التناظر المركزي - مناظر مستقيم - التقاطع

الأستاذ: دفواراتي
المثلث ومناظر المستقيمات
التمرين 1

$ABC$ مثلث و $I$ منتصف $[AB]$ و $J$ منتصف $[BC]$. ليكن $\Delta$ المستقيم المار من $A$ و الموازي لـ $(BC)$

  1. أكمل بما يناسب: مناظر المستقيم $(BC)$ بالنسبة إلى $I$ هو المستقيم موازي له و المار من مناظرة $B$ و هي $A$ (لأن $I$ منتصف $[AB]$)
    إذن مناظر $(BC)$ هو $\Delta$
  2. ليكن $\Delta'$ المستقيم المار من $C$ و الموازي للمستقيم $(AB)$
    أكمل بما يناسب: مناظر المستقيم $(AB)$ بالنسبة إلى $J$ هو المستقيم موازي له و المار من مناظرة $B$ و هي $C$ (لأن $J$ منتصف $[BC]$)
    إذن مناظر $(AB)$ هو $\Delta'$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

خاصية أساسية: صورة مستقيم بالتناظر المركزي هي مستقيم موازي له ويمر بصورة أي نقطة من المستقيم الأصلي.

لحل هذا التمرين:

  • حدد مناظرة النقطة $B$ بالنسبة إلى $I$
  • استخدم حقيقة أن $I$ منتصف $[AB]$
  • طبق نفس المنطق للسؤال الثاني مع النقطة $J$

📝 الطريقة

  1. السؤال 1: بما أن $I$ منتصف $[AB]$، فإن $A$ و $B$ مناظرتان بالنسبة إلى $I$
  2. تطبيق الخاصية: صورة المستقيم $(BC)$ هي مستقيم موازي له ويمر بصورة $B$ وهي $A$
  3. السؤال 2: نفس المنطق مع $J$ منتصف $[BC]$

✅ الحل الكامل

السؤال 1:

بما أن $I$ منتصف $[AB]$، فإن $A$ و $B$ مناظرتان بالنسبة إلى $I$.

خاصية: صورة مستقيم بالتناظر المركزي هي مستقيم موازي له.

صورة المستقيم $(BC)$ بالتناظر المركزي بالنسبة إلى $I$ هي مستقيم:

  • موازي لـ $(BC)$
  • يمر بصورة $B$ وهي $A$
إذن مناظر $(BC)$ بالنسبة إلى $I$ هو $\Delta$ (المستقيم المار من $A$ وموازي لـ $(BC)$)
السؤال 2:

بما أن $J$ منتصف $[BC]$، فإن $B$ و $C$ مناظرتان بالنسبة إلى $J$.

صورة المستقيم $(AB)$ بالتناظر المركزي بالنسبة إلى $J$ هي مستقيم:

  • موازي لـ $(AB)$
  • يمر بصورة $B$ وهي $C$
إذن مناظر $(AB)$ بالنسبة إلى $J$ هو $\Delta'$ (المستقيم المار من $C$ وموازي لـ $(AB)$)
المستطيل ومناظر المستقيمات
التمرين 2

$ABCD$ مستطيل مركزه $O$ و $\Delta$ المستقيم المار من $C$ و الموازي لـ $(BD)$ و $I$ منتصف $[BC]$

  1. أكمل بما يناسب: مناظر المستقيم $(BD)$ بالنسبة إلى $I$ هو المستقيم موازي له و المار من مناظرة $B$ و هي $C$ (لأن $I$ منتصف $[BC]$)
    إذن مناظر $(BD)$ هو $\Delta$
  2. ليكن $\Delta'$ المستقيم المار من $A$ و الموازي لـ $(BD)$
    أكمل بما يناسب: مناظر المستقيم $(BD)$ بالنسبة إلى $O$ هو المستقيم موازي له و المار من مناظرة $B$ و هي $D$ (لأن $O$ منتصف $[BD]$)
    إذن مناظر $(BD)$ هو $(BD)$
  3. أكمل بما يناسب: مناظر المستقيم $(CD)$ بالنسبة إلى $I$ هو المستقيم موازي له و المار من مناظرة $C$ و هي $B$ (لأن $I$ منتصف $[BC]$)
    إذن مناظر $(CD)$ هو $(AB)$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

خصائص المستطيل:

  • القطران يتقاطعان في منتصفيهما (المركز $O$)
  • الأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية
  • $O$ منتصف $[AC]$ و $[BD]$

استخدم: صورة مستقيم بالتناظر المركزي هي مستقيم موازي له

📝 الطريقة

  1. للسؤال 1: $I$ منتصف $[BC]$ ⟹ $B$ و $C$ مناظرتان
  2. للسؤال 2: $O$ مركز المستطيل ⟹ $B$ و $D$ مناظرتان
  3. للسؤال 3: استخدم نفس المنطق مع الأضلاع

✅ الحل الكامل

السؤال 1:

$I$ منتصف $[BC]$ ⟹ $B$ و $C$ مناظرتان بالنسبة إلى $I$

صورة $(BD)$ بالتناظر المركزي بالنسبة إلى $I$:

مستقيم موازي لـ $(BD)$ ويمر بصورة $B$ وهي $C$، أي $\Delta$
السؤال 2:

في المستطيل، $O$ مركز التناظر ⟹ جميع النقاط المتقابلة مناظرة

ولكن $(BD)$ يمر بالمركز $O$، إذن صورة $(BD)$ بالنسبة إلى $O$ هي $(BD)$ نفسه

السؤال 3:

$I$ منتصف $[BC]$ ⟹ $C$ و $B$ مناظرتان بالنسبة إلى $I$

صورة $(CD)$ بالتناظر المركزي بالنسبة إلى $I$:

مستقيم موازي لـ $(CD)$ ويمر بصورة $C$ وهي $B$، أي $(AB)$
متوازي الأضلاع ومناظر المستقيمات
التمرين 3

$ABCD$ متوازي أضلاع مركزه $E$ و $F$ منتصف $[BC]$ و $G$ مناظرة $F$ بالنسبة إلى $C$

$\Delta$ المستقيم المار من $G$ و الموازي لـ $(AC)$ و $\Delta'$ المستقيم المار من $F$ و الموازي لـ $(AC)$

  1. حدد مع تعليل الجواب مناظر $\Delta'$ بالنسبة إلى $C$
  2. حدد مع تعليل الجواب مناظر $(FG)$ بالنسبة إلى $E$
  3. حدد مع تعليل الجواب مناظر $(AB)$ بالنسبة إلى $F$
  4. حدد مع تعليل الجواب مناظر $(AD)$ بالنسبة إلى $F$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

معطيات مهمة:

  • $G$ مناظرة $F$ بالنسبة إلى $C$
  • $E$ مركز متوازي الأضلاع
  • $F$ منتصف $[BC]$
  • $\Delta'$ موازي لـ $(AC)$ ويمر من $F$

استخدم: خصائص التناظر المركزي والتوازي

📝 الطريقة

  1. السؤال 1: استخدم حقيقة أن $G$ مناظرة $F$ بالنسبة إلى $C$
  2. السؤال 2: طبق خصائص التناظر المركزي في متوازي الأضلاع
  3. الأسئلة 3-4: استخدم خصائص منتصف الضلع

✅ الحل الكامل

السؤال 1:

بما أن $G$ مناظرة $F$ بالنسبة إلى $C$:

صورة المستقيم $\Delta'$ (المار من $F$ وموازي لـ $(AC)$) بالتناظر المركزي بالنسبة إلى $C$ هي:

$\Delta$ (المستقيم المار من $G$ وموازي لـ $(AC)$)
السؤال 2:

في متوازي الأضلاع $ABCD$، المركز $E$ هو نقطة تقاطع القطرين

بتطبيق خصائص التناظر المركزي:

صورة $(FG)$ بالنسبة إلى $E$ تحتاج لتحديد العلاقات بين النقاط
السؤال 3:

$F$ منتصف $[BC]$ ⟹ $B$ و $C$ مناظرتان بالنسبة إلى $F$

صورة $(AB)$ بالتناظر المركزي بالنسبة إلى $F$:

مستقيم موازي لـ $(AB)$ ويمر بصورة $B$ وهي $C$، أي $(CD)$
السؤال 4:

باستخدام نفس المنطق وخصائص متوازي الأضلاع:

صورة $(AD)$ بالنسبة إلى $F$ هي مستقيم موازي لـ $(AD)$
المثلث والمنتصفات
التمرين 4

$ABC$ مثلث و $I$ منتصف $[AB]$ و $J$ منتصف $[AC]$ و $\Delta$ المستقيم المار من $A$ و الموازي لـ $(BC)$

  1. حدد مع تعليل الجواب مناظر $(BC)$ بالنسبة إلى $I$
  2. حدد مع تعليل الجواب مناظر $(BC)$ بالنسبة إلى $J$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

معطيات:

  • $I$ منتصف $[AB]$ ⟹ $A$ و $B$ مناظرتان بالنسبة إلى $I$
  • $J$ منتصف $[AC]$ ⟹ $A$ و $C$ مناظرتان بالنسبة إلى $J$
  • $\Delta$ مستقيم يمر من $A$ وموازي لـ $(BC)$

طبق: خاصية صورة المستقيم بالتناظر المركزي

📝 الطريقة

  1. السؤال 1: استخدم حقيقة أن $I$ منتصف $[AB]$
  2. السؤال 2: استخدم حقيقة أن $J$ منتصف $[AC]$
  3. في كلا الحالتين: طبق خاصية صورة المستقيم

✅ الحل الكامل

السؤال 1:

التعليل: $I$ منتصف $[AB]$ ⟹ $A$ و $B$ مناظرتان بالنسبة إلى $I$

تطبيق الخاصية: صورة المستقيم $(BC)$ بالتناظر المركزي بالنسبة إلى $I$ هي مستقيم موازي لـ $(BC)$ ويمر بصورة $B$ وهي $A$

إذن مناظر $(BC)$ بالنسبة إلى $I$ هو $\Delta$ (المستقيم المار من $A$ وموازي لـ $(BC)$)
السؤال 2:

التعليل: $J$ منتصف $[AC]$ ⟹ $A$ و $C$ مناظرتان بالنسبة إلى $J$

تطبيق الخاصية: صورة المستقيم $(BC)$ بالتناظر المركزي بالنسبة إلى $J$ هي مستقيم موازي لـ $(BC)$ ويمر بصورة $C$ وهي $A$

إذن مناظر $(BC)$ بالنسبة إلى $J$ هو أيضا $\Delta$ (المستقيم المار من $A$ وموازي لـ $(BC)$)