ليكن المثلثان \(ABC\) و \(ABE\) حيث \(AC=AE\) والمستقيم \((AB)\) هو منصف الزاوية \(\angle CAE\).
- 1)
- أ. بين أن المثلثين \(ABC\) و \(ABE\) متقايسان.
- ب. استنتج أن \(BC=BE\).
- 2) إذا علمت أن \(\angle ACB = 90^\circ\):
- أ. بين أن \(\angle AEB = 90^\circ\).
- ب. ما هي طبيعة الرباعي \(ACBE\)؟
- 3) إذا علمت أن \(\angle DBE = 60^\circ\) وأن \(D\) هي نقطة ما، بين أن المثلث \(BDE\) متقايس الأضلاع.
💡 مؤشر
لتقايس المثلثين: استخدم إحدى حالات تقايس المثلثات (ضلع-زاوية-ضلع). المستقيم المنصف للزاوية الرئيسية في مثلث متقايس الضلعين يلعب دورًا مهمًا.
لطبيعة الرباعي: انظر إلى أضلاعه المتجاورة. هل هو معين؟ هل هو طائرة ورقية؟
للمثلث المتقايس الأضلاع: يكفي إثبات أنه متقايس الضلعين وإحدى زواياه \(60^\circ\).
📝 الطريقة
1.أ) لإثبات تقايس المثلثين \(ABC\) و \(ABE\):
- ابحث عن ضلع مشترك.
- استخدم معطيات تساوي الأضلاع والزوايا لتطبيق الحالة الثانية للتقايس (ضلعان والزاوية المحصورة بينهما).
2.ب) لتحديد طبيعة الرباعي \(ACBE\):
- من تقايس المثلثين، استنتجنا تساوي أضلاع متجاورة.
- الرباعي الذي له كل ضلعين متجاورين متقايسين هو طائرة ورقية (deltoid).
3) لإثبات أن \(BDE\) متقايس الأضلاع:
- لدينا \(BD=BE\) من السؤال (1). هذا يعني أن المثلث \(BDE\) متقايس الضلعين.
- بما أن إحدى زواياه \(60^\circ\)، فهو متقايس الأضلاع.
✅ الحل الكامل
1) تقايس المثلثين:
- أ. نبين أن المثلثين \(ABC\) و \(ABE\) متقايسان:
لنقارن المثلثين \(ABC\) و \(ABE\):
- \([AB]\) ضلع مشترك.
- \(AC = AE\) (معطى).
- \(\angle CAB = \angle EAB\) (لأن \((AB)\) منصف الزاوية \(\angle CAE\)).
إذن المثلثان \(ABC\) و \(ABE\) متقايسان حسب الحالة الثانية لتقايس المثلثات (ضلع - زاوية - ضلع).
- ب. نستنتج أن \(BC = BE\):
بما أن المثلثين \(ABC\) و \(ABE\) متقايسان، فإن أضلاعهما المتناظرة متقايسة. إذن \(BC = BE\).
2) في حالة \(\angle ACB = 90^\circ\):
- أ. نبين أن \(\angle AEB = 90^\circ\):
من تقايس المثلثين \(ABC\) و \(ABE\)، نستنتج أن الزوايا المتناظرة متقايسة.
الزاوية \(\angle AEB\) تناظر الزاوية \(\angle ACB\).
إذن \(\angle AEB = \angle ACB = 90^\circ\).
- ب. طبيعة الرباعي \(ACBE\):
لدينا \(AC = AE\) (معطى) و \(BC = BE\) (من السؤال 1.ب).
الرباعي \(ACBE\) هو رباعي محدب فيه كل ضلعين متجاورين متقايسان. إذن \(ACBE\) هو **طائرة ورقية (deltoid)**.
3) نبين أن المثلث BDE متقايس الأضلاع:
(بافتراض أن النقطة D تحقق \(BD=BC\))
- لدينا \(BC = BE\) (من 1.ب). وبما أن \(BD = BC\)، فإن \(BD = BE\). إذن المثلث \(BDE\) متقايس الضلعين في \(B\).
- لدينا \(\angle DBE = 60^\circ\) (معطى).
- المثلث المتقايس الضلعين الذي إحدى زواياه تساوي \(60^\circ\) هو **مثلث متقايس الأضلاع**.