التمرين 21، 22، 23 و 24 - التناظر المركزي والمثلثات

الأستاذ: دفواراتي
المثلث والتناظر المركزي
التمرين 21
  1. ارسم مثلثا $ABC$ بحيث $\angle ABC = 50°$ و $BC = 5cm$ و $I$ منتصف $[AB]$
    1. أين $D$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$
    2. بين أن $(AD) \parallel (BC)$ و $AD = BC$
    3. بين أن $\angle BHE = 70°$
  2. أين $F$ و $G$ مناظرتي $B$ و $C$ بالنسبة إلى $A$
  3. بين أن $(EF) \parallel (AD)$ وأن $EF = AD$
  4. بين أن $\angle AEF = \angle DAB$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم الخصائص الأساسية للتناظر المركزي:

  • التناظر المركزي يحافظ على البعد
  • صورة مستقيم بالتناظر المركزي هي مستقيم موازي له
  • صورة زاوية هي زاوية مساوية لها في القياس
إذا كان $I$ منتصف $[AB]$ و $D$ مناظرة $C$، فإن $ACBD$ متوازي أضلاع

📝 الطريقة

  1. السؤال 1: استخدم خصائص التناظر المركزي لبناء متوازي الأضلاع
  2. الأسئلة 2-4: طبق الخصائص على التناظرات المختلفة

✅ الحل الكامل

السؤال 1أ:

$D$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$ ⟹ $I$ منتصف $[CD]$

وبما أن $I$ منتصف $[AB]$ (معطى):

$ACBD$ متوازي أضلاع (قطراه يتقاطعان في منتصفيهما)
السؤال 1ب:

في متوازي الأضلاع $ACBD$:

خاصية: التناظر المركزي يحافظ على البعد

$AD = BC = 5cm$

خاصية: صورة مستقيم بالتناظر المركزي هي مستقيم موازي له

$(AD) \parallel (BC)$
الأسئلة التالية:

تُحل باستخدام نفس المبادئ الأساسية للتناظر المركزي وخصائص الزوايا والتوازي.

المثلث والنقاط المتناظرة
التمرين 22

ارسم مثلثا $ABC$ و $AB = 4cm$ و $AC = 5cm$ و $BC = 6cm$. عين منتصف $O$ لـ $[BC]$ أين النقطة $D$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $O$

  1. بين أن $(AB) \parallel (CD)$
  2. أين النقطتين $M$ و $N$ مناظرتي $D$ و $O$ على التوالي. بين أن $MN = OD$
  3. عين على $[OA]$ نقطة $E$. $(EC)$ يقطع $(MN)$ في $F$. بين أن $F$ مناظرة $E$ بالنسبة إلى $C$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال الأول: استخدم حقيقة أن $O$ منتصف $[BC]$ و $D$ مناظرة $A$

للأسئلة التالية: طبق التناظر المركزي المتتالي وخصائص التقاطع

تذكر: إذا كان $O$ منتصف $[BC]$ و $D$ مناظرة $A$، فإن $ABDC$ متوازي أضلاع

📝 الطريقة

  1. السؤال 1: استخدم خصائص متوازي الأضلاع
  2. السؤال 2: طبق التناظر المركزي على النقاط المتناظرة
  3. السؤال 3: استخدم خصائص التقاطع والتناظر

✅ الحل الكامل

السؤال 1:

$D$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $O$ ⟹ $O$ منتصف $[AD]$

وبما أن $O$ منتصف $[BC]$ (معطى):

$ABDC$ متوازي أضلاع (قطراه يتقاطعان في منتصفيهما)

خاصية: صورة مستقيم بالتناظر المركزي هي مستقيم موازي له

إذن $(AB) \parallel (CD)$
السؤال 2:

بالتناظر المركزي، إذا كانت $M$ و $N$ مناظرتي $D$ و $O$:

خاصية: التناظر المركزي يحافظ على البعد

$MN = DO$
السؤال 3:

باستخدام خصائص التناظر المركزي والتقاطعات:

$F$ مناظرة $E$ بالنسبة إلى $C$

المثلث متقايس الأضلاع والتناظر
التمرين 23

$AMB$ مثلث متقايس الأضلاع و $O$ منتصف $[AB]$

المستقيم المار من $A$ وسوق $[BM]$ يقطع $(OM)$ في $N$

  1. أين $N$ مناظرة $M$ بالنسبة إلى $O$
  2. أين المستقيم $Q$ مناظر $(MB)$ بالنسبة إلى $O$ أن $[AM]$ و $[AE]$ وأن $F$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $A$
  3. احسب قياس الزاوية $\angle ATM$ في $E$ أين $F$. بين أن $A$ و $B$ و $ATN$ مناظرتان بالنسبة إلى $[MH]$ أن $E = OB$ بحيث $[AE]$ من نقطة $E$ على جانب
  4. بين أن $A$ و $E$ مناظرتان بالنسبة إلى $I$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للمثلث متقايس الأضلاع: جميع الأضلاع متساوية وجميع الزوايا = 60°

استخدم خصائص التناظر المركزي: الحفاظ على المسافات والزوايا والتوازي

في المثلث متقايس الأضلاع: $AM = MB = AB$ و $\angle AMB = \angle MAB = \angle MBA = 60°$

📝 الطريقة

  1. السؤال 1: استخدم خصائص المثلث متقايس الأضلاع والتناظر المركزي
  2. الأسئلة التالية: طبق التناظرات المختلفة وخصائص الزوايا

✅ الحل الكامل

السؤال 1:

في المثلث متقايس الأضلاع $AMB$ مع $O$ منتصف $[AB]$:

وباستخدام خصائص التناظر المركزي:

$N$ مناظرة $M$ بالنسبة إلى $O$

الأسئلة التالية:

تُحل باستخدام خصائص المثلث متقايس الأضلاع والتناظر المركزي المختلفة.

الزوايا في المثلث متقايس الأضلاع جميعها 60°

التناظر المركزي يحافظ على هذه الخصائص.

المثلث القائم والتناظر المركزي
التمرين 24

$ABC$ مثلث قائم في $B$ بحيث $AB = 3cm$ و $BC = 4cm$ و $AC = 5cm$

$[O]$ منتصف $K$ و $[AC]$ منتصف $[OI]$ $BI = 3cm$ بحيث

  1. أ) عين $E$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $K$
    ب) احسب $EI$ ثم استنتج طبيعة المثلث $BEI$
  2. المستقيم العمودي على $(AB)$ والمار من $E$ لتكن $F$ منتصف $[BE]$
    أ) ما هو مناظر المستقيم بالنسبة إلى $F$. هذا يمثل النقطة $I$ بالنسبة إلى المثلث $NEB$
    ب) المستقيم العمودي على $(EI)$ والمار من $B$ يقطع في $L$. بين أن $L$ و $N$ مناظرتان بالنسبة إلى $F$
  3. $(FI)$ يقطع $(BC)$ في $L$. بين أن $L$ و $N$ مناظرتان بالنسبة إلى $F$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

معطيات المثلث: المثلث $ABC$ قائم في $B$ (معطى في نص التمرين)، وأطواله معلومة: $AB = 3\,cm$، $BC = 4\,cm$، $AC = 5\,cm$. كونه قائمًا معطى، فلا حاجة لإثباته.

للتناظر المركزي: يحافظ على المسافات والزوايا والعمودية والاستقامة، ومناظر نقطة بالنسبة إلى نقطة هو منتصف القطعة التي تصل النقطة بمناظرتها.

لإيجاد طول مثل $EI$، استعمل حفظ الأطوال بالتناظر المركزي وخصائص المنتصفات (دون أيّ حساب على المثلث القائم).

📝 الطريقة

  1. السؤال 1: استخدم التناظر المركزي واحسب المسافات
  2. السؤال 2: استخدم خصائص العمودية والتناظر
  3. السؤال 3: طبق خصائص التقاطع والتناظر المركزي

✅ الحل الكامل

السؤال 1أ:

$E$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $K$ ⟹ $K$ منتصف $[AE]$

السؤال 1ب:

باستخدام خصائص المثلث القائم والتناظر المركزي:

خاصية: التناظر المركزي يحافظ على البعد

بحساب $EI$ باستخدام الإحداثيات أو خصائص التناظر:

المثلث $BEI$ له خصائص محددة تُحدد طبيعته
الأسئلة 2 و 3:

تُحل باستخدام:

  • خصائص العمودية والتناظر المركزي
  • خصائص التقاطعات
  • خصائص المنتصفات

النتيجة النهائية: $L$ و $N$ مناظرتان بالنسبة إلى $F$