التمرين 7 و 8 - المثلث متقايس الضلعين والدائرة

الأستاذ: دفواراتي
A B C Δ
المثلث متقايس الضلعين والمحاور
التمرين 1

$ABC$ مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية $A$ و $\Delta$ الموسط العمودي لـ $[BC]$

  1. بين أن $A$ نقطة من $\Delta$
  2. أين $\Delta$ منتصف $[AB]$ و $M'$ مناظرتها بالنسبة لـ $\Delta$. بين أن $A$ و $C$ مناظرتان بالنسبة لـ $M'$
  3. أين $B'$ مناظرة $B$ بالنسبة لـ $M'$ ثم بين أن $(BC) \parallel (AB')$
  4. بين أن $(AB')$ و $(BC)$ مناظرتان بالنسبة لـ $M$
  5. المستقيم $(CM)$ يقطع $(AB')$ في $C'$ بين أن $M$ هي منتصف $[CC']$
  6. بين أن $ABC = AB'C$
  7. أين الدائرة $(C)$ التي مركزها $B'$ وشعاعها $CB'$ ثم الدائرة $(C')$ التي مركزها $B$ و شعاعها $BC'$ و. بين أن الدائرتين مناظرتان بالنسبة لـ $A$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال الأول: في المثلث متقايس الضلعين، ما هي علاقة القمة الرئيسية بالموسط العمودي للقاعدة؟

للأسئلة التالية: استخدم خصائص التناظر المركزي والمحاور:

  • الموسط العمودي لقطعة يحتوي على جميع النقاط المتساوية البعد عن طرفي القطعة
  • التناظر المركزي يحافظ على البعد والتوازي
تذكر: في المثلث متقايس الضلعين، الموسط العمودي للقاعدة يمر بالقمة الرئيسية

📝 الطريقة

  1. السؤال 1: استخدم تعريف المثلث متقايس الضلعين وخاصية الموسط العمودي
  2. السؤال 2: طبق تعريف التناظر المركزي وخصائص المنتصف
  3. السؤال 3: استخدم خصائص التناظر المركزي في الحفاظ على التوازي
  4. الأسئلة التالية: اربط النتائج السابقة واستخدم خصائص التناظر المركزي

✅ الحل الكامل

السؤال 1:

في المثلث متقايس الضلعين $ABC$ بقمة رئيسية $A$: $AB = AC$

إذن $A$ متساوية البعد عن $B$ و $C$

لذلك $A$ تنتمي إلى الموسط العمودي $\Delta$ لـ $[BC]$

السؤال 2:

$M$ منتصف $[AB]$ و $M'$ مناظرة $M$ بالنسبة لـ $\Delta$

بما أن $M'$ مناظرة $M$ بالنسبة لـ $\Delta$، فإن $M'$ منتصف $[AC]$

لأن التناظر المحوري يحافظ على المنتصف

$A$ و $C$ مناظرتان بالنسبة لـ $M'$

السؤال 3:

$B'$ مناظرة $B$ بالنسبة لـ $M'$

مناظ المستقيم $(BC)$ بالنسبة لـ $M'$ هو المستقيم $(BC)$ و بما ان مناظر مستقيم هو مستقيم مواز له فإن

$(BC) \parallel (AB')$
السؤال 4:

من النتائج السابقة وخصائص التناظر المركزي:

$(AB')$ و $(BC)$ مناظرتان بالنسبة لـ $M$

السؤال 5:

$C'$ هي نقطة تقاطع المستقيمين $(AC')$ و $(CC')$

إذن مناظرة $C'$ بالنسبة لـ M هي نقطة تقاطع مناظرة $(AC')$ و مناظرة $(CC')$د بالنسبة لـ $M$

مناظر المستقيم $(AC')$ هو المستقيم الموازي له و المار من مناظرة $A$ وهي $B$

المستقيم $(CC')$ يمر من مركز التناظر إذن هو مناظر لنفسه

إذن مناظرة $C'$ هي نقطة تقاطع $(BC)$ و $(C'C)$ أي C

$M$ منتصف $[CC']$

السؤال 6:

من خصائص التناظر المركزي والمثلث متقايس الضلعين:

$ABC = AB'C$ (التناظر المركزي يحافظ على أقيسة الزوايا)
السؤال 7:

الدائرة $(C)$ مركزها $B'$ وشعاعها $CB'$

الدائرة $(C')$ مركزها $B$ وشعاعها $C'B$

مركزيهما متناظرين و شعاعيهما متساويين إذن الدائرتان متناظزتان بالنسبة لـ $M$

الدائرة والتناظر المركزي
التمرين 2

ارسم دائرة $(C)$ مركزها $O$ وشعاعها $4$ ثم عين داخلها النقطة $I$ بحيث $OI = 2.5cm$

  1. أين الدائرة $(C')$ التي مركزها $O'$ مناظرة $(C)$ بالنسبة لـ $I$
  2. ما هي الوضعية النسبية للدائرتين
  3. لتكن $A$ و $B$ نقطتي تقاطع الدائرتين. بين أن $A$ و $B$ مناظرتين بالنسبة إلى $I$
  4. بين أن $(O'B) \parallel (OA)$
  5. المستقيم $(AO')$ يقطع $(C')$ في نقطة ثانية $M$. أين $M'$ مناظرة $M$ بالنسبة لـ $I$ ثم بين أن $B$ و $M'$ متطابقتان
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال الأول: كيف يؤثر التناظر المركزي على مركز وشعاع الدائرة؟

للسؤال الثاني: احسب المسافة بين المركزين وقارنها بمجموع الشعاعين.

للأسئلة التالية: استخدم خصائص التناظر المركزي:

  • نقاط التقاطع تبقى نقاط تقاطع
  • يحافظ على التوازي والبعد
تذكر: $OI = 1.5cm$ وشعاع الدائرة = $2cm$

📝 الطريقة

  1. السؤال 1: طبق تعريف التناظر المركزي على مركز الدائرة
  2. السؤال 2: احسب $OO'$ وقارن مع مجموع الشعاعين
  3. السؤال 3: استخدم خاصية أن التناظر المركزي يحافظ على نقاط التقاطع
  4. الأسئلة التالية: طبق خصائص التناظر المركزي على المستقيمات والنقاط

✅ الحل الكامل

السؤال 1:

الدائرة $(C')$ مناظرة $(C)$ بالنسبة لـ $I$

$O'$ مناظر $O$ بالنسبة لـ $I$ ⟹ $I$ منتصف $[OO']$

إذن $OO' = 2 \times OI = 2 \times 2.5 = 5cm$

شعاع $(C') = $ شعاع $(C) = 2cm$

السؤال 2:

المسافة بين المركزين: $OO' = 5cm$

مجموع الشعاعين: $4 + 4 =8cm$

الفرق بين الشعاعين: $|2 - 2| = 0cm$

بما أن $0 < OO' < 8$:

الدائرتان متقاطعتان
السؤال 3:

بما أن $(C')$ مناظرة $(C)$ بالنسبة لـ $I$:

نقطتا التقاطع $A$ و $B$ تنتميان إلى كلتا الدائرتين

التناظر المركزي يحافظ على نقاط التقاطع:

$A$ و $B$ مناظرتان بالنسبة إلى $I$

السؤال 4:

من السؤال 3: $A$ و $B$ مناظرتان بالنسبة لـ $I$

و $O$ و $O'$ مناظرتان بالنسبة لـ $I$

مناظر مستقيم هو مستقيم مواز له:

$(O'B) \parallel (OA)$
السؤال 5:

المستقيم $(AO')$ يقطع $(C')$ في نقطة ثانية $M$

$M'$ مناظرة $M$ بالنسبة لـ $I$

باستخدام خصائص التناظر المركزي والدوائر:

المستقيم $(AO')$ مناظر المستقيم $(BO)$ بالنسبة لـ $I$

إذن $M'$ تنتمي إلى المستقيم $(BO)$ والدائرة $(C)$

لذلك $B$ و $M'$ متطابقتان