التمرين 4 - شبه المنحرف والتناظر المركزي

الأستاذ: دفواراتي
A B C D
شبه المنحرف والتناظر المركزي
التمرين 4

أرسم شبه منحرف $ABCD$ قاعدته $[AB]$ و $[CD]$ قائم في $A$ و $D$ بحيث $AD = 2$ و $AB = 3$ و $CD = 4cm$ و $I$ منتصف $[CB]$

  1. أين $E$ و $F$ مناظرتي $A$ و $D$ على التوالي بالنسبة لـ $I$
  2. بين أن $(AB) \parallel (CE)$
  3. استنتج أن $C$ و $D$ و $E$ على استقامة واحدة
  4. أحسب $DE$
  5. بين أن $A$ و $F$ و $B$ على استقامة واحدة
  6. أحسب $AF$
  7. بين أن $ADEF$ مستطيل
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال الأول: تذكر أن التناظر المركزي يحدد موقع النقطة المناظرة باستخدام منتصف القطعة.

للأسئلة التالية: استخدم خصائص التناظر المركزي:

  • يحافظ على التوازي
  • يحافظ على البعد
  • يحافظ على الزوايا

سؤال 4: التناظر المركزي يحافظ على المسافات. $CE = AB = 3$ لأن $E$ مناظرة $A$ و $C$ مناظرة $B$.

سؤال 5: استخدم نفس طريقة السؤال 3 لإثبات الاستقامة باستخدام خصائص التوازي.

تذكر: في شبه المنحرف القائم، $(AB) \parallel (CD)$ و $\angle DAB = \angle ADC = 90°$

📝 الطريقة

  1. السؤال 1: ارسم الشكل وحدد مواقع $E$ و $F$ باستخدام تعريف التناظر المركزي
  2. السؤال 2: استخدم خاصية التناظر المركزي في الحفاظ على التوازي
  3. السؤال 3: اربط نتيجة التوازي بمواقع النقاط
  4. السؤال 4: استخدم خاصية التناظر المركزي في الحفاظ على البعد: $CE = AB$ ثم $DE = DC + CE$
  5. السؤال 5: استخدم نفس طريقة السؤال 3: اثبت أن مستقيمين متوازيين يمران بنقطة مشتركة
  6. السؤال 6: احسب باستخدام خصائص التناظر المركزي
  7. السؤال 7: اجمع النتائج لإثبات أن $ADEF$ مستطيل

✅ الحل الكامل

السؤال 1:

نرسم شبه المنحرف $ABCD$ بالمعطيات المحددة ونحدد $I$ منتصف $[CB]$.

$E$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $I$ ⟹ $I$ منتصف $[AE]$

$F$ مناظرة $D$ بالنسبة إلى $I$ ⟹ $I$ منتصف $[DF]$

السؤال 2:

بما أن $E$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $I$، فإن التناظر المركزي يحافظ على التوازي.

وبما أن $(AB) \parallel (CD)$ في شبه المنحرف، نحصل على:

$(AB) \parallel (CE)$
السؤال 3:

من السؤال 2: $(AB) \parallel (CE)$

وبما أن $(AB) \parallel (CD)$ (خاصية شبه المنحرف)

إذن $(CE) \parallel (CD)$، ولكن هاتان المستقيمتان تتقاطعان في $C$

إذن $C$ و $D$ و $E$ على استقامة واحدة.

السؤال 4:

التناظر المركزي يحافظ على المسافات:

بما أن $E$ مناظرة $A$ و $C$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $I$، فإن:

$CE = AB = 3 \text{ cm}$

من السؤال 3، النقاط $C$ و $D$ و $E$ على استقامة واحدة، إذن:

$DE = DC + CE = 4 + 3 = 7 \text{ cm}$
السؤال 5:

بنفس طريقة السؤال 3، نستخدم خصائص التوازي:

بما أن $F$ مناظرة $D$ بالنسبة إلى $I$، فإن $(AD) \parallel (CF)$

وبما أن $(AD) \parallel (BC)$ في شبه المنحرف

إذن $(CF) \parallel (BC)$، ولكن هاتان المستقيمتان تتقاطعان في $C$

هذا يعني أن $(CF)$ و $(CB)$ على نفس المستقيم

وبما أن $A$ مناظرة $E$ بالنسبة إلى $I$ و $I$ منتصف $[CB]$

إذن $A$ و $F$ و $B$ على استقامة واحدة.

السؤال 6:

من خصائص التناظر المركزي:

بما أن $F$ مناظرة $D$ و $A$ مناظرة $E$ بالنسبة إلى نفس النقطة $I$:

$AF = DE = 7 \text{ cm}$
السؤال 7:

لإثبات أن $ADEF$ مستطيل، نحتاج إثبات:

  • $ADEF$ متوازي أضلاع
  • له زاوية قائمة واحدة على الأقل

من النتائج السابقة:

  • $(AD) \parallel (FE)$ بخصائص التناظر المركزي
  • $(AF) \parallel (DE)$ بخصائص التناظر المركزي
  • $\angle DAF = 90°$ (لأن شبه المنحرف قائم في $A$)

إذن $ADEF$ مستطيل.