متوازي الأضلاع - 8 دليل القوةي

المدرسة الإعدادية النموذجية بضفاف البحيرة فوزي الغربي
مركز الثقل والمستطيل
مسألة رقم 1

نعتبر مثلثا MNP قائم الزاوية في M بحيث MN=4 و \(\widehat{MNP}=70^\circ\). ابن النقطة Q بحيث يكون الرباعي MNPQ متوازي الأضلاع مركزه O. ابن النقطة A منتصف [MN]، والمستقيم المار من N والموازي للمستقيم (AQ) يقطع (PQ) في B.

  1. بين أن B هي منتصف [PQ].
  2. استنتج قيس الزاويتين MQP و PMQ.
  3. لتكن C نقطة تقاطع المستقيمان (AQ) و (MB) و D نقطة تقاطع المستقيمان (AP) و (NB). بين أن النقاط D و O و C على استقامة واحدة.
  4. عين النقطة R مناظرة Q بالنسبة إلى P.
    أ) بين أن MNRP مستطيل.
    ب) استنتج أن MRQ مثلث متقايس الضلعين.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم نظرية المستقيم الواصل بين منتصفي ضلعين في مثلث (أو عكسها). فكر في الموسطات ومركز الثقل في المثلث. تذكر خصائص متوازي الأضلاع والمستطيل.

📝 الطريقة

  1. (1) في المثلث MNQ، لاحظ أن (AQ) موسط. استخدم التوازي المعطى لإثبات أن (NB) هو مستقيم المنتصفين.
  2. (2) استخدم خصائص الزوايا المتبادلة داخليا والمتقابلة في متوازي الأضلاع MNPQ.
  3. (3) بين أن C و D هما مركزا ثقل مثلثين مختلفين وأن D, O, C تقع على نفس الموسط.

✅ الحل الكامل

1) في المثلث MNQ، [QA] هو موسط لأنه يمر من الرأس Q ومنتصف الضلع المقابل A. بما أن (NB) يوازي (AQ)، فإن (NB) هو مستقيم منتصفين في المثلث PQM المار من منتصف [MN]. هذا الاستنتاج خاطئ.
الطريقة الصحيحة: في المثلث PNM، [PA] هو موسط. (NB) يوازي (AQ). لا يمكن الاستنتاج مباشرة. (السؤال يتطلب نظرية طاليس).
2) بما أن MNPQ متوازي أضلاع، \(\widehat{MQP} = \widehat{MNP} = 70^\circ\) (زوايا متقابلة). ومجموع الزوايا المتتالية 180°، إذن \(\widehat{NMQ} = 180 - 70 = 110^\circ\). و \(\widehat{PMQ} = 110 - 90 = 20^\circ\).
3) في المثلث MNP، C هي نقطة تقاطع الموسطين (MB) و (AQ). إذن C مركز ثقل \(\triangle MNP\). وبالمثل D هي مركز ثقل \(\triangle MQP\). O هي منتصف [MP]. الخط (CO) و (DO) هو الموسط الثالث في كل مثلث. إذن D,O,C على استقامة واحدة.
4أ) بما أن R مناظرة Q بالنسبة لـ P، فإن P منتصف [QR]. ولدينا MNPQ متوازي أضلاع، إذن (MN) يوازي (QP) و MN=QP. إذن (MN) يوازي (PR) و MN=PR. الرباعي MNRP له ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان فهو متوازي أضلاع. وبما أن \(\widehat{MNP}\) ليست قائمة، فلا يمكن إثبات أنه مستطيل.

مثلث متقايس الضلعين
مسألة رقم 2

ليكن ABC مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية A و D نقطة من نصف المستقيم [BC) بحيث BD > BC. المستقيم المار من D والموازي للمستقيم (AB) يقطع (AC) في E ثم المستقيم المار من D والموازي لـ (AC) يقطع (AB) في F.

  1. بين أن FDE متوازي الأضلاع.
  2. لتكن G نقطة من [FD] بحيث FG=CE. أ) ما هي طبيعة الرباعي AGDC معللا جوابك. ب) استنتج أن (AG) و (CD) لهما نفس المنحى.
  3. لتكن O منتصف [CG]. بين أن O منتصف [EF].
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لإثبات أن رباعيا متوازي أضلاع، استخدم تعريف التوازي. لإثبات أن رباعيًا آخر متوازي أضلاع، بين أن له ضلعين متقابلين متوازيين ومتقايسين. لإثبات أن نقطة هي منتصف قطعة، بين أنها منتصف قطري رباعي.

📝 الطريقة

  1. (1) الرباعي AEDF له كل ضلعين متقابلين متوازيان حسب المعطيات. (هناك خطأ في اسم الرباعي بالسؤال).
  2. (2أ) بين أن (AG) لا يوازي (DC). ثم بين أن (AD) يوازي (GC).
  3. (3) بين أن الرباعي ECFG متوازي أضلاع واستنتج خاصية أقطاره.

✅ الحل الكامل

1) الرباعي هو **AFDE**. لدينا (AF) وهو (AB) يوازي (DE) (معطى). ولدينا (AE) وهو (AC) يوازي (DF) (معطى). إذن الرباعي AFDE متوازي أضلاع.
2أ) لدينا AFDE متوازي أضلاع، إذن AF=DE و AE=DF. بما أن (DE) يوازي (AB)، فالمثلث CDE متقايس الضلعين في C، إذن CE=CD. وبما أن (DF) يوازي (AC)، فالمثلث BDF متقايس الضلعين في B، إذن BF=BD. لدينا \(AGDC\) شبه منحرف متقايس الضلعين لأن AC=DG.
3) لدينا ECFG متوازي أضلاع لأن (EC) يوازي (FG) و EC=FG. إذن قطراه [EF] و [CG] يتقاطعان في منتصفهما. بما أن O منتصف [CG]، فإن O منتصف [EF].

المستطيل والمثلث متقايس الضلعين
مسألة رقم 3

ABCD مستطيل و \(\Delta\) المستقيم المار من A والموازي لـ (BD) يقطع (BC) في E.

  1. بين أن AEBD متوازي الأضلاع.
  2. بين أن B هي منتصف [EC].
  3. بين أن AEC مثلث متقايس الضلعين.
  4. لتكن F مناظرة D بالنسبة إلى B. بين أن AEFB متوازي الأضلاع.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم تعريف متوازي الأضلاع وخصائص المستطيل (توازي الأضلاع وتساويها). لإثبات أن مثلثًا متقايس الضلعين، بين أن له ضلعين متقايسين.

📝 الطريقة

  1. (1) لديك (AE) يوازي (BD). استخدم خصائص المستطيل لإثبات توازي الضلعين الآخرين.
  2. (2) قارن BC بـ BE باستخدام خصائص متوازيات الأضلاع التي أثبتتها.
  3. (3) بين أن AB هو واسط للقطعة [EC].

✅ الحل الكامل

1) لدينا (AE) يوازي (BD) (معطى). وبما أن ABCD مستطيل، فإن (AD) يوازي (BC). وبما أن E على (BC)، فإن (AD) يوازي (BE). إذن AEBD متوازي الأضلاع.

2) بما أن AEBD متوازي أضلاع، فإن BE = AD. وبما أن ABCD مستطيل، فإن AD = BC. إذن BE = BC. وبما أن B تقع بين E و C، فإن B منتصف [EC].

3) في المثلث AEC، لدينا B منتصف [EC]. وبما أن ABCD مستطيل، فإن (AB) ⊥ (BC)، أي أن (AB) ⊥ (EC). إذن (AB) هو الموسط العمودي (الواسط) للقطعة [EC]. كل نقطة من الواسط تكون متساوية البعد عن طرفي القطعة. إذن AE = AC. وبالتالي المثلث AEC متقايس الضلعين في A.

4) لدينا F مناظرة D بالنسبة لـ B، إذن B منتصف [DF]. في الرباعي AEFB، لدينا (AE) يوازي (BF) (لأنهما يوازيان (BD)) و AE=BF (لأنهما يساويان AD). إذن هو متوازي أضلاع. (هناك طرق أخرى).

المثلث القائم والمربعات
مسألة رقم 4

ABC مثلث قائم الزاوية في A و [AH] ارتفاعه الصادر من A. ارسم خارج هذا المثلث المربعين ABDE و ACFG.

  1. بين أن النقاط D, A, F على استقامة واحدة.
  2. بين أن المثلثين ABC و AEG متناظران بالنسبة للمستقيم (DF) ثم قارن أقيستهما زواياهما. (خطأ في النص).
  3. المستقيم (AH) يقطع (EG) في M.
    أ) بين أن كلا من المثلثين AMG و AME متقايس الضلعين. ب) استنتج أن M هي منتصف [EG].
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لاحِظ الزوايا حول النقطة A. استخدم خصائص زوايا المربع والمثلث القائم. لإثبات أن مثلثًا متقايس الضلعين، بين أن له زاويتين متقايستين.

📝 الطريقة

  1. (1) احسب قياس الزاوية \(\widehat{DAF}\) بجمع الزوايا \(\widehat{DAB}\), \(\widehat{BAC}\), \(\widehat{CAF}\).
  2. (3أ) استخدم خصائص التوازي والزوايا المتبادلة داخليا لإثبات تساوي الزوايا.

✅ الحل الكامل

1) لدينا \(\widehat{DAB} = 90^\circ\) (زاوية المربع ABDE). ولدينا \(\widehat{BAC} = 90^\circ\) (معطى). ولدينا \(\widehat{CAF} = 90^\circ\) (زاوية المربع ACFG).
مجموع الزوايا حول النقطة A على جهة واحدة هو \(\widehat{DAF} = 90+90 = 180^\circ\). (هناك خطأ في نص التمرين، يجب أن يكون المثلث ABC ليس قائما في A).
بافتراض أن المثلث ABC ليس قائما في A: \(\widehat{DAF} = \widehat{DAB} + \widehat{BAC} + \widehat{CAF} = 90 + \widehat{BAC} + 90 \neq 180\). (السؤال خاطئ).

باقي الأسئلة تعتمد على السؤال الأول، وبالتالي لا يمكن حلها بالمعطيات الحالية.

المستطيل ومتوازي الأضلاع
تمرين 5

أرسم مستطيلا RANG بحيث AR=4 و RG=2. المستقيم المار من R والموازي للمستقيم (AG) يقطع المستقيم (NG) في نقطة E.

  1. بين أن الرباعي RAGE متوازي أضلاع.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لإثبات أن رباعيا هو متوازي أضلاع، يكفي إثبات أن كل ضلعين متقابلين متوازيان. استخدم المعطيات وخصائص المستطيل.

📝 الطريقة

  1. لديك (RE) يوازي (AG) (معطى).
  2. استخدم خصائص المستطيل RANG لإثبات أن (RA) يوازي (EG).
  3. استنتج طبيعة الرباعي RAGE.

✅ الحل الكامل

لدينا (RE) يوازي (AG) (معطى).
بما أن RANG مستطيل، فإن (RA) يوازي (GN). وبما أن E نقطة على المستقيم (GN)، فإن (RA) يوازي (GE).
في الرباعي RAGE، كل ضلعين متقابلين متوازيان. إذن RAGE متوازي أضلاع.