تمارين في التناظر الهندسي والزوايا

تطبيقات على التناظر المركزي والمحوري وخصائص الزوايا
C D
التناظر المركزي والاستقامة
تمرين 2

نعتبر نقطتين مختلفتين C و D من المستوي.

  1. ابن النقطتين E و F بحيث تكون E مناظرة D بالنسبة إلى C، و F مناظرة C بالنسبة إلى D.
  2. برهن على أن $EC = CD = DF$.
  3. برهن على أن النقاط E و C و D و F على استقامة واحدة.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ماذا يعني أن E مناظرة D بالنسبة إلى C؟ هذا يعني أن C هي منتصف القطعة [ED]. استخدم هذه الخاصية الأساسية للتناظر المركزي لإثبات تساوي المسافات والاستقامة.

📝 الطريقة

1. لإثبات $EC=CD$: بما أن E مناظرة D بالنسبة إلى C، فإن C هي منتصف [ED]. ومن تعريف المنتصف، نستنتج أن $EC=CD$.

2. لإثبات $CD=DF$: بما أن F مناظرة C بالنسبة إلى D، فإن D هي منتصف [CF]. ومن تعريف المنتصف، نستنتج أن $CD=DF$.

3. للاستقامة: من النقطة الأولى، النقاط E, C, D تقع على نفس المستقيم. من النقطة الثانية، النقاط C, D, F تقع على نفس المستقيم. بما أن المستقيمين يشتركان في النقطتين C و D، فهما نفس المستقيم، وبالتالي النقاط الأربعة على استقامة واحدة.

✅ الحل الكامل

1) إثبات $EC = CD = DF$:

  • لدينا E مناظرة D بالنسبة إلى C، هذا يعني أن C منتصف [ED]. إذن، $EC = CD$.
  • لدينا F مناظرة C بالنسبة إلى D، هذا يعني أن D منتصف [CF]. إذن، $CD = DF$.
  • من العلاقتين، نستنتج أن $EC = CD = DF$.

2) إثبات الاستقامة:

  • بما أن C منتصف [ED]، فإن النقطة C تنتمي إلى المستقيم (ED). إذن النقاط E, C, D على استقامة واحدة.
  • بما أن D منتصف [CF]، فإن النقطة D تنتمي إلى المستقيم (CF). إذن النقاط C, D, F على استقامة واحدة.

النقاط E, C, D تنتمي إلى المستقيم (CD) والنقاط C, D, F تنتمي أيضاً إلى المستقيم (CD). إذن، جميع النقاط E, C, D, F تقع على نفس المستقيم.

التناظر المحوري والزوايا
تمرين 3

نعتبر مستقيمين (xy) و (zt) متعامدين في نقطة O.

  1. عين نقطة M من المستوي بحيث تكون $\widehat{MOx} = 50^\circ$. ثم ارسم مناظرتها N بالنسبة إلى المستقيم (xy).
  2. برهن على أن $\widehat{xON} = 50^\circ$.
  3. ارسم النقطة P مناظرة M بالنسبة إلى المستقيم (zt). برهن على أن $\widehat{zOP} = 40^\circ$.
  4. استنتج قيس الزاوية [OP ; ON].
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر أن التناظر المحوري يحافظ على قياس الزوايا. استخدم هذه الخاصية للسؤال (ب). بالنسبة للسؤال (ج)، تذكر أن (xy) و (zt) متعامدان، مما يعني أن الزاوية $\widehat{xOz} = 90^\circ$.

📝 الطريقة

ب) إثبات $\widehat{xON} = 50^\circ$: التناظر المحوري حول (xy) يحوّل الزاوية $\widehat{MOx}$ إلى الزاوية $\widehat{NOx}$. وبما أن التناظر المحوري يحافظ على قياس الزوايا، فإن $\widehat{xON} = \widehat{MOx} = 50^\circ$.

ج) إثبات $\widehat{zOP} = 40^\circ$: التناظر المحوري حول (zt) يحوّل $\widehat{MOz}$ إلى $\widehat{POz}$. أولاً، نحسب $\widehat{MOz}$. بما أن (xy) و (zt) متعامدان، فإن $\widehat{xOz} = 90^\circ$. ولدينا $\widehat{MOz} = \widehat{xOz} - \widehat{xOM} = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$. إذن، $\widehat{zOP} = \widehat{MOz} = 40^\circ$.

د) استنتاج قيس [OP ; ON]: قيس هذه الزاوية هو مجموع الزاويتين المجاورتين لها: $\widehat{NOP} = \widehat{NOx} + \widehat{xOz} + \widehat{zOP}$.

✅ الحل الكامل

ب) برهان أن $\widehat{xON} = 50^\circ$:

بما أن N هي مناظرة M بالنسبة للمستقيم (xy)، فإن التناظر المحوري حول (xy) يحافظ على قياس الزوايا. بالتالي، قيس الزاوية $\widehat{MOx}$ يساوي قيس الزاوية $\widehat{NOx}$.

إذن، $\widehat{xON} = \widehat{MOx} = 50^\circ$.

ج) برهان أن $\widehat{zOP} = 40^\circ$:

بما أن المستقيمين (xy) و (zt) متعامدان، فإن $\widehat{xOz} = 90^\circ$.

نعلم أن $\widehat{MOz} = \widehat{xOz} - \widehat{MOx} = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$.

بما أن P هي مناظرة M بالنسبة للمستقيم (zt)، فإن التناظر المحوري حول (zt) يحافظ على قياس الزوايا. إذن، $\widehat{zOP} = \widehat{MOz} = 40^\circ$.

د) استنتاج قيس الزاوية [OP ; ON] (أي $\widehat{NOP}$):

الزاوية $\widehat{NOP}$ تتكون من ثلاث زوايا متجاورة:

$$ \widehat{NOP} = \widehat{NOx} + \widehat{xOz} + \widehat{zOP} $$
$$ \widehat{NOP} = 50^\circ + 90^\circ + 40^\circ = 180^\circ $$

إذن، النقاط N, O, P على استقامة واحدة.