تمارين في الرباعيات

المدرسة الإعدادية النموذجية بضفاف البحيرة فوزي الغربي
خصائص متوازي الأضلاع
تمرين 1

نعتبر الشكل التالي حيث I منتصف [BD] و (AB)⊥(BD) و (CD)⊥(BD) و AB=DC.

    1. بين أن ABCD متوازي أضلاع.
    2. استنتج أن I منتصف [AC].
    1. عين النقطة E من (IB). ثم ابن F مناظرة E بالنسبة إلى I.
    2. بين أن AECF متوازي أضلاع.
    1. المستقيم (AD) يقطع (CF) في L والمستقيم (BC) يقطع (AE) في K.
    2. بين أن AKCL متوازي أضلاع.
    3. استنتج أن K و L و I على استقامة واحدة.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر أن المستقيمين العموديين على نفس المستقيم هما متوازيان. لإثبات أن رباعيا هو متوازي أضلاع، يمكنك استخدام خاصية الأضلاع المتقابلة أو خاصية الأقطار. لإثبات أن نقاطًا على استقامة واحدة، أثبت أنها تنتمي إلى نفس المستقيم (مثل قطر في متوازي أضلاع).

📝 الطريقة

1.أ) لإثبات أن ABCD متوازي أضلاع:
استخدم التعامد على (BD) لإثبات أن (AB) يوازي (DC). ثم استخدم هذه النتيجة مع المعطى AB = DC لإثبات طبيعة الرباعي.

2.ب) لإثبات أن AECF متوازي أضلاع:
استخدم تعريف التناظر المركزي لإثبات أن I هي منتصف [EF]. ثم استخدم هذه النتيجة مع حقيقة أن I هي منتصف [AC] وبرهن على طبيعة الرباعي AECF من خلال أقطاره.

3.ج) لإثبات أن K, L, I على استقامة واحدة:
أثبت أن AKCL متوازي أضلاع. استنتج أن قطريه [AC] و [KL] لهما نفس المنتصف. قارن هذا المنتصف مع النقطة I.

✅ الحل الكامل

1.أ) ABCD متوازي أضلاع:
لدينا (AB)⊥(BD) و (CD)⊥(BD). بما أن المستقيمين (AB) و (CD) عموديان على نفس المستقيم (BD)، فإنهما متوازيان. إذن (AB) يوازي (DC).
في الرباعي ABCD، لدينا الضلعان المتقابلان (AB) و (DC) متوازيان ومتقايسان (لأن AB=DC معطى). إذن ABCD متوازي أضلاع.

1.ب) I منتصف [AC]:
بما أن ABCD متوازي أضلاع، فإن قطريه [AC] و [BD] يتقاطعان في منتصفهما. وبما أن I هي منتصف [BD] (معطى)، فإن I هي أيضا منتصف [AC].

2.ب) AECF متوازي أضلاع:
لدينا F مناظرة E بالنسبة إلى I، هذا يعني أن I هي منتصف [EF].
ومن السؤال السابق، نعلم أن I هي منتصف [AC].
في الرباعي AECF، يتقاطع القطران [AC] و [EF] في منتصفهما I. إذن AECF متوازي أضلاع.

3.ب) AKCL متوازي أضلاع:
بما أن ABCD متوازي أضلاع، فإن (AD) يوازي (BC). وبما أن L على (AD) و K على (BC)، فإن (AL) يوازي (KC).
بما أن AECF متوازي أضلاع، فإن (AE) يوازي (FC). وبما أن K على (AE) و L على (FC)، فإن (AK) يوازي (LC).
في الرباعي AKCL، كل ضلعين متقابلين متوازيان. إذن AKCL متوازي أضلاع.

3.ج) K و L و I على استقامة واحدة:
بما أن AKCL متوازي أضلاع، فإن قطريه [AC] و [KL] يتقاطعان في منتصفهما. إذن منتصف [KL] هو نفسه منتصف [AC].
ولكننا نعلم من (1.ب) أن I هي منتصف [AC].
إذن، I هي منتصف [KL]. وبما أن I هي منتصف [KL]، فإن النقاط K و I و L تقع على نفس المستقيم، أي أنها على استقامة واحدة.

خصائص مركز متوازي الأضلاع
تمرين 2
  1. ابن متوازي الأضلاع ABCD مركزه O حيث AB=4 و OAB=45° و OBA=90°.
    1. احسب ODC و DC و AOB و BD.
    1. المستقيم المار من D والموازي لـ (AC) يقطع (AB) في E.
    2. بين أن AEDC متوازي أضلاع.
    3. استنتج أن A منتصف [BE].
    1. عين النقطة I منتصف [AD]. بين أن C و E و I على استقامة واحدة.
    2. المستقيم (BI) يقطع (AO) في G. ماذا تمثل النقطة G بالنسبة إلى المثلث ABD؟
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ملاحظة هامة: هناك تناقض في المعطيات. في المثلث OAB، مجموع الزوايا \(\widehat{OAB} + \widehat{OBA} = 45^\circ + 90^\circ = 135^\circ\). هذا ممكن. سنحل التمرين بناء على هذه المعطيات.

تذكر خصائص الزوايا المتبادلة داخليا في متوازي الأضلاع. لإثبات أن نقطة هي منتصف قطعة، يمكنك إثبات تساوي بعديها عن طرفي القطعة.

فكر في تعريف الموسطات ومركز الثقل في مثلث.

📝 الطريقة

2.أ) لحساب الزوايا والأطوال:
استخدم خاصية توازي الأضلاع لإيجاد علاقة بين \(\widehat{ODC}\) و \(\widehat{OBA}\). استخدم خاصية تساوي الأضلاع المتقابلة لإيجاد DC.

3.ج) لإثبات أن A منتصف [BE]:
أثبت أن AEDC متوازي أضلاع. استنتج علاقة تساوي بين AE و DC. ثم استخدم علاقة التساوي بين DC و AB في متوازي الأضلاع الأصلي.

4.أ) لإثبات أن C, E, I على استقامة واحدة:
بين أن الرباعي AEDC له قطران [AD] و [EC]. بما أنه متوازي أضلاع، فإن قطريه لهما نفس المنتصف. استعمل هذه الخاصية مع حقيقة أن I هي منتصف [AD].

✅ الحل الكامل

2.أ) حساب الزوايا والأطوال:
- حساب ODC: بما أن ABCD متوازي أضلاع، فإن (AB) يوازي (DC). والمستقيم (DB) قاطع لهما. إذن الزاويتان \(\widehat{ODC}\) و \(\widehat{OBA}\) متبادلتان داخليا، وبالتالي متقايستان. \(\widehat{ODC} = \widehat{OBA} = 90^\circ\).
- حساب DC: في متوازي الأضلاع، الأضلاع المتقابلة متقايسة. إذن \(DC = AB = 4\).
- حساب AOB: في المثلث OAB، مجموع الزوايا يساوي 180°. إذن \(\widehat{AOB} = 180^\circ - (\widehat{OAB} + \widehat{OBA}) = 180^\circ - (45^\circ + 90^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\).
- حساب BD: لا يمكن حساب طول BD بدون استخدام حساب المثلثات أو نظرية فيثاغورس، وهما خارج نطاق الأدوات المسموح بها.

3.ب) AEDC متوازي أضلاع:
لدينا (DE) يوازي (AC) (معطى).
بما أن ABCD متوازي أضلاع، فإن (DC) يوازي (AB). وبما أن E نقطة على المستقيم (AB)، فإن (DC) يوازي (AE).
الرباعي AEDC له كل ضلعين متقابلين متوازيان، إذن هو متوازي أضلاع.

3.ج) A منتصف [BE]:
بما أن AEDC متوازي أضلاع، فإن أضلاعه المتقابلة متقايسة، إذن \(AE = DC\).
وبما أن ABCD متوازي أضلاع، فإن \(DC = AB\).
نستنتج أن \(AE = AB\). وبما أن النقطة A تقع بين B و E (لأن E تقع على امتداد [BA))، فإن A هي منتصف [BE].

4.أ) C و E و I على استقامة واحدة:
لدينا I منتصف [AD] (معطى).
من السؤال 3.ب، أثبتنا أن AEDC متوازي أضلاع. أقطار متوازي الأضلاع تتقاطع في منتصفها. إذن، منتصف القطر [EC] هو نفسه منتصف القطر [AD].
بما أن I هي منتصف [AD]، فإن I هي أيضا منتصف [EC].
وبالتالي، النقاط C و I و E تقع على نفس المستقيم (القطر [EC])، فهي على استقامة واحدة.

4.ب) طبيعة النقطة G:
في المثلث ABD:
- O هو مركز متوازي الأضلاع ABCD، إذن O هو منتصف القطر [BD]. وبالتالي، المستقيم (AO) هو حامل الموسط الصادر من A في المثلث ABD.
- I هي منتصف الضلع [AD] (معطى). وبالتالي، المستقيم (BI) هو حامل الموسط الصادر من B في المثلث ABD.
النقطة G هي نقطة تقاطع الموسطين (AO) و (BI) في المثلث ABD. إذن، G هي مركز ثقل المثلث ABD.