متوازي الأضلاع - 8 دليل القوةي

المدرسة الإعدادية النموذجية بضفاف البحيرة فوزي الغربي
التوازي والتعامد
التمرين 1

ABC مثلث و [AH] ارتفاعه الصادر من A. المستقيم الموازي لـ (AB) والمار من C والمستقيم العمودي على (AH) والمار من A يتقاطعان في D.

ما هي طبيعة الرباعي ABCD؟ علل جوابك.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم خصائص المستقيمات المتوازية والمتعامدة. لإثبات أن رباعيا هو متوازي أضلاع، أثبت أن كل ضلعين متقابلين متوازيان.

📝 الطريقة

  1. لديك من المعطيات أن (CD) يوازي (AB).
  2. استخدم تعريف الارتفاع [AH] وعلاقة التعامد المعطاة لإثبات أن (AD) يوازي (BC).
  3. استنتج طبيعة الرباعي ABCD.

✅ الحل الكامل

لدينا (CD) يوازي (AB) (معطى).
بما أن [AH] ارتفاع، فإن (AH) ⊥ (BC).
ولدينا (AD) ⊥ (AH) (معطى).
بما أن المستقيمين (AD) و (BC) عموديان على نفس المستقيم (AH)، فإنهما متوازيان. إذن (AD) يوازي (BC).
في الرباعي ABCD، كل ضلعين متقابلين متوازيان، إذن هو متوازي أضلاع.

إنشاءات متتالية
التمرين 2

ABCD متوازي أضلاع. المستقيم المار من C والموازي للمستقيم (BD) يقطع (AB) في E و (AD) في F.

  1. بين أن BECD متوازي أضلاع.
  2. بين أن BCFD هو متوازي أضلاع.
  3. قارن بين CE و BD من جهة وبين CF و BD من جهة أخرى.
  4. ماذا تمثل النقطة C بالنسبة للقطعة [EF]؟
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم تعريف متوازي الأضلاع وخصائص أضلاعه المتقابلة. لإثبات أن C منتصف [EF]، أثبت أن CE = CF وأن النقاط على استقامة واحدة.

📝 الطريقة

  1. (1) لديك (EC) يوازي (BD). بين أن (BE) يوازي (CD).
  2. (2) لديك (FC) يوازي (BD). بين أن (BC) يوازي (FD).
  3. (3) استخدم خاصية تساوي الأضلاع المتقابلة في متوازيات الأضلاع التي أثبتها.
  4. (4) قارن CE و CF واستنتج موقع C.

✅ الحل الكامل

1) لدينا (EC) يوازي (BD) (معطى). وبما أن ABCD متوازي أضلاع، فإن (AB) يوازي (DC). وبما أن E على (AB)، فإن (BE) يوازي (DC). إذن BECD متوازي أضلاع.

2) لدينا (FC) يوازي (BD) (معطى). وبما أن ABCD متوازي أضلاع، فإن (AD) يوازي (BC). وبما أن F على (AD)، فإن (FD) يوازي (BC). إذن BCFD متوازي أضلاع.

3) بما أن BECD متوازي أضلاع، فإن CE = BD. وبما أن BCFD متوازي أضلاع، فإن CF = BD.

4) من السؤال السابق نستنتج أن CE = CF. وبما أن النقاط E, C, F تقع على نفس المستقيم (المار من C والموازي لـ BD)، فإن C منتصف [EF].

بناء متوازي أضلاع
التمرين 3

أرسم مثلثا ABC ثم ارسم مستقيما يمر من B ويوازي (AC) ومستقيما آخر يمر من C ويوازي (AB). هذان المستقيمان يتقاطعان في D. هل لك أن تتعرف على منتصف [BC] باستعمال مسطرة غير مدرجة فقط؟

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

أولاً، ما هي طبيعة الرباعي ABDC الذي أنشأته؟ فكر في خصائص أقطار هذا الرباعي.

📝 الطريقة

  1. بين أن الرباعي ABDC هو متوازي أضلاع.
  2. ارسم قطري هذا المتوازي الأضلاع، وهما [AD] و [BC].
  3. استخدم خاصية تقاطع الأقطار لتحديد منتصف [BC].

✅ الحل الكامل

1) طبيعة الرباعي:
لدينا (BD) يوازي (AC) (معطى). ولدينا (CD) يوازي (AB) (معطى). إذن الرباعي ABDC متوازي أضلاع لأن كل ضلعين متقابلين فيه متوازيان.

2) طريقة إيجاد المنتصف:
في متوازي الأضلاع ABDC، القطران [AD] و [BC] يتقاطعان في منتصفهما. إذن، يكفي أن نرسم بالمسطرة غير المدرجة القطر [AD]. نقطة تقاطع [AD] مع [BC] هي منتصف القطعة [BC].

بناء متوازي أضلاع (2)
التمرين 4

نعتبر قطعة مستقيم [AB] ونقطة O لا تنتمي للمستقيم (AB). ابن متوازي أضلاع ABCD بحيث يكون [AB] أحد أضلاعه و O نقطة تقاطع قطريه معللا طريقة البناء.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

بما أن O هي نقطة تقاطع القطرين، فهي مركز متوازي الأضلاع. استخدم خصائص التناظر المركزي لبناء الرؤوس المتبقية.

📝 الطريقة

  1. O ستكون منتصف القطرين [AC] و [BD].
  2. بما أن لديك A و B و O، يمكنك بناء مماثلتيهما بالنسبة لـ O.
  3. ابن C مماثلة A بالنسبة لـ O.
  4. ابن D مماثلة B بالنسبة لـ O.
  5. الرباعي ABCD المحصل هو متوازي الأضلاع المطلوب.

✅ الحل الكامل

بما أن O هي نقطة تقاطع قطري متوازي الأضلاع ABCD، فإن O هي مركز تناظر له، وهي منتصف القطرين [AC] و [BD].
طريقة البناء:
1. بما أن O منتصف [AC]، فإن C هي مماثلة A بالنسبة للنقطة O. ننشئ النقطة C.
2. بما أن O منتصف [BD]، فإن D هي مماثلة B بالنسبة للنقطة O. ننشئ النقطة D.
التعليل: في الرباعي ABCD، القطران [AC] و [BD] يتقاطعان في منتصفهما O، إذن هو متوازي أضلاع.

شكل مركب
التمرين 5

نعتبر متوازي أضلاع ABCD و ABEF حيث E لا تنتمي إلى (CD).

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

هذا التمرين لا يحتوي على سؤال، بل يصف وضعية. السؤال المحتمل هو إثبات أن الرباعي EFCD متوازي أضلاع. للقيام بذلك، قارن الضلعين [EF] و [DC].

📝 الطريقة

  1. من متوازي الأضلاع ABCD، استنتج علاقة توازٍ وتساوٍ بين (DC) و (AB).
  2. من متوازي الأضلاع ABEF، استنتج علاقة توازٍ وتساوٍ بين (EF) و (AB).
  3. قارن بين (DC) و (EF) واستنتج طبيعة الرباعي EFCD.

✅ الحل الكامل

بافتراض أن السؤال هو "بين أن EFCD متوازي أضلاع":

بما أن ABCD متوازي أضلاع، فإن (DC) يوازي (AB) و DC = AB.
بما أن ABEF متوازي أضلاع، فإن (EF) يوازي (AB) و EF = AB.
نستنتج أن (DC) يوازي (EF) (لأنهما يوازيان نفس المستقيم)، وأن DC = EF (لأنهما يساويان نفس الطول).
الرباعي EFCD له ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان، إذن هو متوازي أضلاع.