تمارين في التناظر المركزي

الحل الكامل:

1. أ) بين أن النقطة $A$ مناظرة النقطة $B$ بالنسبة إلى $J$.

بما أن $ABCD$ مستطيل، فإن أضلاعه المتقابلة متوازية ومتساوية. وبالتالي، $AD \parallel BC$ و $AB \parallel DC$.

بما أن $J$ منتصف $[CD]$، فإن $CJ = JD$.

في المستطيل، الأقطار تنصف بعضها البعض. لذا، إذا كان $J$ منتصف $CD$، فإن $J$ ليست مركز تناظر بين $A$ و $B$ بشكل مباشر. يبدو أن هناك خطأ في السؤال الأصلي أو أنه يتطلب بناء إضافي. إذا كانت النقطة $J$ هي مركز تناظر $A$ و $B$، فهذا يعني أن $J$ هي منتصف القطعة المستقيمة $[AB]$، وهو ما لا ينطبق على المستطيل إلا في حالات خاصة.

ب) بين أن $I$ منتصف $[CE]$.

لإثبات أن $I$ منتصف $[CE]$، نحتاج إلى مزيد من المعلومات حول النقطة $E$. لم يتم تعريف النقطة $E$ في نص التمرين. يرجى توضيح موقع النقطة $E$.

2. لتكن $K$ نقطة تقاطع المستقيمين $(DC)$ و $(BI)$.

أ) بين أن النقطة $F$ مناظرة النقطة $B$ بالنسبة إلى $I$.

لإثبات أن $F$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $I$، يجب أن يكون $I$ منتصف $[BF]$. نحتاج إلى تعريف النقطة $F$ في التمرين.

ب) بين أن النقطة $F$ مناظرة النقطة $C$ بالنسبة إلى $D$.

لإثبات أن $F$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $D$، يجب أن يكون $D$ منتصف $[FC]$. نحتاج إلى تعريف النقطة $F$ في التمرين.

الحل الكامل:

1. بين أن المستقيم $(AB)$ مماس للدائرة $\mathcal{C}$ في $A$.

بما أن المثلث $OAB$ قائم الزاوية في $A$:

$$ (OA) \perp (AB) $$

وبما أن $\mathcal{C}$ هي الدائرة التي مركزها $O$ وشعاعها $2cm$، فإن $A$ تقع على الدائرة لأن $OA$ هو نصف قطرها (غير مذكور صراحة $OA=2cm$ ولكن ضمنياً من الرسم والسياق).

إذن، المستقيم $(AB)$ عمودي على نصف القطر $[OA]$ في النقطة $A$ التي تنتمي إلى الدائرة $\mathcal{C}$.

وبالتالي، المستقيم $(AB)$ مماس للدائرة $\mathcal{C}$ في $A$.

2. ابن النقطة $D$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $A$ و $B'$ و $A'$ مناظرات $A$ و $B$ و $C$ على التوالي بالنسبة إلى $O$.

لإنشاء $D$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $A$: نقوم بتمديد المستقيم $(BA)$ من $A$ إلى $D$ بحيث $A$ تكون منتصف القطعة $[BD]$. أي أن $AB = AD$.

لإنشاء $B'$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $O$: نقوم بتمديد المستقيم $(BO)$ من $O$ إلى $B'$ بحيث $O$ تكون منتصف القطعة $[BB']$. أي أن $BO = OB'$.

لإنشاء $A'$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $O$: نقوم بتمديد المستقيم $(AO)$ من $O$ إلى $A'$ بحيث $O$ تكون منتصف القطعة $[AA']$. أي أن $AO = OA'$.

لإنشاء $C'$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $O$: نقوم بتمديد المستقيم $(CO)$ من $O$ إلى $C'$ بحيث $O$ تكون منتصف القطعة $[CC']$. أي أن $CO = OC'$.

الحل الكامل:

السؤال الأول والثاني في تمرين 21 يبدوان منفصلين عن بقية التمرين (الذي يبدأ من "المثلث $ADI$ أسفله ..."). سأفترض أن السؤالين الأولين يتبعان سياقًا سابقًا غير متوفر في الصور، وسأركز على الجزء الذي تبدأ فيه المعطيات الجديدة.

الجزء الجديد من التمرين 21:

المثلث $ADI$ قائم الزاوية في $I$ وحيث $DI=10cm$ و $C$ نقطة من $[DI]$ بحيث $IC=4cm$.

1. انقل المعطيات على ورقتك ثم أنجز الرسم.

يتم الرسم بإنشاء نقطة $I$ ثم رسم مستقيم عمودي عليها لتحديد $A$. ثم تحديد $D$ على المستقيم الآخر بحيث $ID=10cm$. ثم تحديد $C$ على $[DI]$ بحيث $IC=4cm$.

2. ابن النقطة $E$ بحيث $ADEI$ متوازي أضلاع ؛ لتكن $O$ منتصف $[EI]$.

لإنشاء $E$ بحيث $ADEI$ متوازي أضلاع: بما أن $ADEI$ متوازي أضلاع، فإن $AD \parallel IE$ و $AI \parallel DE$. كما أن $AD = IE$ و $AI = DE$. يمكن إنشاء $E$ بحيث تكون $[IE]$ موازية لـ $[AD]$ ومساوية لها في الطول (أي يكون $ADEI$ متوازي أضلاع).

النقطة $O$ هي منتصف $[EI]$.

أ. حدد مناظر المستقيم $(DE)$ بالنسبة إلى $O$ مع تعليل الجواب.

بما أن $O$ منتصف $[EI]$، فإن مناظر $E$ بالنسبة إلى $O$ هي $I$.

بما أن $ADEI$ متوازي أضلاع، فإن $O$ هو أيضًا منتصف $[AD]$ (أقطار متوازي الأضلاع تتنصف). إذن، مناظر $D$ بالنسبة إلى $O$ هي $A$.

بما أن التناظر المركزي يحول المستقيم إلى مستقيم يوازيه، فإن مناظر المستقيم $(DE)$ بالنسبة إلى $O$ هي المستقيم الذي يمر بمناظر $D$ ومناظر $E$.

مناظر $D$ هي $A$ ومناظر $E$ هي $I$.

إذن، مناظر المستقيم $(DE)$ بالنسبة إلى $O$ هو المستقيم $(AI)$.

بما أن $O$ هو مركز التناظر، فإن $(DE) \parallel (AI)$.

ب. ابن النقطة $B$ مناظرة $D$ بالنسبة إلى $O$. بين أن $(AI) \parallel (BE)$.

لإنشاء $B$ مناظرة $D$ بالنسبة إلى $O$: نقوم بتمديد المستقيم $(DO)$ من $O$ إلى $B$ بحيث $O$ تكون منتصف القطعة $[DB]$. أي أن $DO = OB$.

لإثبات أن $(AI) \parallel (BE)$:

بما أن $B$ مناظرة $D$ بالنسبة إلى $O$.

وبما أن $ADEI$ متوازي أضلاع و $O$ منتصف $[AD]$ و $[EI]$ (أي $A$ مناظرة $D$ بالنسبة إلى $O$ و $I$ مناظرة $E$ بالنسبة إلى $O$).

إذن المستقيم $(AI)$ هو مناظر المستقيم $(DE)$ بالنسبة إلى $O$.

وبما أن $B$ هي مناظر $D$ بالنسبة إلى $O$ و $E$ هي مناظر $I$ بالنسبة إلى $O$ (من كون $ADEI$ متوازي أضلاع و $O$ منتصف $[EI]$).

إذن المستقيم $(BE)$ هو مناظر المستقيم $(DI)$ بالنسبة إلى $O$.

وبالتالي، بما أن مناظر مستقيم هو مستقيم مواز له، فإن $(AI) \parallel (DE)$ و $(BE) \parallel (DI)$.

بما أن $I$ هي نقطة على $(DI)$، و $A$ نقطة على $(AI)$، و $E$ نقطة على $(BE)$، و $D$ نقطة على $(DE)$.

هنا يبدو أن هناك خلطاً في التناظر. لنعد تنظيمها بناءً على المعطيات:

لدينا $O$ منتصف $[EI]$. ولدينا $B$ مناظرة $D$ بالنسبة إلى $O$ (أي $O$ منتصف $[BD]$).

إذن، $DEBI$ هو متوازي أضلاع لأن أقطاره $[DI]$ و $[BE]$ تنصف بعضها البعض عند $O$.

في متوازي الأضلاع $ADEI$، لدينا $(AI) \parallel (DE)$.

وبما أن $DEBI$ متوازي أضلاع، فإن $(DE) \parallel (BI)$.

وبالتالي، $(AI) \parallel (DE) \parallel (BI)$. هذا يعني أن $A, I, B$ على استقامة واحدة. وهذا يتعارض مع كون $ADEI$ متوازي أضلاع و $B$ مناظرة $D$ بالنسبة إلى $O$ إلا إذا كانت $A,D,I,E,B,O$ كلها على استقامة واحدة، وهو ما لا يبدو عليه الرسم.

هناك تناقض محتمل في المعطيات أو تسلسلها. إذا كان $ADEI$ متوازي أضلاع، فإن $O$ (منتصف $EI$) هو أيضاً منتصف $AD$. إذا كانت $B$ مناظرة $D$ بالنسبة إلى $O$، فإن $O$ منتصف $DB$. هذا يعني أن $ADBC$ متوازي أضلاع. وبالتالي $(AI)$ يجب أن تكون موازية لـ $(DE)$. و $(BE)$ يجب أن تكون موازية لـ $(DI)$. إذن $(AI) \parallel (BE)$ لا تستنتج مباشرة من هذه المعطيات إلا إذا كان هناك نقاط محددة تقع على استقامة واحدة.

بما أن $O$ هو منتصف $[EI]$ و $O$ هو منتصف $[BD]$، فإن الشكل $DEBI$ هو متوازي أضلاع.

في متوازي الأضلاع $DEBI$، الضلع $(DI)$ يوازي $(BE)$.

نحن نعلم أن $I$ تقع على $(DI)$.

وأن $A$ هي رأس المثلث $ADI$.

لننظر إلى المعطيات مرة أخرى. إذا كان $ADEI$ متوازي أضلاع، فإن $(AI) \parallel (DE)$.

إذا كان $O$ منتصف $[BD]$، و $O$ منتصف $[EI]$، فإن $(BE)$ يوازي $(DI)$.

السؤال هو إثبات $(AI) \parallel (BE)$. هذا يعني أن $(DE) \parallel (DI)$. وهذا ممكن فقط إذا كانت النقاط $D, E, I$ على استقامة واحدة، وهذا يتناقض مع كون $ADI$ مثلث.

يبدو أن هناك خطأ في صياغة السؤال "بين أن $(AI) \parallel (BE)$". قد يكون القصد إثبات توازي آخر أو أن هناك معلومات مفقودة.

3. بين أن المثلث $ABC$ متقايس الضلعين.

لإثبات أن المثلث $ABC$ متقايس الضلعين، يجب إثبات أن $AB=BC=CA$. نحتاج إلى المزيد من المعطيات عن المثلث $ABC$ أو عن علاقة النقاط $A, B, C$ بالبناء السابق.

الحل الكامل:

1. ارسم مثلث $OEF$ قائم الزاوية في $O$ وليكن $[OH]$ ارتفاعه الصادر من $O$.

ابن الدائرة $(\mathcal{C})$ ذات المركز $O$ والمارة من $H$ ؛ بين أن $(EF)$ مماس للدائرة $(\mathcal{C})$.

بما أن المثلث $OEF$ قائم الزاوية في $O$، و $[OH]$ هو الارتفاع الصادر من $O$ على الوتر $(EF)$:

$$ (OH) \perp (EF) $$

الدائرة $(\mathcal{C})$ مركزها $O$ وتمر من $H$. هذا يعني أن نصف قطر الدائرة هو $OH$.

بما أن المستقيم $(EF)$ عمودي على نصف قطر الدائرة $(\mathcal{C})$ في النقطة $H$ التي تنتمي إلى الدائرة (لأنها تمر منها)، فإن المستقيم $(EF)$ مماس للدائرة $(\mathcal{C})$ في $H$.

2. ابن النقطة $M$ مناظرة $O$ بالنسبة إلى $A$ و $Q$ مناظرة $M$ بالنسبة إلى $N$.

هذا الجزء من السؤال يتطلب معلومات إضافية عن النقاط $A$ و $N$ التي لم يتم تحديدها في سياق تمرين 22 أو في الرسم البياني المرفق (إذا كان مرتبطاً).

3. عين النقطة $A'$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $E$.

يتطلب هذا الجزء تحديد النقطة $A$ التي لم يتم ذكرها في سياق تمرين 22.

4. ما هي إحداثيات كل من النقاط $A$ و $B$ و $C$.

يتطلب هذا الجزء وجود نظام إحداثيات ورسم بياني توضيحي يظهر النقاط $A, B, C$. (هذا السؤال مرتبط بتمرين 28 في صورة أخرى، لكنه مدمج هنا في تمرين 22).

5. بين أن $O$ منتصف $[BC]$.

يتطلب هذا الجزء معلومات حول كيفية ارتباط $B$ و $C$ بالنقطة $O$ أو بالشكل $OEF$. لا توجد معلومات كافية في هذا السياق لإثبات ذلك.

الحل الكامل:

المعلم متعامد $(O, I, J)$ بحيث $OI=OJ=1cm$.

1. أ) ما هي إحداثيات كل من النقطة $A$ و $B$ و $C$.

من الرسم:

• $A = (2, 3)$
• $B = (3, -2)$
• $C = (-3, 2)$

ب. بين أن $O$ منتصف $[BC]$.

إحداثيات منتصف $[BC]$ هي $M_{BC} = \left(\frac{x_B+x_C}{2}, \frac{y_B+y_C}{2}\right)$

$$ M_{BC} = \left(\frac{3+(-3)}{2}, \frac{-2+2}{2}\right) = \left(\frac{0}{2}, \frac{0}{2}\right) = (0,0) $$

بما أن إحداثيات النقطة $O$ هي $(0,0)$، فإن $O$ هي منتصف $[BC]$.

2. أ) عين النقطة $D$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $O$. ما هي إحداثيات $D$؟ علل جوابك.

بما أن $D$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $O(0,0)$، فإن $O$ هي منتصف $[AD]$.

إذا كانت $A=(x_A, y_A)=(2,3)$، فإن إحداثيات $D=(x_D, y_D)$ هي:

$$ 0 = \frac{x_A+x_D}{2} \Rightarrow x_D = -x_A = -2 $$ $$ 0 = \frac{y_A+y_D}{2} \Rightarrow y_D = -y_A = -3 $$

إذن $D = (-2, -3)$.

التعليل: في التناظر المركزي بالنسبة للمبدأ، تتغير إشارة كل من الإحداثيين $x$ و $y$.

ب) عين النقطة $E$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $(OI)$. ما هي إحداثيات $E$؟ علل جوابك.

بما أن $E$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى محور السينات $(OI)$، فإن الإحداثي $x$ يبقى كما هو بينما تتغير إشارة الإحداثي $y$.

إذا كانت $A=(x_A, y_A)=(2,3)$، فإن $E=(x_A, -y_A) = (2, -3)$.

التعليل: في التناظر المحوري بالنسبة لمحور السينات، يتغير إشارة الإحداثي الصادي فقط.

3. بين أن المثلث $JDE$ متقايس الضلعين.

إحداثيات النقاط: $J=(0,1)$, $D=(-2,-3)$, $E=(2,-3)$.

أطوال الأضلاع: $JD = \sqrt{20}$، $DE = 4$، $JE = \sqrt{20}$.

بما أن $JD = JE = \sqrt{20}$، فإن المثلث $JDE$ متقايس الضلعين في $J$.

4. ارسم الدائرة $(\mathcal{C})$ التي مركزها $D$ وشعاعها $r=2cm$ ؛ ما هي المناظرة $\mathcal{C}'$ لـ $\mathcal{C}$ بالنسبة إلى $O$؟ ارسم $\mathcal{C}'$.

الدائرة $(\mathcal{C})$ مركزها $D=(-2,-3)$ وشعاعها $r=2cm$.

مناظر الدائرة $\mathcal{C}$ بالنسبة إلى $O$ هي دائرة $\mathcal{C}'$ لها نفس الشعاع $r=2cm$ ومركزها هو مناظر $D$ بالنسبة إلى $O$.

من السؤال 2. أ)، مناظر $D$ بالنسبة إلى $O$ هي $A=(2,3)$.

إذن، $\mathcal{C}'$ هي الدائرة التي مركزها $A=(2,3)$ وشعاعها $r'=2cm$.

5. بين أن $ABC=DCB$.

هذا يعني إثبات تطابق المثلثين $ABC$ و $DCB$.

لدينا $B = (3, -2)$، $C = (-3, 2)$، $A = (2, 3)$، $D = (-2, -3)$.

أطوال الأضلاع:

في المثلث $ABC$: $AB = \sqrt{26}$، $BC = \sqrt{52}$، $AC = \sqrt{26}$.

المثلث $ABC$ متقايس الضلعين في $B$ ($AB=AC$).

في المثلث $DCB$: $DC = \sqrt{26}$، $CB = \sqrt{52}$، $DB = \sqrt{26}$.

المثلث $DCB$ متقايس الضلعين في $D$ ($DC=DB$).

بالمقارنة، لدينا:

$$ AB = \sqrt{26} \text{ و } DC = \sqrt{26} \Rightarrow AB=DC $$ $$ AC = \sqrt{26} \text{ و } DB = \sqrt{26} \Rightarrow AC=DB $$ $$ BC = \sqrt{52} \text{ و } CB = \sqrt{52} \Rightarrow BC=CB $$

بما أن أضلاع المثلث $ABC$ تساوي أضلاع المثلث $DCB$ (أي $AB=DC$, $AC=DB$, $BC=CB$)، فإن المثلثين $ABC$ و $DCB$ متطابقان حسب خاصية (ضلع-ضلع-ضلع).

الحل الكامل:

1. ارسم مثلث $ABC$ قائم الزاوية في $A$ وحيث $AC > 4cm$ ثم ابن $\Delta$ المستقيم العمودي للقطعة $[AB]$ في $D$ يقطع $[AB]$ في $I$ ؛ عين النقطة $J$ من $[AC]$ بحيث $AJ=3cm$.

الرسم يكون كالتالي: ارسم مستقيمين متعامدين في $A$ (محور السينات ومحور الصادات). حدد $B$ على أحد المحورين و $C$ على الآخر. ارسم مستقيم $\Delta$ عمودي على $[AB]$ في $I$. حدد $J$ على $[AC]$ بحيث $AJ=3cm$. (هناك تناقض في السؤال، "العمودي للقطعة $[AB]$ في $D$ يقطع $[AB]$ في $I$"، إذا كان عمودياً في $D$ ويقطع في $I$، فإما $D=I$ أو الصياغة خاطئة. سنفترض $D=I$).

2. أ) ابن النقطة $D$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$.

بما أن $D$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$، فإن $I$ هي منتصف القطعة $[CD]$. أي أن $CI = ID$ والنقاط $C, I, D$ على استقامة واحدة.

ب) بين أن $(AD) \parallel (BC)$.

بما أن $I$ منتصف $[CD]$ (من 2.أ))، ولدينا $I$ على $[AB]$.

إذا كان $I$ منتصف $[AB]$ أيضاً (وهو غير مذكور صراحة)، فإن $ACBD$ يكون متوازي أضلاع (أقطاره تنصف بعضها البعض). وبالتالي $(AD) \parallel (BC)$.

بما أن المثلث $ABC$ قائم في $A$، و $\Delta$ عمودي على $[AB]$ في $I$ (أي $AI$ هو جزء من $AB$).

إذا كان $I$ منتصف $[CD]$ و $I$ منتصف $[AB]$، فإن $ACBD$ هو متوازي أضلاع.

ج) بين أن $BAD=50^{\circ}$.

لا توجد معطيات كافية في التمرين لتحديد قيمة الزاوية $BAD$ بأنها $50^{\circ}$. هذا يتطلب معلومة عن زاوية أخرى أو طول ضلع.

3. بين أن $AD=EF$ وأن $(AD) \parallel (EF)$.

هذا الجزء يتطلب تعريف النقاط $E$ و $F$ التي لم يتم ذكرها في المسألة.

4. ما هي طبيعة الرباعي $ACBD$؟ علل جوابك.

بما أن $D$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$، فإن $I$ منتصف $[CD]$.

والمستقيم $\Delta$ عمودي على $[AB]$ في $I$. هذا يعني أن $\Delta$ هو محور القطعة $[AB]$ إذا كان $I$ منتصف $[AB]$.

إذا افترضنا أن $I$ منتصف $[AB]$ (لأن $D$ مناظرة $C$ بالنسبة لـ $I$ و $I$ تقع على $AB$ فإن هذا هو الاستنتاج الأقرب)،

فإن أقطار الرباعي $ACBD$ هما $[AB]$ و $[CD]$، وهما يتقاطعان في $I$.

بما أن $I$ منتصف $[CD]$، وإذا كانت $I$ منتصف $[AB]$، فإن الرباعي $ACBD$ متوازي أضلاع.

إذا كان المثلث $ABC$ قائم في $A$، فإن الزاوية $A$ قائمة.

إذا كان متوازي أضلاع وبه زاوية قائمة، فإنه مستطيل.

ولكن السؤال لا ينص صراحة على أن $I$ منتصف $[AB]$. إذا كان $\Delta$ عمودي على $[AB]$ في $I$، فهذا يعني فقط أن $(DI) \perp (AB)$.

وبما أن $D$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$، فإن $I$ هي مركز التناظر. إذا كانت $I$ منتصف $[CD]$، و $I$ تقع على $[AB]$، فإن $ACBD$ يكون متوازي أضلاع إذا كان $I$ منتصف $[AB]$. بدون ذلك، لا يمكن الجزم بأنه متوازي أضلاع.

إذا كان $I$ منتصف $[CD]$ و $(AD) \parallel (BC)$ (من السؤال 2. ب))، فإن $ADBC$ هو شبه منحرف (trapezoid).

5. لتكن $M$ نقطة تقاطع $AD$ و $\Delta$ والنقطة $P$ تقاطع $\Delta$ و $BC$.

أ) بين أن $P$ و $M$ متناظرتان بالنسبة إلى $I$.

بما أن $I$ هي مركز التناظر (مناظرة $C$ بـ $D$).

بما أن $M$ هي نقطة تقاطع $AD$ و $\Delta$. وبما أن $P$ هي نقطة تقاطع $\Delta$ و $BC$.

إذا كانت $I$ مركز تناظر، فإنها تحول المستقيم $(AD)$ إلى $(BC)$ (بافتراض توازيهما).

كما أن $\Delta$ يمر من $I$ (كونه عمودي على $[AB]$ في $I$).

المستقيم $\Delta$ مناظر لنفسه بالنسبة إلى $I$.

بما أن $M = (AD) \cap \Delta$ و $P = (BC) \cap \Delta$.

وبما أن $(AD)$ و $(BC)$ متناظران بالنسبة لـ $I$ (بافتراض أن $ACBD$ متوازي أضلاع أو أن $I$ منتصف $AB$).

فإن $P$ هي مناظر $M$ بالنسبة إلى $I$. أي $I$ منتصف $[PM]$.

ب) بين أن $M$ منتصف $[BC]$.

لا توجد معلومات كافية لإثبات ذلك مباشرة من المعطيات المتاحة.

ج) استنتج أن $M$ منتصف $[AD]$.

هذا يتطلب إثباتاً من الخطوات السابقة، وهي غير متوفرة بشكل كامل.

الحل الكامل:

1. ارسم مثلث $ABC$ بحيث $BC=5cm$ و $ABC=50^{\circ}$ و $AB=BC$ و $AC=50^{\circ}$.

توجد تناقضات في المعطيات: $AB=BC$ تجعله متقايس الضلعين. $ABC=50^{\circ}$ هي زاوية الرأس. إذاً الزاويتان عند القاعدة $BAC$ و $BCA$ يجب أن تكونا متساويتين.

$$ BAC = BCA = (180^{\circ} - 50^{\circ}) / 2 = 130^{\circ} / 2 = 65^{\circ} $$

وجود $AC=50^{\circ}$ (بفرض أنها الزاوية $BCA$) يتعارض مع $65^{\circ}$. سنفترض أن $ABC$ مثلث متقايس الضلعين رأسه $B$، حيث $BC=5cm$ و $ABC=50^{\circ}$.

2. أ) ابن $D$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$.

يتطلب هذا تحديد النقطة $I$. لا توجد معلومات كافية لتعيين $I$ في هذه المسألة. (يبدو أن هذا الجزء مكرر من مسألة 1).

ب) بين أن $AD=5cm$ وأن $(AD) \parallel (BC)$.

إذا كانت $D$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى نقطة (مثل $I$)، وإذا كانت $A$ مناظرة $B$ بالنسبة لنفس النقطة $I$، فإن $AD=BC$ و $(AD) \parallel (BC)$.

بما أن $BC=5cm$ (من المعطيات)، إذا كان ما سبق صحيحاً، فإن $AD=5cm$.

ج) بين أن $BAD=50^{\circ}$.

إذا كان $I$ مركز تناظر، فإن الزوايا المتناظرة تكون متساوية في القياس. إذا كانت $A$ مناظرة $B$ و $D$ مناظرة $C$ بالنسبة لنفس المركز $I$، فإن $\widehat{BAD} = \widehat{ABC}$.

بما أن $ABC=50^{\circ}$ (من المعطيات)، فإن $BAD=50^{\circ}$.

د) ابن $E$ و $F$ مناظرتي $B$ و $C$ بالنسبة إلى $A$.

لإنشاء $E$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $A$: نجعل $A$ منتصف $[BE]$.

لإنشاء $F$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $A$: نجعل $A$ منتصف $[CF]$.

3. بين أن $AD=EF$ وأن $(AD) \parallel (EF)$.

بما أن $A$ منتصف $[BE]$ و $A$ منتصف $[CF]$، فإن $BCEF$ متوازي أضلاع (أقطاره تنصف بعضها البعض).

في متوازي الأضلاع $BCEF$، لدينا $BC=EF$ و $(BC) \parallel (EF)$.

من السؤال 2.ب)، لدينا $AD=BC$ و $(AD) \parallel (BC)$.

وبالتالي، $AD=EF$ و $(AD) \parallel (EF)$.

4. بين أن $DAB = F\hat{E}A$.

بما أن $E$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $A$ و $F$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $A$.

فإن المثلث $AEF$ هو مناظر المثلث $ABC$ بالنسبة إلى $A$.

بالتناظر، الزوايا المتناظرة تكون متساوية. إذن $\widehat{ABC} = \widehat{AEF}$.

وبما أن $\widehat{ABC}=50^{\circ}$ و $\widehat{BAD}=50^{\circ}$ (من 2.ج)).

إذن $\widehat{DAB} = \widehat{AEF}$.

5. لتكن الدائرة $(\mathcal{C})$ ذات المركز $C$ والشعاع $2cm$ و $\mathcal{C}'$ الدائرة التي مركزها $D$ وشعاعها $2cm$.

$[BC]$ يقطع الدائرة $\mathcal{C}$ في $P$ ؛ $[AD]$ يقطع $\mathcal{C}'$ في $Q$ ؛ $\Delta$ هو المماس للدائرة $\mathcal{C}$ في $P$ و $\Delta'$ المماس للدائرة $\mathcal{C}'$ في $Q$. بين أن $\Delta$ و $\Delta'$ متناظران بالنسبة إلى $I$.

بما أن $D$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$ (من 2.أ))، فإن $I$ هي مركز التناظر الذي يحول $C$ إلى $D$.

الدائرة $\mathcal{C}'$ هي مناظر الدائرة $\mathcal{C}$ بالنسبة إلى $I$ لأن مركزها $D$ هو مناظر $C$ بالنسبة إلى $I$ ولهما نفس الشعاع.

بما أن $[BC]$ يقطع $\mathcal{C}$ في $P$.

وبما أن $[AD]$ يقطع $\mathcal{C}'$ في $Q$.

بما أن $(AD)$ هو مناظر $(BC)$ بالنسبة إلى $I$ (من 2.ب)).

و $\mathcal{C}'$ هي مناظر $\mathcal{C}$ بالنسبة إلى $I$.

فإن $Q$ هي مناظر $P$ بالنسبة إلى $I$ (تقاطع مناظر مستقيم مع مناظر دائرة هو مناظر نقطة التقاطع الأصلية).

بما أن $\Delta$ مماس للدائرة $\mathcal{C}$ في $P$.

وبما أن $\Delta'$ مماس للدائرة $\mathcal{C}'$ في $Q$.

بما أن $P$ هي نقطة التماس على $\mathcal{C}$ و $Q$ هي نقطة التماس على $\mathcal{C}'$.

وبما أن $Q$ هي مناظر $P$ بالنسبة إلى $I$.

وبما أن التناظر المركزي يحول المماس إلى مماس يوازيه عند نقطة التماس المتناظرة.

إذن $\Delta'$ هو مناظر $\Delta$ بالنسبة إلى $I$.

الحل الكامل:

نعتبر المثلث $ABC$ حيث $BC=5cm$ ولتكن $I$ و $J$ على التوالي منتصفي $[AC]$ و $[AB]$.

1. ابن $B'$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $I$ و $F$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $J$.

لإنشاء $B'$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $I$: بما أن $I$ منتصف $[AC]$، ونريد $B'$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $I$، فهذا يعني أن $I$ ستكون منتصف $[BB']$. وبالتالي، الرباعي $AB'CB$ سيكون متوازي أضلاع (أقطاره تنصف بعضها البعض $I$).

لإنشاء $F$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $J$: بما أن $J$ منتصف $[AB]$، ونريد $F$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $J$، فهذا يعني أن $J$ ستكون منتصف $[CF]$. وبالتالي، الرباعي $ACBF$ سيكون متوازي أضلاع (أقطاره تنصف بعضها البعض $J$).

2. أ) بين أن $(AE) \parallel (BC)$ و $(AF) \parallel (BC)$.

يبدو أن النقاط $E$ و $F$ في هذا السؤال مختلفة عن تلك المعرفة في السؤال 1. (هنا يبدو أن $E$ و $F$ مرتبطتان بـ $A$ بطريقة غير مباشرة).

إذا كانت $B'$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $I$ (منتصف $AC$)، فإن $ABCB'$ متوازي أضلاع. وبالتالي $(AB') \parallel (BC)$ و $AB'=BC$.

إذا كانت $F$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $J$ (منتصف $AB$)، فإن $ACBF$ متوازي أضلاع. وبالتالي $(AF) \parallel (BC)$ و $AF=BC$.

من هذا المنطلق، يمكن أن يكون $E$ هي نفسها $B'$. إذا كان الأمر كذلك، فإن $(AE) \parallel (BC)$ تكون صحيحة.

ب) بين أن $AF=AE$.

من 2. أ)، إذا كان $E = B'$، فإن $AE = B'C$. وبما أن $ABCB'$ متوازي أضلاع، فإن $B'C=AB$. إذن $AE = AB$.

من 2. أ)، $AF = BC$.

لإثبات $AF=AE$، نحتاج إلى $AB=BC$. هذا يتحقق إذا كان المثلث $ABC$ متقايس الضلعين في $B$. (لم يذكر ذلك في المعطيات).

3. عين النقطة $D$ مناظرة $M$ بالنسبة إلى $I$.

يتطلب هذا تحديد النقطة $M$. لا توجد معلومات كافية لتعيين $M$ في هذه المسألة.

4. لتكن الدائرة $(\mathcal{C})$ ذات المركز $E$ وشعاعها $2cm$ و $\mathcal{C}'$ الدائرة التي مركزها $F$ وشعاعها $2cm$.

لا يمكن حل هذا الجزء بدون تحديد واضح للنقاط $E$ و $F$ وعلاقتها بالرسم.

5. المستقيم $(AB)$ والمماس الموازي لـ $(AB)$ والنقطة $P$ تقطع $(\mathcal{C})$ في $N$ و $M$.

عين $(QM)$ مناظرة $(QN)$ والنقطة $Q$ في نقطة ثانية $Q$.

هذا الجزء غير واضح وغير مكتمل. يحتاج إلى صياغة أوضح للنقاط والعلاقات.

الحل الكامل:

1. ارسم شبه منحرف $ABCD$ قاعدتاه $[AB]$ و $[DC]$ قائم الزاوية في $D$ وحيث $AB=5cm$ و $DC=9cm$ و $AD=4cm$.

الرسم: ارسم قطعة $DC$ بطول $9cm$. ارسم عموداً على $DC$ عند $D$ بطول $4cm$ لتحديد $A$. ارسم مستقيماً يوازي $DC$ من $A$ بطول $5cm$ لتحديد $B$. وصل $B$ بـ $C$.

2. I منتصف ضلعه $[AD]$ و $J$ منتصف ضلعه $[CD]$.

ابن النقطة $E$ مناظرة النقطة $A$ بالنسبة للنقطة $J$ ؛ بين أن $(DC) \perp (AE)$.

لإنشاء $E$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $J$: بما أن $J$ منتصف $[AE]$.

بما أن $J$ منتصف $[CD]$ (معطى) و $J$ منتصف $[AE]$ (بالإنشاء)، فإن الرباعي $ACED$ متوازي أضلاع (أقطاره تنصف بعضها البعض).

بما أن $ABCD$ شبه منحرف قائم الزاوية في $D$، فإن $(AD) \perp (DC)$.

في متوازي الأضلاع $ACED$، لدينا $(AE) \parallel (DC)$.

بما أن $(AD) \perp (DC)$ و $(AE) \parallel (DC)$، فإن $(AE)$ ليس بالضرورة عمودياً على $(DC)$.

هنا يبدو أن السؤال "بين أن $(DC) \perp (AE)$" غير صحيح بناءً على كون $ACED$ متوازي أضلاع. إذا كان $ACED$ متوازي أضلاع، فإن $(AE) \parallel (DC)$. إذا كان $(DC) \perp (AE)$، فإن $(DC) \perp (DC)$ وهو غير منطقي إلا إذا كان المقصود $(AD) \perp (AE)$ أو $(CI) \perp (AE)$.

3. لتكن $K$ نقطة تقاطع المستقيمين $(CI)$ و $(CE)$.

أ) بين أن النقطة $K$ مناظرة النقطة $I$ بالنسبة للنقطة $J$.

لإثبات أن $K$ مناظرة $I$ بالنسبة إلى $J$، يجب أن نثبت أن $J$ منتصف $[IK]$.

لدينا $J$ منتصف $[CD]$ و $J$ منتصف $[AE]$.

في المثلث $ADE$، $I$ منتصف $[AD]$ و $J$ منتصف $[DE]$ (ليس $CD$).

هناك تناقض في المعطيات. $J$ منتصف $[CD]$ (معطى) وليس $[DE]$.

المثلث $ADC$: $I$ منتصف $[AD]$ و $J$ منتصف $[CD]$.

إذن، حسب نظرية المستقيم المنتصفين، $(IJ) \parallel (AC)$.

بما أن $E$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $J$، فإن $ACED$ متوازي أضلاع.

إذن $(AC) \parallel (DE)$. وبالتالي $(IJ) \parallel (DE)$.

بما أن $K$ نقطة تقاطع $(CI)$ و $(CE)$.

في المثلث $CDE$، $J$ منتصف $[CD]$.

إذا كانت $K$ مناظرة $I$ بالنسبة إلى $J$، فإن $J$ منتصف $[IK]$.

ب) بين أن النقطة $K$ منتصف القطعة $[CE]$.

إذا كانت $K$ منتصف $[CE]$، فهذا يعني أن $CK=KE$.

في المثلث $ACE$، إذا كان $K$ منتصف $CE$ و $I$ منتصف $AC$ (غير معطى $I$ منتصف $AC$)، فإن $(IK) \parallel (AE)$.

إذا افترضنا أن $K$ هي منتصف $CE$، فإنها تقع على المستقيم الواصل بين $C$ و $E$.

4. أ) ابن النقطة $F$ مناظرة النقطة $B$ بالنسبة إلى $I$.

لإنشاء $F$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $I$: يعني أن $I$ منتصف $[BF]$.

ب) بين أن النقاط $C$ و $D$ و $F$ على استقامة واحدة.

لإثبات أن $C, D, F$ على استقامة واحدة، يكفي أن يكون المستقيمان $(DC)$ و $(DF)$ متوازيين ولهما النقطة المشتركة D، فيكونان على نفس الاستقامة.

بما أن $I$ منتصف $[AD]$ و $I$ منتصف $[BF]$ (بالإنشاء).

إذن الرباعي $ABFD$ متوازي أضلاع (أقطاره تنصف بعضها البعض).

وبالتالي $(DF) \parallel (AB)$ و $DF=AB$.

بما أن $ABCD$ شبه منحرف وقاعدتاه $[AB]$ و $[DC]$، فإن $(AB) \parallel (DC)$.

وبما أن $(DF) \parallel (AB)$ و $(AB) \parallel (DC)$، فإن $(DF) \parallel (DC)$.

بما أن المستقيمين $(DF)$ و $(DC)$ متوازيان ويشتركان في النقطة $D$، فإنهما متطابقان.

وبالتالي، النقاط $C, D, F$ تقع على استقامة واحدة.

الحل الكامل:

1. تأمل في الرسم ثم انقله وأتممه على ورق شفاف حتى تصبح النقطة $O$ مركز تناظر للشكل بأكمله.

الرسم يظهر نقطة $O$ وزاوية. لإكمال الشكل وجعل $O$ مركز تناظر، يجب إنشاء مناظرة كل نقطة في الشكل (خاصة رؤوس الزاوية $P, S, Z$) بالنسبة إلى $O$.

إذا كانت $O$ مركز تناظر، فإن النقطة $O$ تقع في منتصف القطعة المستقيمة الواصلة بين كل نقطة ومناظرتها.

2. أ) إذا علمت أن $O'S'Z'$ هي مناظرة الزاوية $OSZ$ بالنسبة إلى النقطة $O$.

فاحسب $O'S'Z'$.

من الرسم، يبدو أن قياس الزاوية $OSZ$ هو $32^{\circ}$.

بما أن التناظر المركزي يحافظ على قياس الزوايا، فإن الزاوية المناظرة $O'S'Z'$ لها نفس قياس الزاوية الأصلية $OSZ$.

إذن $O'S'Z' = OSZ = 32^{\circ}$.

الحل الكامل:

1. ارسم شبه مستقيم $[AB]$ بحيث $AB=6cm$.

ابن العمودي المحوري $\Delta$ لـ $[AB]$. $\Delta$ يقطع $[AB]$ في النقطة $I$.

ارسم الدائرة $\mathcal{C}$ التي مركزها $A$ وشعاعها $3cm$. بين أن $\Delta$ مماس للدائرة $\mathcal{C}$ في النقطة $I$.

العمود المحوري $\Delta$ للقطعة $[AB]$ يمر من منتصفها $I$ ويكون عمودياً عليها.

بما أن $AB=6cm$ و $I$ منتصف $[AB]$، فإن $AI = IB = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3cm$.

الدائرة $\mathcal{C}$ مركزها $A$ وشعاعها $3cm$.

بما أن $AI=3cm$، فإن النقطة $I$ تقع على الدائرة $\mathcal{C}$.

بما أن $\Delta$ هو العمود المحوري لـ $[AB]$، فإن $\Delta \perp (AB)$ في $I$.

وبما أن $A$ هو مركز الدائرة $\mathcal{C}$، فإن $[AI]$ هو نصف قطر للدائرة $\mathcal{C}$ عمودي على $\Delta$ في $I$.

إذن، المستقيم $\Delta$ مماس للدائرة $\mathcal{C}$ في $I$.

2. الدائرة $\mathcal{C}'$ هي مناظرة $\mathcal{C}$ بالنسبة إلى $I$.

أ. ما هي الوضعية النسبية للدائرة $\mathcal{C}'$ و $\mathcal{C}$؟ علل جوابك.

بما أن $\mathcal{C}'$ هي مناظرة $\mathcal{C}$ بالنسبة إلى $I$، فإن لها نفس الشعاع.

مركز الدائرة $\mathcal{C}$ هو $A$. مركز الدائرة $\mathcal{C}'$ هو مناظر $A$ بالنسبة إلى $I$.

بما أن $I$ منتصف $[AB]$، فإن مناظر $A$ بالنسبة إلى $I$ هي $B$.

إذن، مركز $\mathcal{C}'$ هو $B$. وشعاع $\mathcal{C}'$ هو $r'=3cm$.

الدائرة $\mathcal{C}$ مركزها $A$ وشعاعها $3cm$. الدائرة $\mathcal{C}'$ مركزها $B$ وشعاعها $3cm$.

البعد بين المركزين هي $AB=6cm$.

مجموع الشعاعين هو $r+r' = 3+3=6cm$.

بما أن البعد بين المركزين تساوي مجموع الشعاعين ($AB = r+r'$)، فإن الدائرتين متماستان خارجياً في النقطة $I$.

ب. عين النقطة $M$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $I$.

بما أن $M$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $I$، فإن $I$ هي منتصف $[AM]$.

بما أن $I$ منتصف $[AB]$، فإن النقطة $M$ هي نفسها النقطة $B$.

3. لتكن $E$ نقطة من $A$.

هذه الجملة غير منطقية. "نقطة من A" لا تعني شيئا. إذا كان المقصود "لتكن $E$ نقطة من المستقيم $(AB)$" أو "لتكن $E$ نقطة عشوائية".

4. ليكن $[H]$ و $[K]$ هي مناظرتي $[AE]$ و $[BE]$ على التوالي.

حدد نوع الشكل الذي يصل $H$ بالنقطة $K$. علل جوابك.

الصياغة هنا غير واضحة. $[H]$ و $[K]$ لا يمكن أن تكونا "مناظرتي" لقطعتين. ربما المقصود "لتكن $H$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $E$ و $K$ مناظرة $B$ بالنسبة لـ $E$".

بفرض أن $H$ مناظرة $A$ و $K$ مناظرة $B$ بالنسبة لنقطة $I$ (مركز التناظر).

إذا كان $[AE]$ قطعة مستقيمة، ومناظرتها بالنسبة لـ $I$ هي $[H]$.

ومناظرة $[BE]$ بالنسبة لـ $I$ هي $[K]$.

بما أن $I$ منتصف $[AB]$.

مناظر $A$ بالنسبة لـ $I$ هو $B$. مناظر $B$ بالنسبة لـ $I$ هو $A$.

لنفترض أن $E$ نقطة ما.

لتكن $E'$ هي مناظر $E$ بالنسبة لـ $I$.

إذن، مناظر القطعة $[AE]$ هي القطعة $[BE']$. ومناظر القطعة $[BE]$ هي القطعة $[AE']$.

إذا كان $[H] = [BE']$ و $[K] = [AE']$.

الشكل الذي يصل $H$ بالنقطة $K$ هو القطعة المستقيمة $E'E'$. وهذا لا يوضح شكل.

ربما السؤال يقصد نوع الرباعي $ABHK$ إذا كانت $H$ و $K$ هما النقطتين المتناظرتين لرؤوس $A, B$ من خلال نقطة $E$.

هذا الجزء يحتاج إلى إعادة صياغة واضحة ليكون قابلاً للحل.

الحل الكامل:

ليكن $(O, I, J)$ معلما متعامدا في المستوى.

أ. عين النقطتين $A(2,3)$ و $B(2,-3)$.

النقطة $A$ إحداثياتها $(2,3)$. النقطة $B$ إحداثياتها $(2,-3)$.

ب. بين أن المثلث $OAB$ متقايس الضلعين.

إحداثيات $O=(0,0)$.

النقطتان $A(2,3)$ و $B(2,-3)$ لهما نفس الفاصلة وترتيبان متقابلان، إذن B هي مناظرة A بالنسبة إلى محور الفواصل $(OI)$.

والتناظر المحوري يحافظ على الأطوال؛ وبما أن النقطة O تنتمي إلى المحور $(OI)$، فإنّ بُعدها عن A يساوي بُعدها عن B، أي $OA = OB$.

إذن المثلث $OAB$ متقايس الضلعين في $O$.

ج. نعتبر النقطة $C$ مناظرة النقطة $A$ بالنسبة للنقطة $O$. حدد إحداثياتها.

بما أن $C$ مناظرة $A(2,3)$ بالنسبة إلى $O(0,0)$، فإن إحداثيات $C$ هي $(-2,-3)$.

$$ C = (-x_A, -y_A) = (-2, -3) $$

د. بين أن المثلث $ABC$ قائم.

إحداثيات النقاط: $A(2,3)$, $B(2,-3)$, $C(-2,-3)$.

النقطتان $A(2,3)$ و $B(2,-3)$ لهما نفس الفاصلة $2$، إذن $(AB)$ مستقيم رأسي.

والنقطتان $B(2,-3)$ و $C(-2,-3)$ لهما نفس الترتيب $-3$، إذن $(BC)$ مستقيم أفقي.

وبما أن المستقيم الرأسي عمودي على المستقيم الأفقي، فإن $(AB) \perp (BC)$، أي أن الزاوية في $B$ قائمة. إذن المثلث $ABC$ قائم في $B$.

ه. حدد إحداثيات النقطة $D$ بحيث يكون الرباعي $ABCD$ مستطيلا.

في المستطيل $ABCD$، القطران $[AC]$ و $[BD]$ يتناصفان. وقد رأينا أن C مناظرة A بالنسبة إلى O، أي أن O منتصف $[AC]$.

إذن O هو أيضًا منتصف $[BD]$، فتكون D مناظرة B بالنسبة إلى O:

$$ D = (-x_B, -y_B) = (-2, 3) $$

إذن، إحداثيات النقطة $D$ هي $(-2, 3)$.

التحقق: $A(2,3)$, $B(2,-3)$, $C(-2,-3)$, $D(-2,3)$.

قطراه $AC$ و $BD$. منتصف $AC$: $(\frac{2-2}{2}, \frac{3-3}{2}) = (0,0)$.

منتصف $BD$: $(\frac{2-2}{2}, \frac{-3+3}{2}) = (0,0)$.

بما أن الأقطار تنصف بعضها البعض في $O(0,0)$، والشكل فيه زاوية قائمة (في $B$ كما أثبتنا)، فهو مستطيل.

الحل الكامل:

تحديد إحداثيات النقاط $E, F, G$ من الرسم:

• $E = (1, -2)$
• $F = (-2, 3)$
• $G = (-4, -4)$

الآن نملأ الجدول بناءً على قواعد التناظر:

النقطة	إحداثيات	مناظرة النقطة بالنسبة إلى $O$	إحداثيات	مناظرة النقطة بالنسبة إلى $(OI)$	إحداثيات	مناظرة النقطة بالنسبة إلى $(OJ)$	إحداثيات
E	$(1, -2)$	$E'$	$(-1, 2)$	$E''$	$(1, 2)$	$E'''$	$(-1, -2)$
F	$(-2, 3)$	$F'$	$(2, -3)$	$F''$	$(-2, -3)$	$F'''$	$(2, 3)$
G	$(-4, -4)$	$G'$	$(4, 4)$	$G''$	$(-4, 4)$	$G'''$	$(4, -4)$