تمارين تفاعلية: رباعيات الأضلاع

✅ الحل الكامل

1)

• أ. نبين أن BHDK مستطيل:
  لدينا \(ABCD\) معين، إذن \((AD) // (BC)\).
  ولدينا \([BH]\) هو الارتفاع الصادر من \(B\) في المثلث \(ABD\)، إذن \((BH) \perp (AD)\).
  بما أن \((AD) // (BC)\) و \((BH) \perp (AD)\)، فإن \((BH) \perp (BC)\).
  ولدينا \(K\) هي المسقط العمودي لـ \(D\) على \((BC)\)، إذن \((DK) \perp (BC)\).
  من \((BH) \perp (BC)\) و \((DK) \perp (BC)\) نستنتج أن \((BH) // (DK)\). (1)
  بما أن \(H \in (AD)\) و \(K \in (BC)\) و \((AD) // (BC)\)، فإن \((HD) // (BK)\). (2)
  من (1) و (2) نستنتج أن \(BHDK\) متوازي أضلاع.
  ولدينا \((BH) \perp (AD)\)، إذن \(\angle BHD = 90^\circ\).
  إذن \(BHDK\) هو **مستطيل** لأنه متوازي أضلاع له زاوية قائمة.
• ب. نحسب HK:
  بما أن \(BHDK\) مستطيل، فإن قطريه متقايسان، أي \(HK = BD\). ولدينا \(BD = 6\)، إذن \(HK = 6\).

2) طبيعة الرباعي ACDE:
لدينا \(E\) هي مناظرة \(B\) بالنسبة إلى \(A\)، إذن \(A\) منتصف \([BE]\)، وهذا يعني أن \(AE = AB\) والنقاط \(E, A, B\) على استقامة واحدة.
في الرباعي \(ACDE\):

• لدينا \(CD = AB\) (لأن \(ABCD\) معين) و \(AE = AB\)، إذن \(CD = AE\).
• لدينا \((CD) // (AB)\) (لأن \(ABCD\) معين). وبما أن النقاط \(E, A, B\) على استقامة، فإن المستقيم \((AB)\) يوازي المستقيم \((AE)\). إذن \((CD) // (AE)\).

الرباعي \(ACDE\) له ضلعان متقابلان \([CD]\) و \([AE]\) متقايسان وحاملاهما متوازيان، إذن \(ACDE\) **متوازي أضلاع**.

3) نبين أن BIDF معين:
لنقارن المثلثين \(OBI\) و \(ODF\):

• \(O\) هو مركز المعين \(ABCD\)، إذن هو منتصف القطر \([BD]\). ومنه \(OB = OD\).
• لدينا \((BH) // (DK)\)، والنقطة \(I \in (BH)\) و \(F \in (DK)\)، إذن \((BI) // (DF)\). والمستقيم \((BD)\) قاطع لهما، إذن \(\angle OBI = \angle ODF\) (زاويتان متبادلتان داخليًا).
• الزاويتان \(\angle BOI\) و \(\angle DOF\) متقابلتان بالرأس، إذن \(\angle BOI = \angle DOF\).

إذن المثلثان \(OBI\) و \(ODF\) متقايسان (حسب حالة التقايس زاوية-ضلع-زاوية).
ينتج عن التقايس أن \(OI = OF\). وبما أن \(I, O, F\) تنتمي إلى المستقيم \((AC)\)، فإن \(O\) هي منتصف \([IF]\).
في الرباعي \(BIDF\)، قطراه \([BD]\) و \([IF]\) يتقاطعان في منتصفهما المشترك \(O\)، إذن \(BIDF\) متوازي أضلاع.
بما أن \(ABCD\) معين، فإن قطريه متعامدان، أي \((AC) \perp (BD)\).
وبما أن \((IF)\) محتوى في \((AC)\)، فإن \((IF) \perp (BD)\).
إذن \(BIDF\) هو متوازي أضلاع قطراه متعامدان، فهو **معين**.

✅ الحل الكامل

1) أ. نبين أن المثلثين \(ABC\) و \(ABE\) متقايسان:

• بما أن \(C\) المسقط العمودي لـ \(B\) على \((Ax)\)، فإن المثلث \(ABC\) قائم في \(C\).
• بما أن \(E\) المسقط العمودي لـ \(B\) على \((Ay)\)، فإن المثلث \(ABE\) قائم في \(E\).
• للمثلثين القائمين \(ABC\) و \(ABE\):
  • لهما وتر مشترك \([AB]\).
  • لدينا \([Az)\) منصف \(\angle xAy\)، إذن \(\angle CAB = \angle EAB = 60^\circ / 2 = 30^\circ\).
• إذن المثلثان \(ABC\) و \(ABE\) متقايسان (حالة تقايس مثلثين قائمين بوتر وزاوية حادة).

1) ب. نستنتج أن \(BC = BE\):

• من تقايس المثلثين \(ABC\) و \(ABE\)، نستنتج أن أضلاعهما المتناظرة متقايسة، ومنه \(BC = BE\).

2) أ. نبين أن المثلث \(BDE\) متقايس الأضلاع:

• في المثلث \(ABE\) القائم في \(E\)، \(D\) هي منتصف الوتر \([AB]\). إذن الموسط \([DE]\) يساوي نصف طول الوتر: \(DE = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4\).
• لدينا \(D\) منتصف \([AB]\)، إذن \(DB = \frac{AB}{2} = 4\).
• في المثلث القائم \(ABE\)، \(\angle EAB = 30^\circ\). إذن الضلع المقابل لهذه الزاوية يساوي نصف الوتر: \(BE = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4\).
• بما أن \(BD = DE = BE = 4\)، فإن المثلث \(BDE\) **متقايس الأضلاع**.

2) ب. نستنتج أن الرباعي \(BCDE\) معين:

• في المثلث \(ABC\) القائم في \(C\)، \(D\) هي منتصف الوتر \([AB]\)، إذن الموسط \(CD = \frac{AB}{2} = 4\).
• من الأسئلة السابقة، لدينا: \(BC = BE = 4\)، \(DE = 4\)، و \(CD = 4\).
• بما أن جميع أضلاع الرباعي \(BCDE\) متقايسة (\(BC=CD=DE=EB=4\))، فإن \(BCDE\) **معين**.

3) أ. نبين أن \(BCAF\) مستطيل:

• لدينا \(D\) منتصف \([AB]\) (معطى) و \(D\) منتصف \([CF]\) (لأن \(F\) مناظرة \(C\) بالنسبة لـ \(D\)).
• إذن قطرا الرباعي \(BCAF\) يتقاطعان في منتصفهما، فهو متوازي أضلاع.
• بما أن المثلث \(ABC\) قائم في \(C\)، فإن \(\angle BCA = 90^\circ\).
• متوازي الأضلاع الذي له زاوية قائمة هو **مستطيل**.

3) ب. نبين أن الرباعي \(BDFE\) معين ثم نحسب محيطه:

• لدينا \(BD=4\), \(BE=4\), \(DE=4\) (من السؤال 2.أ).
• بما أن \(BCAF\) مستطيل، فإن قطريه متقايسان: \(CF = AB = 8\).
• بما أن \(D\) منتصف \([CF]\)، فإن \(DF = \frac{CF}{2} = \frac{8}{2} = 4\).
• إذن أضلاع الرباعي \(BDFE\) كلها متقايسة: \(BD = DF = FE = EB = 4\).
• إذن \(BDFE\) **معين**.
• محيط المعين \(BDFE\) = \(4 \times DB = 4 \times 4 = 16\text{ cm}\).

✅ الحل الكامل

1) طبيعة الرباعي ABHD:

• لدينا \(H\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(E\)، إذن \(E\) منتصف \([AH]\).
• ولدينا \(E\) منتصف \([BD]\) (معطى).
• في الرباعي \(ABHD\)، قطراه \([AH]\) و \([BD]\) يتقاطعان في منتصفهما \(E\)، إذن \(ABHD\) **متوازي أضلاع**.

2) أ. طبيعة الرباعي ABDF:

• \(E\) منتصف \([BD]\) و \(BD=6\)، إذن \(EB=ED=3\).
• \(F\) مناظرة \(E\) بالنسبة إلى \(D\)، إذن \(D\) منتصف \([EF]\). ومنه \(ED=DF=3\).
• لدينا \(AB=3\) و \(DF=3\)، إذن \(AB=DF\).
• بما أن المثلث \(ABD\) قائم في \(B\), فإن \((AB) \perp (BD)\). وبما أن \(D,F\) على استقامة واحدة مع \(E\), فإن \((DF)\) محمول على نفس المستقيم. (هنا يوجد تناقض في المصدر). بافتراض أن \((AB) // (DF)\) و \(AB=DF\), يكون \(ABDF\) متوازي أضلاع. وبما أن \(\angle ABD = 90^\circ\), يكون **مستطيل**.

2) ب. استنتاج:

• بما أن \(ABHD\) متوازي أضلاع، فإن ضلعيه المتقابلين متقايسان، أي \(BH = AD\).

3) أ. طبيعة الرباعي EFGH:

• حسب نص الحل في المصدر: لدينا \(D\) منتصف \([GE]\) و \(D\) منتصف \([FH]\)، إذن \(GFHE\) متوازي أضلاع.
• \(EG = FH = 6\). و \((EG) \perp (FH)\). إذن \(EFGH\) **مربع**.

3) ب. إثبات أن AK = EG:

• في متوازي الأضلاع \(AKFH\)، لدينا \(AK=FH\). وبما أن \(EG=FH=6\)، فإن \(AK=EG=6\).

3) ج. حساب مساحة المثلث BFK: