ارسم مثلثا \(ACD\) متقايس الضلعين في \(A\) وعين النقطة \(K\) منتصف \([CD]\). لتكن النقطة \(B\) بحيث يكون الرباعي \(ABCD\) متوازي أضلاع.
تذكر خصائص متوازي الأضلاع: كل ضلعين متقابلين متوازيان ومتقايسان.
لإثبات أن رباعيا هو معين، يكفي إثبات أنه متوازي أضلاع له ضلعان متجاوران متقايسان.
في المثلث المتقايس الضلعين، الموسط الصادر من الرأس الرئيسي هو أيضا ارتفاع ومحور للقطعة المقابلة.
1.أ) لإثبات أن \(ABHD\) متوازي أضلاع:
2.أ) لإثبات أن \(ACRD\) معين:
1) الرباعي \(ABHD\):
أ) بما أن \(ABCD\) متوازي أضلاع، فإن \((AB) // (DC)\) أي \((AB) // (DH)\). ولدينا من المعطيات \((BH) // (AD)\). إذن الرباعي \(ABHD\) متوازي أضلاع لأن كل ضلعين متقابلين فيه متوازيان.
ب) لأن \(ABHD\) متوازي أضلاع، فإن \(AB = DH\). ولأن \(ABCD\) متوازي أضلاع، فإن \(AB = DC\). نستنتج أن \(DH = DC\). بما أن \(D\) تنتمي إلى القطعة المستقيمة \([CH]\)، فإن \(D\) هي منتصف \([CH]\).
2) الرباعي \(ACRD\):
أ) لدينا \(K\) منتصف \([CD]\) (معطى) و \(K\) منتصف \([AR]\) (لأن \(R\) مناظرة \(A\) بالنسبة لـ \(K\)). بما أن قطري الرباعي \(ACRD\) يتقاطعان في منتصفهما \(K\)، فهو متوازي أضلاع. في المثلث \(ACD\) المتقايس الضلعين في \(A\)، الموسط \([AK]\) عمودي على القاعدة \([CD]\). إذن قطرا متوازي الأضلاع \(ACRD\) متعامدان، وبالتالي \(ACRD\) هو معين.
ب) (هذا السؤال قد يحتوي على خطأ في النص الأصلي، لكن سنفترض أن المقصود هو إثبات علاقة أخرى). لإثبات أن \(D\) منتصف \([BR]\) نحتاج لبيان أن \(B, D, R\) على استقامة واحدة وأن \(BD=DR\). بما أن \(ACRD\) معين فإن \(\vec{DR} = \vec{AC}\). وبما أن \(ABCD\) متوازي أضلاع فإن \(\vec{AC} = \vec{DB}\) (وليس \(\vec{BD}\)). إذا كان \(ABCD\) مستطيلا، لكانت العلاقة صحيحة. بالمعطيات الحالية، لا يمكن استنتاج أن D منتصف [BR].
ج) بما أن \(ABCD\) متوازي أضلاع، \((AB) // (CD)\). وبما أن \((AK) \perp (CD)\) (من سؤال 2.أ)، فإن \((AK)\) يعامد كل مستقيم مواز لـ \((CD)\)، وبالتالي \((AK) \perp (AB)\).
ليكن متوازي أضلاع \(ABCD\) حيث \(AB=8\)، \(AD=4\) و \(\widehat{BAD} = 120^\circ\). عين \(O\) منتصف \([AB]\).
استخدم مبرهنة الكاشي (مبرهنة فيثاغورس المعممة) لحساب أطوال الأضلاع والأقطار في المثلثات.
مبرهنة الكاشي في مثلث \(ABC\): \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\hat{A})\).
لإثبات أن مثلثا قائم الزاوية، استخدم عكس مبرهنة فيثاغورس.
تذكر أن متوازي الأضلاع الذي به زاوية قائمة هو مستطيل.
1.أ) المثلث BCO:
1.ب) المثلث ABC:
2.أ) لإثبات أن \(ACBE\) مستطيل:
1.أ) المثلث BCO: لدينا \(O\) منتصف \([AB]\) إذن \(OB = 4\). ولدينا \(BC = AD = 4\) (من خصائص متوازي الأضلاع). إذن \(OB=BC=4\)، فالمثلث \(BCO\) متقايس الضلعين في \(B\).
1.ب) المثلث ABC: في متوازي الأضلاع، \(\widehat{ADC} = 180^\circ - \widehat{BAD} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). نطبق مبرهنة الكاشي في المثلث \(ADC\) لحساب القطر \(AC\): \(AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2(AD)(DC)\cos(60^\circ)\) \(AC^2 = 4^2 + 8^2 - 2(4)(8)(0.5) = 16 + 64 - 32 = 48\). الآن نتحقق من مبرهنة فيثاغورس في المثلث \(ABC\): هل \(AB^2 = AC^2 + BC^2\)? \(8^2 = 64\). \(AC^2 + BC^2 = 48 + 4^2 = 48 + 16 = 64\). بما أن \(AB^2 = AC^2 + BC^2\)، فإن المثلث \(ABC\) قائم الزاوية في \(C\).
2.أ) المستطيل ACBE: لدينا \((BE) // (AC)\) (معطى). لأن \(ABCD\) متوازي أضلاع، \((AD) // (BC)\)، وبما أن \(E\) على امتداد \((AD)\)، فإن \((AE) // (BC)\). إذن \(ACBE\) متوازي أضلاع (له زوجان من الأضلاع المتقابلة المتوازية). وبما أن له زاوية قائمة \(\widehat{BCA} = 90^\circ\)، فإن \(ACBE\) مستطيل.
2.ب) A منتصف [DE]: لأن \(ACBE\) مستطيل، فإن \(AE = BC = 4\). لدينا \(AD=4\) من المعطيات. إذن \(AD=AE=4\). بما أن \(A\) تقع بين \(D\) و \(E\) (لأن \(E\) على امتداد \((AD)\))، فإن \(A\) هي منتصف \([DE]\).
2.ج) مركز الثقل G: في المثلث \(EFD\): \([EC]\) هو موسط لأن \(A\) منتصف \([DE]\) و \((AC) // (EF)\) مما يجعل \(C\) منتصف \([DF]\) (طاليس). \([FA]\) هو موسط لأن \(A\) منتصف \([DE]\). إذن \(G\) هي نقطة تقاطع الموسطين \([EC]\) و \([FA]\)، فهي مركز ثقل المثلث \(EFD\).
3) المعين AICO: لدينا \(O\) منتصف \([AB]\) و \(I\) منتصف \([CD]\). في متوازي الأضلاع \(ABCD\)، \(\vec{AB} = \vec{DC}\). إذن \(\frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{DC}\) أي \(\vec{AO} = \vec{IC}\). الرباعي \(AICO\) له ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان (\(\vec{AO} = \vec{IC}\))، فهو متوازي أضلاع. لدينا \(AO = 4\). و \(AI\) يمكن حسابه في المثلث \(ADI\) القائم (لأن \(\widehat{DAI}=60\) و \(ADI\) متقايس الضلعين) فنجد \(AI \neq 4\). إذن، هناك خطأ في نص السؤال أو لا يمكن إثبات أنه معين. للتحقق: \(AC=\sqrt{48} \approx 6.9\). \(OI\) هو طول القطعة الواصلة بين منتصفي ضلعين غير متوازيين في شبه المنحرف \(ADCB\)، إذن \(OI = (AD+BC)/2\) غير صحيح. لنحسب \(AI\): في المثلث \(ADI\)، \(\widehat{ADI}=120\). \(AI^2 = 4^2+4^2-2(4)(4)\cos(120) = 16+16-32(-0.5) = 32+16=48\). لدينا \(AO=4\) و \(AI=\sqrt{48}\). الضلعان المتجاوران غير متقايسان. إذن \(AICO\) ليس معينا.
\(ABC\) مثلث قائم في \(B\) ولتكن \(O\) منتصف \([AC]\).
ماذا تعرف عن قطري متوازي الأضلاع؟ وماذا تعرف عن قطري المستطيل؟
تذكر أن التناظر المركزي يحافظ على المنتصفات.
لإثبات أن رباعيا هو مستطيل، يمكنك إثبات أنه متوازي أضلاع وبه زاوية قائمة.
1) لإثبات أن \(ABCD\) مستطيل:
1) إثبات أن ABCD مستطيل:
لدينا \(O\) منتصف القطر \([AC]\) (معطى).
ولدينا \(D\) هي مناظرة \(B\) بالنسبة إلى \(O\)، هذا يعني أن \(O\) هي منتصف القطر \([BD]\).
بما أن قطري الرباعي \(ABCD\) يتقاطعان في نفس المنتصف \(O\)، فإن \(ABCD\) متوازي أضلاع.
بالإضافة إلى ذلك، نعلم أن المثلث \(ABC\) قائم في \(B\)، أي أن الزاوية \(\widehat{ABC} = 90^\circ\).
بما أن متوازي الأضلاع \(ABCD\) يحتوي على زاوية قائمة، فإنه مستطيل.
طريقة ثانية:
بما أن المثلث \(ABC\) قائم في \(B\)، فإن الدائرة المحيطة به مركزها هو \(O\) منتصف الوتر \([AC]\).
إذن \(OA = OB = OC\).
بما أن \(O\) منتصف \([BD]\)، فإن \(OB=OD\).
نستنتج أن \(OA = OB = OC = OD\)، أي أن قطري متوازي الأضلاع \(ABCD\) متقايسان. إذن \(ABCD\) مستطيل.
2) إنشاء النقطة E:
هذا الجزء من السؤال يصف إنشاءً هندسيًا ولكنه لا يطرح سؤالاً لإثباته. نقوم برسم المستقيم المار من O والعمودي على (BD) والذي يقطع (AD) في E.