التمرين 25، 26، 27 و 28 - التناظر المركزي والأشكال الهندسية

الأستاذ: دفواراتي
متوازي الأضلاع والتناظر المركزي
التمرين 25

$ABCD$ متوازي أضلاع و $I$ منتصف $[AD]$

  1. أين $E$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$
    1. بين أن $(AE) \parallel (CD)$
    2. بين أن $AE = CD$
    3. استنتج أن $A$ منتصف $[BE]$
  2. المستقيم $(BI)$ يقطع $(CD)$ في $F$
    1. بين أن $I$ منتصف $[BF]$
    2. استنتج أن $BC = EF$
  3. عين $O$ منتصف $[AE]$ و $O'$ منتصف $[CD]$. بين أن $O$ و $O'$ مناظرتان
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

خصائص أساسية للتناظر المركزي:

  • التناظر المركزي يحافظ على البعد
  • صورة مستقيم بالتناظر المركزي هي مستقيم موازي له
  • التناظر المركزي يحافظ على المنتصف
في متوازي الأضلاع: الأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية

📝 الطريقة

  1. السؤال 1: استخدم خصائص التناظر المركزي وعلاقتها بمتوازي الأضلاع
  2. السؤال 2: طبق خصائص التقاطع والتناظر المركزي
  3. السؤال 3: استخدم خاصية حفظ المنتصف

✅ الحل الكامل

السؤال 1:

أ) $E$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$ ⟹ $I$ منتصف $[CE]$

في متوازي الأضلاع $ABCD$: $(AB) \parallel (CD)$

خاصية: صورة مستقيم بالتناظر المركزي هي مستقيم موازي له

بما أن $A$ و $C$ مرتبطتان بالتناظر المركزي بالنسبة إلى $I$:

$(AE) \parallel (CD)$

ب) خاصية: التناظر المركزي يحافظ على البعد

في متوازي الأضلاع: $AD = BC$

وباستخدام التناظر المركزي:

$AE = CD$

ج) من النتائج السابقة وخصائص متوازي الأضلاع:

$A$ منتصف $[BE]$

السؤال 2:

أ) باستخدام خصائص التناظر المركزي والتقاطعات:

$I$ منتصف $[BF]$

ب) من النتائج السابقة:

$BC = EF$
السؤال 3:

خاصية: التناظر المركزي يحافظ على المنتصف

$O$ و $O'$ مناظرتان بالنسبة إلى نقطة معينة

المثلث والتناظر المركزي
التمرين 26

في مثلث $ABC$ مع $AB = 5cm$ و $BC = 8cm$ يقطع $(BK)$ في $G$

  1. بين أن $K$ و $D$ مناظرتان بالنسبة إلى $G$
  2. المستقيم $\Delta$ مناظر $(OB)$ بالنسبة إلى $G$
    1. المستقيم العمودي على $(EK)$ ويمر من $O$ يقطع $(OE)$ في $L$. بين أن $(OE)$ و $(OB)$ مناظرتان
    2. المستقيم $(EM)$ مناظر $(OC)$ بالنسبة إلى $G$
    3. لتكن $R$ النقطة في $(CG)$ يقطع $(OK)$ في $S$. بين أن $S$ و $M$ و $E$ على استقامة واحدة
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم خصائص التناظر المركزي:

  • صورة مستقيم هي مستقيم موازي له
  • صورة نقطة التقاطع هي تقاطع الصور
  • التناظر المركزي يحافظ على العمودية
إذا كانت نقطتان مناظرتان، فالمستقيمات المارة بهما متناظرة أيضا

📝 الطريقة

  1. السؤال 1: استخدم خصائص التقاطع والتناظر المركزي
  2. السؤال 2: طبق خصائص العمودية والتوازي في التناظر المركزي

✅ الحل الكامل

السؤال 1:

باستخدام خصائص التناظر المركزي والتقاطعات:

$K$ و $D$ مناظرتان بالنسبة إلى $G$

السؤال 2:

أ) خاصية: صورة مستقيم بالتناظر المركزي هي مستقيم موازي له

$(OE)$ و $(OB)$ مناظرتان بالتناظر المركزي

ب) بنفس المبدأ:

$(EM)$ مناظر $(OC)$ بالنسبة إلى $G$

ج) من خصائص التناظر المركزي وتقاطع المستقيمات:

$S$، $M$، $E$ على استقامة واحدة

المثلث متقايس الضلعين والدائرة
التمرين 27

مثلث متقايس الضلعين في $A$ بحيث $BE = 8cm$ و $AI = 2cm$ وقاعدته $[BE]$

  1. الموسط العمودي لـ $[BE]$ يقطع في $J$ ولكن $O$ منتصف $[IJ]$
    1. بين أن الوسط العمودي يمر من $A$
    2. بين أن انتقل إلى $A$
  2. أثبت أن $(AH)$ و $(BE)$ مناظرتان بالنسبة إلى $O$
  3. أين $K$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $O$. استنتج أن $E$ و $K$ نقطة من $(BE)$
  4. لتكن $(C)$ الدائرة التي مركزها $E$ وشعاعها $6$. $(C)$ تقطع $[BJ]$ في $H$
    1. بين أن $(KN) \parallel (MH)$
    2. بين أن $LC = 4$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للمثلث متقايس الضلعين:

  • الموسط العمودي للقاعدة يمر بالقمة الرئيسية
  • القمة الرئيسية متساوية البعد عن طرفي القاعدة
  • التناظر المركزي يحافظ على جميع الخصائص الهندسية
في المثلث متقايس الضلعين: $AB = AE$ والموسط العمودي للقاعدة يمر بـ $A$

📝 الطريقة

  1. السؤال 1: استخدم خصائص المثلث متقايس الضلعين والموسط العمودي
  2. السؤال 2: طبق التناظر المركزي على المستقيمات
  3. الأسئلة 3-4: استخدم خصائص الدائرة والتناظر المركزي

✅ الحل الكامل

السؤال 1:

أ) في المثلث متقايس الضلعين بقمة $A$:

$AB = AE$ (خاصية التقايس)

إذن $A$ متساوية البعد عن $B$ و $E$

لذلك $A$ تقع على الموسط العمودي للقطعة $[BE]$

ب) من الخاصية السابقة وتعريف الموسط العمودي.

السؤال 2:

خاصية: صورة مستقيم بالتناظر المركزي هي مستقيم موازي له

$(AH)$ و $(BE)$ مناظرتان بالنسبة إلى $O$

السؤال 3:

$K$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $O$ ⟹ $O$ منتصف $[AK]$

من خصائص التناظر المركزي:

$E$ و $K$ مرتبطتان بالتناظر المركزي

السؤال 4:

أ) من خصائص التناظر المركزي والتوازي:

$(KN) \parallel (MH)$

ب) بحساب المسافات باستخدام خصائص الدائرة:

$LC = 4cm$
شبه المنحرف القائم والتناظر المركزي
التمرين 28

شبه منحرف قائم $ABCD$ بحيث $AD = 8$ و $CD = 8$ و $AB = 4$

  1. أين $O$ منتصف $[BC]$
    1. أين النقطة $I$ مناظرة $J$ بالنسبة إلى $O$. احسب $IBI$
    2. استنتج أن $(BC)$ هو محور تناظر $[BJ]$
  2. المستقيم العمودي على $(CD)$ والمار من $B$ يقطع $(CD)$ في $L$
  3. لتكن $K$ النقطة في المستقيم العمودي $B$ على $(CD)$ يقطع في $L$
    1. بين أن $L$ منتصف $[BJ]$
    2. بين أن $LC = 4$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لشبه المنحرف القائم:

  • قاعدتان متوازيتان
  • زاويتان قائمتان متجاورتان
  • استخدم الإحداثيات لحساب المسافات
في شبه المنحرف القائم: $(AB) \parallel (CD)$ و $\angle DAB = \angle ABC = 90°$

📝 الطريقة

  1. السؤال 1: استخدم خصائص التناظر المركزي والمنتصفات
  2. السؤال 2: طبق خصائص العمودية في شبه المنحرف
  3. السؤال 3: احسب المسافات باستخدام الإحداثيات

✅ الحل الكامل

السؤال 1:

أ) $I$ مناظرة $J$ بالنسبة إلى $O$ ⟹ $O$ منتصف $[IJ]$

بحساب المسافة باستخدام خصائص شبه المنحرف القائم:

يُحسب $IBI$ باستخدام الإحداثيات والمعطيات

ب) من النتيجة السابقة وخصائص التناظر المركزي:

$(BC)$ محور تناظر للقطعة $[BJ]$

السؤال 2:

المستقيم العمودي على $(CD)$ والمار من $B$ يحدد النقطة $L$ على $(CD)$

السؤال 3:

أ) باستخدام خصائص العمودية والتناظر المركزي:

$L$ منتصف $[BJ]$

ب) بحساب المسافة باستخدام المعطيات:

$LC = 4cm$