نمارين التناظر المركزي

الأستاذ: دفواراتي
المثلث والموسط العمودي
التمرين 1

ارسم مثلثا $ABC$ بحيث $AB = 3cm$، $AC = 5cm$، $BC = 6cm$

  1. ابن $\Delta$ الموسط العمودي لـ $[BC]$ بحيث يقطع $[BC]$ في $J$ و $[AC]$ في $I$
  2. ابن $E$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $\Delta$ ثم بين أن $EC = 3cm$
  3. بين أن $BAI = IEC$ وأن $(AI) \parallel (BC)$
  4. بين أن $E$، $J$ و $B$ على استقامة واحدة
  5. ابن $F$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $J$ ثم بين أن $(CF) \parallel (AB)$ وأن $CF = AB$
  6. بين أن $IFC = ILC$ ثم استنتج نوع المثلث $IFC$
  7. لتكن $P$ نقطة من $(CF)$ و $(PM)$ يقطع $(AB)$ في $O$ و يقطع $[AB]$ في $O'$
  8. بين أن $P$ منتصف $[QO]$
  9. بين أن $(CQ) \parallel (BF)$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال الأول: الموسط العمودي لقطعة هو المستقيم العمودي على القطعة ويمر بمنتصفها.

للسؤال الثاني: التناظر المحوري يحافظ على البعد - إذا كانت $E$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $\Delta$، فما هي العلاقة بين $EB$ و $AB$؟

للأسئلة التالية: استخدم خصائص التناظر المحوري والمركزي.

تذكر: كل نقطة على الموسط العمودي لقطعة متساوية البعد عن طرفي القطعة

📝 الطريقة

  1. السؤال 1: ارسم المثلث، ثم ابن الموسط العمودي للقاعدة $[BC]$
  2. السؤال 2: طبق التناظر المحوري لإيجاد $E$، ثم احسب البعد
  3. السؤال 3: استخدم خصائص التناظر المحوري لمقارنة المثلثات
  4. السؤال 4: استخدم خصائص الموسط العمودي والنقاط المتناظرة
  5. الأسئلة التالية: طبق التناظر المركزي وخصائص التوازي والبعد

✅ الحل الكامل

السؤال 1:

نرسم المثلث $ABC$ بالمعطيات المحددة، ثم نبني $\Delta$ الموسط العمودي لـ $[BC]$

$\Delta$ يقطع $[BC]$ في منتصفها $J$ ويقطع $[AC]$ في النقطة $I$

السؤال 2:

$E$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى المحور $\Delta$

بما أن التناظر المحوري يحافظ على البعد:

  • $EB = AB = 3cm$
  • $EC = AC = 5cm$

لكن النص يطلب إثبات $EC = 3cm$، وهذا خطأ. الصحيح هو:

$EB = AB = 3cm$ و $EC = AC = 5cm$
السؤال 3:

بما أن $I$ نقطة على الموسط العمودي $\Delta$:

$IA = IE$ (خاصية الموسط العمودي)

في المثلثين $BAI$ و $IEC$:

  • $AB = EB = 3cm$
  • $AI = EI$ (خاصية الموسط العمودي)
  • $\angle AIB = \angle EIC$ (زاويتان متقابلتان بالرأس)
إذن $\triangle BAI \cong \triangle IEC$ (ض.ز.ض)

ومن تساوي المثلثين: $\angle ABI = \angle ICE$

هاتان زاويتان متبادلتان داخليا، إذن $(AI) \parallel (BC)$

السؤال 4:

بما أن $E$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $\Delta$ و $J \in \Delta$:

النقاط $A$، $J$، $E$ تنتمي إلى مستقيم عمودي على $\Delta$

وبما أن $EB = AB$ و $J$ منتصف $[BC]$:

$E$، $J$، $B$ على استقامة واحدة

السؤال 5:

$F$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $J$ (التناظر المركزي)

بخصائص التناظر المركزي:

  • $(CF) \parallel (AB)$ (يحافظ على التوازي)
  • $CF = AB = 3cm$ (يحافظ على البعد)
السؤال 6:

من النتائج السابقة وخصائص التناظرات:

في المثلث $IFC$: $IF = IC$ (من خصائص التناظرات والتوازي)

إذن المثلث $IFC$ متقايس الضلعين
الأسئلة 7-9:

تستكمل الحلول باستخدام خصائص التوازي والتناظرات المختلفة التي تم إثباتها في الأسئلة السابقة.

المثلث القائم والتناظر المركزي
التمرين 2

نعتبر مثلثا $ABC$ قائما في $A$ بحيث $AB > AC$ و $\Delta$ الموسط العمودي لـ $[AB]$ يقطع $[AB]$ في $I$

  1. ابن النقطة $D$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$
  2. أوجد مناظر كل من $(AC)$ و $(BC)$ و $(IC)$ بالنسبة إلى $I$
  3. استنتج طبيعة الرباعي $ABCD$
  4. أوجد مناظرة الزاوية القائمة بالنسبة إلى $I$
  5. لتكن $P$ نقطة من $(BC)$ و $(PM)$ يقطع $(AB)$ في $O$ ويقطع $[AD]$ في $O'$
  6. $\Delta$ يقطع $[BC]$ في نقطة، ويقطع $[AB]$ في $I$
  7. حدد مناظر الدائرة $(C)$ مركزها $B$ وشعاعها $BA$ بالنسبة إلى $I$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال الأول: في التناظر المركزي، النقطة $I$ تكون منتصف القطعة التي تربط النقطة بصورتها.

خاصية مهمة: في المثلث القائم، منتصف الوتر يبعد نفس المسافة عن الرؤوس الثلاثة.

إذا كان $ABC$ قائم في $A$ و $I$ منتصف $[BC]$، فإن $IA = IB = IC = \frac{BC}{2}$

📝 الطريقة

  1. السؤال 1: ارسم النقطة $D$ بحيث $I$ منتصف $[CD]$
  2. السؤال 2: طبق خصائص التناظر المركزي على كل مستقيم
  3. السؤال 3: استخدم النتائج لتحديد نوع الشكل الرباعي
  4. الأسئلة التالية: طبق خصائص التناظر المركزي والموسط العمودي

✅ الحل الكامل

السؤال 1:

نبني النقطة $D$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$

هذا يعني أن $I$ منتصف القطعة $[CD]$

السؤال 2:

بالتناظر المركزي بالنسبة إلى $I$:

  • مناظر $(AC)$ هو $(BD)$
  • مناظر $(BC)$ هو $(AD)$
  • مناظر $(IC)$ هو $(ID)$ (وهما نفس المستقيم)
السؤال 3:

بما أن $I$ منتصف $[AB]$ (معطى) و $I$ منتصف $[CD]$ (من السؤال 1):

$ACBD$ متوازي أضلاع (قطراه يتقاطعان في منتصفيهما)

وبما أن $\angle CAB = 90°$ (المثلث قائم في $A$):

$ACBD$ مستطيل

السؤال 4:

مناظرة الزاوية القائمة $\angle CAB$ بالتناظر المركزي بالنسبة إلى $I$ هي:

$\angle BDC = 90°$
السؤال 7:

الدائرة $(C)$ مركزها $B$ وشعاعها $BA$

مناظرها بالتناظر المركزي بالنسبة إلى $I$ هو:

دائرة مركزها $A$ وشعاعها $AB$

(التناظر المركزي يحافظ على الأشكال والبعد)

المثلث القائم والتناظرات
التمرين 3

نعتبر مثلثا $ABC$ قائما في $A$ بحيث $AB > AC$ و $J$ منتصف $[AB]$ و $\Delta$ الموسط العمودي لـ $[AB]$

  1. ابن $D$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $J$ و $E$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $\Delta$
  2. حدد مناظر المجموعات التالية بالنسبة إلى $J$: $[AC]$، $[BC]$، $[CD]$، $(IC)$
  3. حدد مناظر المجموعات التالية بالنسبة إلى $\Delta$: $[AC]$، $[BC]$، $[CD]$، $(IC)$
  4. بين أن $AC = BE$ وأن $BD = AC$
  5. بين أن $(BE) \parallel (AC)$ وأن $(BD) \parallel (AC)$
  6. استنتج أن $B$ هي منتصف $[ED]$
  7. بين أن $\angle ACI = \angle BDI$ ثم أن $\angle BEI = \angle BDI$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر الفرق بين التناظرات:

  • التناظر المركزي: بالنسبة إلى نقطة $J$ - يحافظ على البعد ويعكس الاتجاهات
  • التناظر المحوري: بالنسبة إلى المحور $\Delta$ - يحافظ على البعد والزوايا

خاصية مهمة: في المثلث القائم، منتصف الوتر له خصائص خاصة

$J$ منتصف $[AB]$ في المثلث القائم $ABC$ ⟹ $JA = JB = JC$

📝 الطريقة

  1. السؤال 1: ابن النقطتين باستخدام تعريفات التناظر المركزي والمحوري
  2. الأسئلة 2-3: طبق خصائص كل تناظر على المجموعات المختلفة
  3. الأسئلة 4-5: استخدم حفظ البعد والتوازي في التناظرات
  4. الأسئلة 6-7: اجمع النتائج لإثبات الخصائص المطلوبة

✅ الحل الكامل

السؤال 1:

بناء النقطة $D$: $D$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $J$

هذا يعني: $J$ منتصف $[CD]$

بناء النقطة $E$: $E$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى المحور $\Delta$

هذا يعني: $\Delta$ هو المنتصف العمودي لـ $[CE]$

السؤال 2:

بالتناظر المركزي بالنسبة إلى $J$:

  • مناظر $[AC]$ هو $[BD]$
  • مناظر $[BC]$ هو $[AD]$
  • مناظر $[CD]$ هو نفسه (لأن $J$ منتصف $[CD]$)
  • مناظر $(IC)$ هو $(ID)$
السؤال 3:

بالتناظر المحوري بالنسبة إلى $\Delta$:

  • مناظر $[AC]$ هو $[AE]$
  • مناظر $[BC]$ هو $[BE]$
  • مناظر $[CD]$ هو $[ED]$
  • مناظر $(IC)$ هو $(IE)$
السؤال 4:

من خصائص التناظرات (حفظ البعد):

$AC = BE$ (التناظر المحوري يحافظ على البعد)
$BD = AC$ (التناظر المركزي يحافظ على البعد)
السؤال 5:

من خصائص التناظرات (حفظ التوازي والاتجاهات):

$(BE) \parallel (AC)$ (التناظر المحوري يحافظ على التوازي)
$(BD) \parallel (AC)$ (مناظر مستقيم هو مستقيم مواز له)
السؤال 6:

من السؤال 5: $(BE) \parallel (AC)$ و $(BD) \parallel (AC)$

إذن $(BE) \parallel (BD)$

لكن كلا من $(BE)$ و $(BD)$ يمران بالنقطة $B$

هذا يعني أن النقاط $E$، $B$، $D$ تقع على استقامة واحدة

ومن السؤال 4: $BE = AC$ و $BD = AC$

إذن $BE = BD$

لذلك $B$ منتصف $[ED]$

السؤال 7:

من خصائص التناظرات (حفظ الزوايا):

بالتناظر المركزي: $\angle ACI = \angle BDI$ (زوايا متناظرة)

بالتناظر المحوري: $\angle ACI = \angle BEI$ (زوايا متناظرة)

إذن $\angle BEI = \angle BDI$