅ الحل الكامل

1) D مناظرة C بالنسبة إلى I. I منتصف [CD] و ACBD متوازي أضلاع

2) K مناظرة J بالنسبة إلى I و KB = 3cm

3) ACBD متوازي أضلاع لأن قطراه ينصف كل منهما الآخر

4) P و M متناظرتان بالنسبة إلى I و هما منتصفا [BC] و [AD] على التوالي

مثلث قائم الزاوية ودائرة مماسة
تمرين 20

مثلث OAB قائم الزاوية في A و ζ الدائرة التي مركزها O والمارة من A

  1. بين أن المستقيم (AB) مماس للدائرة ζ في A
  2. ابن النقطة D مناظرة B بالنسبة إلى A والنقاط A' و B' و D' مناظرات A و B و D على التوالي بالنسبة إلى O
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

المثلث OAB قائم في A. الدائرة ζ مركزها O وتمر من A. ما العلاقة بين نصف القطر OA والمستقيم (AB)؟

📝 الطريقة

  1. الزاوية ∠OAB = 90° (المثلث قائم في A)
  2. OA نصف قطر الدائرة ζ
  3. المستقيم المار بنقطة على الدائرة وعمودي على نصف القطر هو مماس للدائرة
  4. استخدم التناظر المركزي بالنسبة إلى O و A

✅ الحل الكامل

1) المثلث OAB قائم في A ⟹ (AB) ⊥ (OA). بما أن OA نصف قطر والمستقيم (AB) يمر بـ A وعمودي على نصف القطر، فإن (AB) مماس للدائرة ζ في A.

2) D مناظرة B بالنسبة إلى A، والنقاط A'، B'، D' مناظرات A، B، D بالنسبة إلى O على التوالي.

مثلث قائم ومتوازي أضلاع ADEI
تمرين 21

المثلث ADI قائم الزاوية في I وحيث DI=10cm و C نقطة من [DI] بحيث CI=4cm.

  1. انقل المعطيات على ورقتك ثم انجز الرسم.
  2. ابن النقطة E بحيث ADEI متوازي الأضلاع؛ لتكن O منتصف [EI].
    • أ) حدد مناظر المستقيم (DE) بالنسبة إلى O مع تعليل الجواب.
    • ب) ابن النقطة B مناظرة D بالنسبة إلى O. بين أن B ∈ (AI).
  3. بين أن المثلث ABC متقايس الضلعين.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

المثلث ADI قائم في I و ADEI متوازي أضلاع. O منتصف [EI]. استخدم خصائص متوازي الأضلاع والتناظر المركزي.

📝 الطريقة

  1. في متوازي الأضلاع ADEI، القطران [AI] و [DE] ينصف كل منهما الآخر
  2. O منتصف [EI] ⟹ O هو أيضا منتصف [AD]
  3. مناظر (DE) بالنسبة إلى O هو (AI)
  4. B مناظرة D بالنسبة إلى O ⟹ B ∈ (AI)

✅ الحل الكامل

1) رسم المثلث ADI قائم في I مع DI = 10cm و C على [DI] بحيث CI = 4cm

2أ) في متوازي الأضلاع ADEI، O مركز التناظر. مناظر المستقيم (DE) بالنسبة إلى O هو المستقيم (AI)

2ب) B مناظرة D بالنسبة إلى O. بما أن O منتصف [AD]، فإن B ∈ (AI)

3) المثلث ABC متقايس الضلعين لأن التناظر المركزي يحافظ على البعد والزوايا

مثلث ABC والتناظرات والدوائر المماسة
مسألة 2
  1. أرسم مثلثا ABC بحيث BC=5cm و ∠ABC=50° و I منتصف [AB].
    • أ) ابن D مناظرة C بالنسبة إلى I.
    • ب) بين أن AD=5cm وأن (BC)//(AD).
    • ت) بين أن ∠BAD = 50°.
  2. ابن E و F مناظرتي B و C بالنسبة إلى A.
  3. بين أن EF=AD وأن (EF)//(AD).
  4. بين أن ∠DAB = ∠FEA.
  5. لتكن الدائرة ζ ذات المركز C والشعاع 2cm والدائرة ζ' التي مركزها D وشعاعها 2cm.
    [BC] يقطع الدائرة ζ في P و [AD] يقطع ζ' في Q.
    Δ هو المماس للدائرة ζ في P و Δ' المماس للدائرة ζ' في Q.
    بين أن Δ و Δ' متناظران بالنسبة إلى I.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

I منتصف [AB] و D مناظرة C بالنسبة إلى I. هذا ينشئ متوازي أضلاع ABCD. استخدم التناظر المركزي للدوائر والمماسات.

📝 الطريقة

  1. ABCD متوازي أضلاع لأن I منتصف [AB] و [CD]
  2. في متوازي الأضلاع: الأضلاع المتقابلة متساوية ومتوازية
  3. التناظر المركزي بالنسبة إلى A ينشئ علاقات بين النقاط
  4. التناظر المركزي يحول الدوائر والمماسات إلى دوائر ومماسات مناظرة

✅ الحل الكامل

1) ABCD متوازي أضلاع ⟹ AD = BC = 5cm و (BC) // (AD) و ∠BAD = ∠ABC = 50°

2) E مناظرة B و F مناظرة C بالنسبة إلى A

3) EF = AD و (EF) // (AD) بالتناظر المركزي

4) ∠DAB = ∠FEA بخصائص التناظر المركزي

5) الدائرتان ζ و ζ' والمماسان Δ و Δ' متناظران بالنسبة إلى I

مثلث قائم وارتفاع ودائرة مماسة
تمرين 22
  1. أرسم مثلث OEF قائم الزاوية في O وليكن [OH] ارتفاعه الصادر من O.
    لتكن الدائرة (ζ) ذات المركز O والمارة من H؛ بين أن (EF) مماس للدائرة (ζ).
  2. أرسم القطر [HK]. ثم ابن المستقيم Δ المار من K والموازي لـ (EF).
    برهن أن Δ هو مناظر المستقيم (EF) بالنسبة إلى O.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

المثلث OEF قائم في O و [OH] ارتفاع من O إلى (EF). الدائرة (ζ) مركزها O وتمر من H. ما العلاقة بين OH و (EF)؟

📝 الطريقة

  1. في المثلث القائم، الارتفاع من الزاوية القائمة عمودي على الوتر
  2. (OH) ⊥ (EF) لأن [OH] ارتفاع
  3. المستقيم المار بنقطة على الدائرة وعمودي على نصف القطر هو مماس
  4. التناظر المركزي يحول المستقيمات المتوازية إلى مستقيمات متوازية

✅ الحل الكامل

1) المثلث OEF قائم في O و [OH] ارتفاع ⟹ (OH) ⊥ (EF). بما أن OH نصف قطر الدائرة (ζ) والمستقيم (EF) يمر بـ H وعمودي على نصف القطر، فإن (EF) مماس للدائرة (ζ) في H.

2) [HK] قطر الدائرة ⟹ O منتصف [HK]. المستقيم Δ يمر من K وموازي لـ (EF). بالتناظر المركزي بالنسبة إلى O، الخط Δ هو صورة المستقيم (EF).