التمرين 18، 19 و 20 - التناظر المركزي والهندسة

الأستاذ: دفواراتي
القطعة المستقيمة والنصف مستقيم
التمرين 18

$[AB]$ قطعة مستقيم و $M$ منتصفها. و $(\Delta x)$ نصف مستقيم بحيث $B\hat{A}x = 30°$

  1. أ) عين النقطة $E$ من نصف المستقيم $(\Delta x)$ بحيث $AE = 6cm$ وأين النقطة $F$ مناظرة $E$ بالنسبة إلى $M$
    ب) بين أن $(AE) \parallel (BF)$ وأن $BF = 6cm$
  2. أ) عين النقطة $I$ منتصف $[AE]$ وأين النقطة $J$ مناظرة $I$ بالنسبة إلى $M$
    ب) أثبت أن $B$ و $F$ مناظرتان بالنسبة إلى $J$
  3. أ) لتكن $H$ نقطة من المستقيم $(EF)$ و $K$ نقطة على $(EF)$
    ب) المستقيم $(AH)$ و $(BK)$ مناظرتان بالنسبة إلى $M$
    ج) استنتج أن $M$ منتصف $[HK]$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

خصائص أساسية للتناظر المركزي:

  • التناظر المركزي يحافظ على البعد
  • صورة مستقيم بالتناظر المركزي هي مستقيم موازي له
  • إذا كان $M$ منتصف $[AB]$، فإن $A$ و $B$ مناظرتان بالنسبة إلى $M$
استخدم حقيقة أن $M$ منتصف $[AB]$ لتطبيق التناظر المركزي

📝 الطريقة

  1. السؤال 1: استخدم خاصية حفظ البعد والتوازي في التناظر المركزي
  2. السؤال 2: طبق التناظر المركزي على النقاط والقطع
  3. السؤال 3: استخدم خاصية أن صورة المستقيم مستقيم موازي

✅ الحل الكامل

السؤال 1:

أ) نعين $E$ على $(\Delta x)$ بحيث $AE = 6cm$

$F$ مناظرة $E$ بالنسبة إلى $M$ ⟹ $M$ منتصف $[EF]$

ب) بما أن $M$ منتصف $[AB]$ (معطى)، فإن $A$ و $B$ مناظرتان بالنسبة إلى $M$

خاصية: صورة مستقيم بالتناظر المركزي هي مستقيم موازي له

صورة المستقيم $(AE)$ بالتناظر المركزي بالنسبة إلى $M$ هي $(BF)$

إذن $(AE) \parallel (BF)$

خاصية: التناظر المركزي يحافظ على البعد

$BF = AE = 6cm$
السؤال 2:

أ) $I$ منتصف $[AE]$ و $J$ مناظرة $I$ بالنسبة إلى $M$

إذن $M$ منتصف $[IJ]$

ب) بما أن $A$ و $B$ مناظرتان بالنسبة إلى $M$

و $E$ و $F$ مناظرتان بالنسبة إلى $M$

فإن منتصفيهما أيضا مناظرتان:

$I$ منتصف $[AE]$ و $J$ مناظرة $I$ بالنسبة إلى $M$

إذن $J$ منتصف $[BF]$

لذلك $B$ و $F$ مناظرتان بالنسبة إلى $J$

السؤال 3:

أ) $H$ نقطة من $(EF)$ و $K$ نقطة على $(EF)$

ب) بما أن $A$ و $B$ مناظرتان بالنسبة إلى $M$

و $H$ و $K$ من المستقيم $(EF)$ الذي هو صورة $(AE)$

خاصية: صورة مستقيم بالتناظر المركزي هي مستقيم موازي له

$(AH)$ و $(BK)$ مناظرتان بالنسبة إلى $M$

ج) من النتيجة السابقة وخصائص التناظر المركزي:

$M$ منتصف $[HK]$

المثلث والنقطتان المتناظرتان
التمرين 19

$AEO$ مثلث والنقطتان $E$ و $F$ مناظرتان بالنسبة إلى $A$ و $EF = 8cm$

  1. أ) أين النقطتين $B$ و $C$ على التوالي مناظرتي النقطتين $A$ و $E$ بالنسبة إلى $O$
    ب) بين أن $(BC) \parallel (AE)$ و احسب $BC$
  2. المستقيم $(OF)$ يقطع المستقيم $(BC)$ في النقطة $G$
    أ) بين أن $O$ منتصف $[FG]$
    ب) بين أن $(EG) \parallel (FC)$
  3. أ) بين أن النقطتين $C$ و $G$ مناظرتان بالنسبة إلى $B$
    ب) استنتج أن المستقيمين $(EG)$ و $(CF)$ مناظرتان بالنسبة إلى $B$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر أن لدينا تناظرين مركزيين:

  • التناظر المركزي بالنسبة إلى $A$: $E$ و $F$ مناظرتان
  • التناظر المركزي بالنسبة إلى $O$: $A$ و $B$ مناظرتان، $E$ و $C$ مناظرتان
استخدم حقيقة أن $A$ منتصف $[EF]$ و $O$ منتصف $[AB]$ و $[EC]$

📝 الطريقة

  1. السؤال 1: استخدم خصائص التناظر المركزي للحصول على التوازي والمسافات
  2. السؤال 2: طبق خصائص التقاطع والتناظر المركزي
  3. السؤال 3: استخدم تركيب التناظرات المختلفة

✅ الحل الكامل

السؤال 1:

أ) $B$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $O$ ⟹ $O$ منتصف $[AB]$

$C$ مناظرة $E$ بالنسبة إلى $O$ ⟹ $O$ منتصف $[EC]$

ب) خاصية: صورة مستقيم بالتناظر المركزي هي مستقيم موازي له

صورة المستقيم $(AE)$ بالتناظر المركزي بالنسبة إلى $O$ هي $(BC)$

إذن $(BC) \parallel (AE)$

خاصية: التناظر المركزي يحافظ على البعد

وبما أن $E$ و $F$ مناظرتان بالنسبة إلى $A$: $AE = AF = \frac{EF}{2} = 4cm$

$BC = AE = 4cm$
السؤال 2:

أ) بما أن $F$ مناظرة $E$ بالنسبة إلى $A$ و $G$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $O$

وبما أن $C$ مناظرة $E$ بالنسبة إلى $O$

فإن $G$ على المستقيم $(OF)$ و $O$ على المستقيم $(FG)$

$O$ منتصف $[FG]$

ب) خاصية: صورة مستقيم بالتناظر المركزي هي مستقيم موازي له

بتطبيق التناظر المركزي المناسب:

$(EG) \parallel (FC)$
السؤال 3:

أ) من التناظرات المركزية المختلفة وتركيبها:

$C$ و $G$ مناظرتان بالنسبة إلى $B$

ب) خاصية: صورة مستقيم بالتناظر المركزي هي مستقيم موازي له

بما أن $C$ و $G$ مناظرتان بالنسبة إلى $B$:

$(EG)$ و $(CF)$ مناظرتان بالنسبة إلى $B$

المربع والتناظر المركزي
التمرين 20

ليكن $ABCD$ مربعا مركزه $O$ طول ضلعه $5$ لتكن $E$ نقطة من $[AB]$ بحيث $AE = 2$

  1. $(OE)$ يقطع $(CD)$ في نقطة $F$
    1. بين أن $O$ هي منتصف $[EF]$
    2. احسب $CF$
    3. بين أن $(BF) \parallel (DE)$
  2. عين النقطة $I$ منتصف $[BC]$ و $J$ منتصف $[AD]$. بين أن $O$ و $I$ و $J$ على استقامة واحدة
  3. بين أن $AICJ$ متوازي أضلاع
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

خصائص أساسية للتناظر المركزي:

  • صورة مستقيم بالتناظر المركزي هي مستقيم موازي له
  • التناظر المركزي يحافظ على البعد
  • صورة نقطة هي تقاطع صور المستقيمات التي تمر بها
  • التناظر المركزي يحافظ على المنتصف
في المربع: $A$ و $C$ مناظرتان، $B$ و $D$ مناظرتان بالنسبة إلى المركز $O$

📝 الطريقة

  1. السؤال 1أ: أوجد صورة $E$ باستخدام تقاطع صور المستقيمات
  2. السؤال 1ب: استخدم خاصية حفظ المسافات في التناظر المركزي
  3. السؤال 1ج: استخدم خاصية أن صورة المستقيم مستقيم موازي
  4. السؤال 2: استخدم خاصية حفظ المنتصف
  5. السؤال 3: أثبت التوازي باستخدام صور المستقيمات

✅ الحل الكامل

السؤال 1أ:

نريد إثبات أن $E$ و $F$ مناظرتان بالنسبة إلى $O$

$E$ هي تقاطع $(AB)$ و $(EF)$

في المربع، بالتناظر المركزي بالنسبة إلى $O$:

  • صورة $A$ هي $C$
  • صورة $B$ هي $D$

خاصية: صورة مستقيم بالتناظر المركزي هي مستقيم موازي له

إذن صورة $(AB)$ هي $(CD)$

وبما أن $(EF)$ يمر بـ $O$ (مركز التناظر)، فإن صورة $(EF)$ هي $(EF)$ نفسه

خاصية: صورة نقطة هي تقاطع صور المستقيمات التي تمر بها

إذن صورة $E$ هي تقاطع صورة $(AB)$ وصورة $(EF)$

أي صورة $E$ هي تقاطع $(CD)$ و $(EF)$ وهي $F$

إذن $E$ و $F$ مناظرتان بالنسبة إلى $O$، لذلك $O$ منتصف $[EF]$
السؤال 1ب:

خاصية: التناظر المركزي يحافظ على البعد

$[CF]$ هي صورة $[AE]$ بالتناظر المركزي بالنسبة إلى $O$

إذن $CF = AE = 2cm$
السؤال 1ج:

بالتناظر المركزي بالنسبة إلى $O$:

  • صورة $B$ هي $D$
  • صورة $E$ هي $F$ (من السؤال 1أ)

خاصية: صورة مستقيم بالتناظر المركزي هي مستقيم موازي له

صورة $(DE)$ هي $(BF)$

إذن $(BF) \parallel (DE)$
السؤال 2:

$I$ منتصف $[BC]$ و $J$ منتصف $[AD]$

خاصية: التناظر المركزي يحافظ على المنتصف

وبما أن صورة $[BC]$ هي $[AD]$ بالتناظر المركزي بالنسبة إلى $O$

فإن صورة منتصف $[BC]$ هي منتصف $[AD]$

أي صورة $I$ هي $J$

وبما أن $I$ و $J$ مناظرتان بالنسبة إلى $O$:

$O$، $I$، $J$ على استقامة واحدة
السؤال 3:

لإثبات أن $AICJ$ متوازي أضلاع، نحتاج إثبات أن الأضلاع المتقابلة متوازية:

أولا: $(AI) \parallel (CJ)$

نعلم أن $(AB) \parallel (CD)$ (أضلاع متقابلة في المربع)

وبما أن $I \in (BC)$ و $J \in (AD)$

إذن $(AI) \parallel (CJ)$

ثانيا: $(AJ) \parallel (CI)$

بالتناظر المركزي بالنسبة إلى $O$:

  • صورة $A$ هي $C$
  • صورة $J$ هي $I$ (مُثبت في السؤال السابق)

خاصية: صورة مستقيم بالتناظر المركزي هي مستقيم موازي له

صورة $(AJ)$ هي $(CI)$

إذن $(AJ) \parallel (CI)$

لذلك $AICJ$ متوازي أضلاع