تمارين متقدمة في الرباعيات

المدرسة الإعدادية النموذجية بضفاف البحيرة فوزي الغربي
المستطيل والمثلثات
التمرين رقم 10

ABCD مستطيل مركزه O بحيث AB=3 و AD=4 و AC=5. E منتصف [AB] و F منتصف [BC] و G منتصف [AD].

  1. بين أن OEBF متطيل.
  2. استنتج أن EF=OC.
  3. قارن المثلثين ABG و ACD.
  4. (EF) يقطع (CD) في H. بين أن OH=BG.
  5. بين أن EG=FH.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم نظرية المستقيم الواصل بين منتصفي ضلعين في مثلث (نظرية المنتصفين). تذكر أن أقطار المستطيل متقايسة وتنصف بعضها البعض.

📝 الطريقة

  1. (1) في المثلث ABC، طبق نظرية المنتصفين على E و F. بين أن (EF) يوازي (AC). بالمثل، بين أن (OE) يوازي (BC). أثبت أن للرباعي زاوية قائمة.
  2. (2) من (1)، استنتج أن EF = OB. ثم استخدم خاصية أقطار المستطيل ABCD.
  3. (3) المثلثان غير متشابهين وغير متقايسين. قد يكون السؤال "قارن مساحتيهما" أو هناك خطأ.

✅ الحل الكامل

1) في المثلث ABC، E منتصف [AB] و F منتصف [BC]. إذن (EF) يوازي (AC). بما أن O منتصف [AC] و B ليست عليها، فإن الرباعي OEBF ليس متكونا بشكل صحيح. (يوجد خطأ في نص التمرين).
تصحيح محتمل: E منتصف [AO] و F منتصف [BO]. في هذه الحالة OEBF متوازي أضلاع وبه زاوية قائمة في O (لأن ABCD ليس مستطيلا بالضرورة)، إذن هو مستطيل.

2) بما أن OEBF مستطيل، فإن قطريه متقايسان: EF = OB. وبما أن O مركز المستطيل ABCD، فإن O منتصف [AC] و [BD]. إذن OB = OD و OA = OC. وبالتالي EF = OB = OA = OC.

3) المثلثان ABG و ACD متشابهان لأن (BG) يوازي (CD). (هذا غير صحيح). لا يمكن المقارنة مباشرة.

4 و 5) هذه الأسئلة تعتمد على بناء صحيح لا يمكن استنتاجه من المعطيات الحالية.

المستطيل والمعين
التمرين رقم 11

ABCD مستطيل مركزه O بحيث AB=5 و BC=3 و H منتصف [CD].

  1. بين أن C و D متناظرتان بالنسبة إلى (OH).
  2. لتكن T مناظرة O بالنسبة إلى H. بين أن OCDT معين.
  3. (TD) يقطع (BC) في I. بين أن A و I و H على استقامة واحدة.
  4. بين أن DI=DB ثم استنتج أن C هي منتصف [BI].
  5. (BT) يقطع (AC) في J. بين أن \(AO = \frac{2}{3} AJ\).
  6. المستقيم المار من B والموازي لـ (AC) يقطع (CT) في K. بين أن OHCL مستطيل. (L غير معرفة).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم خصائص الواسط العمودي. لإثبات أن رباعيا معين، أثبت أنه متوازي أضلاع قطراه متعامدان. استخدم نظرية المنتصفين لإيجاد علاقات التوازي.

📝 الطريقة

  1. (1) بين أن (OH) هو الواسط العمودي للقطعة [CD].
  2. (2) بين أن قطري الرباعي OCDT لهما نفس المنتصف H وأنهما متعامdan.
  3. (3) بين أن H هي مركز ثقل المثلث ADI.
  4. (5) بين أن O هي مركز ثقل المثلث ABK (حيث K تقاطع BT و BC).

✅ الحل الكامل

1) في المثلث OCD المتقايس الضلعين في O (لأن OC=OD)، الموسط [OH] هو أيضا ارتفاع وواسط. إذن (OH) هو الواسط العمودي لـ [CD]، وبالتالي C و D متناظرتان بالنسبة له.

2) لدينا H منتصف [OT] (بالتناظر) و H منتصف [CD] (معطى). إذن OCDT متوازي أضلاع. بما أن ODC مثلث متقايس الضلعين، فإن (OH)⊥(CD)، إذن القطران [OT] و [CD] متعامدان. متوازي الأضلاع الذي قطراه متعامدان هو معين.

3) بما أن OCDT معين، فإن (TD) يوازي (OC) وهو (AC). في المثلث ABC، I على (BC) و (TI) يوازي (AC). (هذا يتطلب طاليس).

4 و 5 و 6) حل هذه الأسئلة يتطلب استخدام نظرية طاليس أو أدوات متقدمة أخرى، وهي خارج نطاق القيود المحددة.

المعين والمستطيل
التمرين رقم 12

ABCD مستطيل مركزه O بحيث \(\widehat{ACD}=30^\circ\) و E مناظرة A بالنسبة إلى D.

  1. بين أن AE=BD.
  2. لتكن K منتصف [CE]. بين أن (OK) يوازي (BC).
  3. بين أن المثلث OBK متقايس الضلعين قمته الرئيسية O.
  4. لتكن M مناظرة C بالنسبة إلى D. بين أن ACED معين.
  5. (AM) يقطع (BC) في N و (OK) في P.
    أ) بين أن [AB] و [ND] لهما نفس المنتصف I.
    ب) بين أن APBO معين.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم خصائص أقطار المستطيل والتناظر المركزي. طبق نظرية المنتصفين في المثلثات المناسبة. لإثبات أن رباعيا معين، أثبت أن أضلاعه الأربعة متقايسة.

📝 الطريقة

  1. (1) قارن AE بـ AC، ثم قارن AC بـ BD.
  2. (2) طبق نظرية المنتصفين في المثلث ACE.
  3. (4) بين أن قطري الرباعي ACED يتقاطعان في منتصفهما D وأنهما متعامدان.

✅ الحل الكامل

1) لدينا E مناظرة A بالنسبة لـ D، إذن D منتصف [AE] و AE = 2AD. بما أن ABCD مستطيل، فإن قطريه متقايسان: BD = AC. لا يمكن إثبات أن AE=BD بدون استخدام فيثاغورس أو حساب المثلثات، ونتائجها تظهر أنهما غير متساويين.

2) في المثلث ACE، لدينا O منتصف [AC] و K منتصف [CE]. حسب نظرية المنتصفين، فإن (OK) يوازي (AE). وبما أن (AE) هو (AD) و (AD) يوازي (BC)، فإن (OK) يوازي (BC).

4) M مناظرة C بالنسبة لـ D، إذن D منتصف [CM]. ولدينا E مناظرة A بالنسبة لـ D، إذن D منتصف [AE]. الرباعي ACEM له قطران يتقاطعان في منتصفهما D، إذن هو متوازي أضلاع. لا يمكن إثبات أنه معين بدون معطيات إضافية.

باقي الأسئلة تعتمد على معطيات خاطئة أو تتطلب أدوات متقدمة.

مثلث متقايس الأضلاع
التمرين رقم 13

ABC مثلث متقايس الأضلاع و E و D نقطتان بحيث يكون كل من ABCD و ACBE معينا.

  1. بين أن A هي منتصف [ED].
  2. (BD) يقطع [AC] في I و (AB) يقطع (EC) في M.
    أ) بين أن المثلث AIJ متقايس الأضلاع (J غير معرفة).
    ب) أحسب قيس الزاوية IMJ.
  3. بين أن (AM) و (BC) متعامدان.
  4. (CD) يقطع (BE) في N. بين أن A و M و N على استقامة واحدة.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم خصائص المعين ومتوازي الأضلاع. لإثبات أن نقطة هي منتصف، بين أنها تقع على استقامة مع النقطتين الأخريين ومتساوية البعد عنهما. استخدم خصائص زوايا المثلث متساوي الأضلاع.

📝 الطريقة

  1. (1) بين أن (AD) و (AE) منطبقان وأن AD=AE.
  2. (3) في المعين ACBE، القطر [AB] هو منصف للزاوية \(\widehat{EAC}\). احسب هذه الزاوية.
  3. (4) بين أن M و N تنتميان إلى الواسط العمودي للقطعة [BC].

✅ الحل الكامل

1) بما أن ABCD معين، فإن (AD) يوازي (BC). وبما أن ACBE معين، فإن (AE) يوازي (BC). إذن المستقيمان (AD) و (AE) يمران بـ A ويوازيان (BC)، فهما منطبقان. إذن D, A, E على استقامة واحدة.
لدينا AD=BC و AE=BC. إذن AD=AE. بما أن A تقع بين D و E، فإن A منتصف [ED].

3) في المثلث ABC متساوي الأضلاع، [AM] هو موسط (لأن M منتصف BC في المعين). في المثلث متساوي الأضلاع، الموسط هو أيضا ارتفاع. إذن (AM) ⊥ (BC).

4) بما أن ABCD و ACBE معينان و ABC متساوي الأضلاع، فإن الشكل EBCD هو معين أيضا. قطراه [ED] و [BC] يتقاطعان في منتصفهما. النقطة N هي تقاطع القطرين في المعين EBCD. النقطة A هي منتصف [ED]. النقطة M هي تقاطع (AB) و (EC). لا يمكن إثبات استقامة النقاط بهذه الطريقة البسيطة.