تمارين في التناظر المركزي

8 أساسي دفواراتي
A B C I J
مناظر المستقيمات في مثلث
تمرين 1

ABC مثلث و I منتصف [AB] و J منتصف [BC].

  1. ليكن $\Delta$ المستقيم المار من A والموازي لـ (BC). بين أن $\Delta$ هو مناظر المستقيم (BC) بالنسبة إلى I.
  2. ليكن $\Delta'$ المستقيم المار من C والموازي للمستقيم (AB). بين أن $\Delta'$ هو مناظر المستقيم (AB) بالنسبة إلى J.
  3. لتكن E نقطة تقاطع (IC) و $\Delta$. بين أن E هي مناظرة C بالنسبة إلى I.
  4. لتكن F نقطة تقاطع (BJ) و $\Delta'$. (تم تعديل السؤال ليصبح منطقيا). بين أن F هي مناظرة B بالنسبة إلى J.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

صورة مستقيم بتناظر مركزي هو مستقيم يوازيه. لتحديد هذا المستقيم، يكفي تحديد صورة نقطة واحدة منه.

📝 الطريقة

  1. (1) مناظر (BC) بالنسبة لـ I هو مستقيم يوازيه ويمر من مناظرة أي نقطة عليه، مثلا B. ما هي مناظرة B بالنسبة لـ I؟
  2. (2) مناظر (AB) بالنسبة لـ J هو مستقيم يوازيه ويمر من مناظرة B. ما هي مناظرة B بالنسبة لـ J؟
  3. (3) E هي نقطة تقاطع (IC) ومناظر (BC). إذن صورة E ستكون نقطة تقاطع صورة (IC) وصورة مناظر (BC) أي (BC).

✅ الحل الكامل

1) مناظر المستقيم (BC) بالنسبة إلى I هو مستقيم يوازيه ويمر من مناظرة B بالنسبة إلى I. بما أن I منتصف [AB]، فإن مناظرة B هي A. إذن مناظر (BC) هو المستقيم المار من A والموازي لـ (BC)، أي المستقيم $\Delta$.

2) مناظر المستقيم (AB) بالنسبة إلى J هو مستقيم يوازيه ويمر من مناظرة B بالنسبة إلى J. بما أن J منتصف [BC]، فإن مناظرة B هي C. إذن مناظر (AB) هو المستقيم المار من C والموازي لـ (AB)، أي المستقيم $\Delta'$.

3) E هي نقطة تقاطع المستقيمين $\Delta$ و (IC). مناظرة E بالنسبة إلى I هي نقطة تقاطع مناظر $\Delta$ ومناظر (IC). مناظر $\Delta$ هو (BC) ومناظر (IC) هو (IC) نفسه لأنه يمر بمركز التناظر I. إذن مناظرة E هي نقطة تقاطع (BC) و (IC)، وهي النقطة C. وبالتالي E هي مناظرة C.

4) بنفس الطريقة، F هي نقطة تقاطع $\Delta'$ و (BJ). مناظرة F بالنسبة إلى J هي نقطة تقاطع مناظر $\Delta'$ (وهو AB) ومناظر (BJ) (وهو BJ نفسه). نقطة التقاطع هي B. إذن F هي مناظرة B.

مناظر المستقيمات في مستطيل
تمرين 2

ABCD مستطيل مركزه O و I منتصف [BC].

  1. ليكن $\Delta$ المستقيم المار من C والموازي لـ (BD). بين أن $\Delta$ هو مناظر المستقيم (BD) بالنسبة إلى I.
  2. ليكن $\Delta'$ المستقيم المار من A والموازي لـ (BD). بين أن $\Delta'$ هو مناظر مستقيم آخر بالنسبة لـ O. ما هو؟
  3. بين أن مناظر المستقيم (CD) بالنسبة إلى I هو المستقيم (BA).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

O هو مركز تناظر المستطيل. لتحديد مناظر مستقيم، ابحث عن صورة نقطة منه وحدد المستقيم الموازي المار منها.

📝 الطريقة

  1. (1) مناظر (BD) بالنسبة لـ I هو مستقيم يوازيه ويمر من مناظرة B. ما هي مناظرة B بالنسبة لـ I؟
  2. (2) O هو مركز المستطيل، إذن مناظرة C هي A ومناظرة D هي B. ما هو المستقيم الذي صورته تمر من A وتوازي (BD)؟ إنه صورة المستقيم (AC). (خطأ في المنطق). الطريقة الصحيحة: $\Delta'$ يمر من A ويوازي (BD). مناظره بالنسبة لـ O هو مستقيم يمر من C ويوازي (BD).
  3. (3) مناظر (CD) بالنسبة لـ I يمر من C (مناظرة B) ويوازي (CD). هذا لا يؤدي إلى (BA). الطريقة الصحيحة: مناظر C هو B ومناظر D هو نقطة D' بحيث I منتصف [DD'].

✅ الحل الكامل

1) مناظر (BD) بالنسبة لـ I هو مستقيم يوازيه ويمر من مناظرة B. بما أن I منتصف [BC]، فإن مناظرة B هي C. إذن مناظر (BD) هو المستقيم المار من C والموازي لـ (BD)، وهو $\Delta$.

2) $\Delta'$ هو مستقيم يمر من A ويوازي (BD). مناظر $\Delta'$ بالنسبة لـ O هو مستقيم يمر من مناظرة A (أي C) ويوازي (BD). إذن $\Delta'$ هو مناظر المستقيم المار من C والموازي لـ (BD)، أي $\Delta$.

3) مناظر المستقيم (CD) بالنسبة إلى I: مناظرة C هي B. مناظرة D هي نقطة K بحيث I منتصف [DK]. المستقيم المناظر هو (BK). الرباعي BDCK متوازي أضلاع، إذن (BK)//(CD). وبما أن (AB)//(CD)، فإن B, A, K على استقامة واحدة. إذن مناظر (CD) هو المستقيم (AB).

تقاطع المناظر في متوازي أضلاع
تمرين 3

ABCD متوازي أضلاع مركزه E. و F منتصف [BC]. و G مناظرة F بالنسبة إلى C.

  1. حدد مع تعليل الجواب مناظر A و (CD) بالنسبة إلى E.
  2. ليكن $\Delta$ المستقيم المار من G والموازي لـ (AC). و $\Delta'$ المستقيم المار من F والموازي لـ (AC). يقطع $\Delta$ المستقيم (CD) في I ويقطع $\Delta'$ المستقيم (AB) في K. بين أن K هي مناظرة I بالنسبة إلى F.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

سؤال 1: في متوازي الأضلاع ABCD ذو المركز E، تذكر أن E هو نقطة تقاطع القطرين ومنتصف كل منهما. ما هي مناظرة A بالنسبة لـ E؟

سؤال 2: استخدم خاصية التقاطع: مناظرة نقطة تقاطع مستقيمين هي نقطة تقاطع مناظري هذين المستقيمين. I هي تقاطع Δ و (CD)، إذن مناظرة I بالنسبة لـ F هي تقاطع مناظر Δ ومناظر (CD) بالنسبة لـ F.

📝 الطريقة

  1. سؤال 1: في متوازي الأضلاع ABCD ذو المركز E:
    • E هو منتصف القطر [AC]، إذن مناظرة A بالنسبة لـ E هي C
    • E هو منتصف القطر [BD]، إذن التناظر المركزي ذو المركز E يحول (CD) إلى (AB)
  2. سؤال 2: لإثبات أن K مناظرة I بالنسبة لـ F:
    • I هي تقاطع Δ (المار بـ G ويوازي AC) و (CD)
    • K هي تقاطع Δ' (المار بـ F ويوازي AC) و (AB)
    • ابحث عن مناظرة I بالنسبة لـ F باستخدام خاصية التقاطع
    • مناظر Δ بالنسبة لـ F هو مستقيم يمر بمناظرة G ويوازي AC
    • مناظر (CD) بالنسبة لـ F هو مستقيم يمر بمناظرتي C و D

✅ الحل الكامل

1) تحديد مناظر A و (CD) بالنسبة إلى E:

في متوازي الأضلاع ABCD، المركز E هو نقطة تقاطع القطرين [AC] و [BD].

  • مناظر A بالنسبة إلى E: بما أن E منتصف القطر [AC]، فإن مناظرة A بالنسبة إلى E هي C.
  • مناظر المستقيم (CD) بالنسبة إلى E: بالتناظر المركزي ذو المركز E، مناظرة C هي A ومناظرة D هي B. إذن مناظر المستقيم (CD) هو المستقيم (AB).

2) إثبات أن K مناظرة I بالنسبة إلى F:

I هي تقاطع المستقيم Δ (المار من G ويوازي AC) والمستقيم (CD).

لنجد مناظرة I بالنسبة إلى F باستخدام خاصية التقاطع:

مناظرة I = تقاطع مناظر Δ ومناظر (CD) بالنسبة إلى F

أولاً: مناظر المستقيم Δ بالنسبة إلى F:

المستقيم Δ يمر من G ويوازي (AC). بما أن G مناظرة F بالنسبة إلى C، فإن مناظرة G بالنسبة إلى F هي F نفسها (لأن F منتصف [GF]).

إذن مناظر Δ هو المستقيم المار من F ويوازي (AC)، وهو بالضبط المستقيم Δ'.

ثانياً: مناظر المستقيم (CD) بالنسبة إلى F:

بما أن F منتصف [BC]، فإن مناظرة C بالنسبة إلى F هي B.

مناظر المستقيم (CD) بالنسبة إلى F: التناظر المركزي بالنسبة إلى F يحوّل C إلى B (لأن F منتصف [BC])، ويحوّل المستقيم (CD) إلى مستقيم مواز له يمرّ بالنقطة B. وبما أن ABCD متوازي أضلاع، فإن $(AB) // (CD)$، والمستقيم الموازي لـ (CD) المارّ بـ B هو (AB).

بحساب مناظرة D، نجد أن مناظر المستقيم (CD) بالنسبة إلى F هو المستقيم (AB).

الاستنتاج:

مناظرة I بالنسبة إلى F = تقاطع Δ' و (AB) = K

إذن K هي مناظرة I بالنسبة إلى F.

تحديد مناظر قطعة مستقيم
تمرين 4

ABC مثلث و I منتصف [AB] و J منتصف [AC].

  1. حدد مع تعليل الجواب مناظر (BC) بالنسبة إلى I.
  2. حدد مع تعليل الجواب مناظر (BC) بالنسبة إلى J.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لتحديد مناظر مستقيم، يكفي تحديد مناظر نقطتين منه. ثم ارسم المستقيم المار بهما.

📝 الطريقة

  1. (1) بالنسبة للتناظر المركزي I (منتصف [AB]): ما هي مناظرة B؟ ما هي مناظرة C؟ لتكن C' هي مناظرة C. مناظر (BC) هو المستقيم (AC').
  2. (2) بالنسبة للتناظر المركزي J (منتصف [AC]): ما هي مناظرة C؟ ما هي مناظرة B؟ لتكن B' هي مناظرة B. مناظر (BC) هو المستقيم (AB').

✅ الحل الكامل

1) بالنسبة لـ I (منتصف [AB]): مناظرة B هي A. مناظرة C هي نقطة C' بحيث I منتصف [CC']. إذن مناظر المستقيم (BC) هو المستقيم (AC').

2) بالنسبة لـ J (منتصف [AC]): مناظرة C هي A. مناظرة B هي نقطة B' بحيث J منتصف [BB']. إذن مناظر المستقيم (BC) هو المستقيم (AB').