ابن دائرة \(\mathcal{C}\) مركزها \(O\) وعين عليها نقطة \(A\) ثم ابن \(\Delta\) الموسط العمودي لـ \([OA]\). \(\Delta\) يقطع \(\mathcal{C}\) في نقطتين مختلفتين \(B\) و \(D\).
للمعين: يكفي إثبات أن الأضلاع الأربعة متقايسة.
للمستطيل: يكفي إثبات أنه متوازي أضلاع وأقطاره متقايسة.
للتوازي: يمكن استعمال خاصية "مستقيمان عموديان على نفس المستقيم فهما متوازيان".
1) إثبات أن OBAD معين:
- نثبت أن \(OB = OD = OA\) (أشعة في الدائرة).
- نثبت أن \(AB = OB\) و \(AD = OD\) (باستخدام خاصية الموسط العمودي).
- نستنتج تساوي الأضلاع الأربعة.
2) إثبات أن BDMN مستطيل:
- نثبت أن الرباعي متوازي أضلاع (أقطاره تتقاطع في نفس المنتصف O).
- نثبت أن أقطاره متقايسة (لأنها أقطار في نفس الدائرة).
3) إثبات أن OABN معين:
- نثبت أنه متوازي أضلاع (باستعمال توازي الأضلاع المتقابلة).
- نثبت أن له ضلعين متجاورين متقايسين.
1) نبين أن OBAD معين:
بما أن B و D نقطتان من \(\Delta\) الموسط العمودي لـ [OA]، فإن \(AB=OB\) و \(AD=OD\).
ولدينا O و B و D نقاط من الدائرة \(\mathcal{C}\) التي مركزها O، إذن \(OA=OB=OD\).
نستنتج أن \(OA=OB=OD=AB=AD\). فالرباعي OBAD له أربعة أضلاع متقايسة، إذن هو **معين**.
2.أ) نبين أن BDMN مستطيل:
لدينا O منتصف [BM] و O منتصف [DN] لأن [BM] و [DN] قطران في الدائرة \(\mathcal{C}\).
إذن الرباعي BDMN متوازي أضلاع لأن قطريه يتقاطعان في نفس المنتصف.
وبما أن \(BM = DN\) (قطران في نفس الدائرة)، فإن متوازي الأضلاع BDMN هو **مستطيل**.
2.ب) نستنتج أن (BN) // (OA):
في المعين OBAD، القطران متعامدان، إذن \((BD) \perp (OA)\).
في المستطيل BDMN، الأضلاع المتتالية متعامدة، إذن \((BN) \perp (BD)\).
بما أن \((OA)\) و \((BN)\) عموديان على نفس المستقيم \((BD)\)، فإن **\((BN) // (OA)\)**.
3) نبين أن OABN معين:
لدينا \((BN) // (OA)\) من السؤال السابق.
ولدينا في المعين OBAD أن \((AB) // (OD)\) وبما أن N تنتمي إلى (OD) فإن \((AB) // (ON)\).
إذن الرباعي OABN متوازي أضلاع لأن أضلاعه المتقابلة متوازية.
وبما أن \(OA = ON\) (شعاعان في الدائرة)، فإن OABN **معين**.
ارسم مثلثًا \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\) وعين \(I\) منتصف \([BC]\). المستقيم المار من \(A\) والموازي لـ \((BC)\) يقطع المستقيم المار من \(I\) والموازي لـ \((AB)\) في \(J\).
متوازي الأضلاع: يكفي إثبات أن كل ضلعين متقابلين متوازيين.
المستطيل: يكفي إثبات أنه متوازي أضلاع وبه زاوية قائمة.
المعين: يكفي إثبات أنه متوازي أضلاع وبه ضلعان متتاليان متقايسان.
1) إثبات أن ABIJ متوازي أضلاع:
- نستعمل المعطيات مباشرة: \((IJ) // (AB)\) و \((AJ) // (BC)\).
2) إثبات التعامد:
- في المثلث ABC المتقايس الضلعين في A، الموسط (AI) هو أيضا ارتفاع.
3) إثبات أن AJCI مستطيل:
- نثبت أنه متوازي أضلاع.
- نستخدم وجود الزاوية القائمة \(\angle AIC = 90^\circ\).
4) إثبات أن AMIN معين:
- نثبت أنه متوازي أضلاع.
- نطبق خاصية مستقيم المنتصفين مرتين لإثبات أن \(AN = AM\).
1) نبين أن ABIJ متوازي أضلاع:
لدينا \((IJ) // (AB)\) (معطى) و \((AJ) // (BI)\) (لأن \((AJ) // (BC)\)).
إذن الرباعي ABIJ **متوازي أضلاع** لأن كل ضلعين متقابلين فيه متوازيان.
2) نبين أن (AI) ⊥ (BC):
في المثلث ABC المتقايس الضلعين في A، المستقيم (AI) هو الموسط الصادر من الرأس الرئيسي A لأنه يمر من منتصف القاعدة [BC]. إذن (AI) هو أيضا ارتفاع. وعليه فإن **\((AI) \perp (BC)\)**.
3) نبين أن AJCI مستطيل:
لدينا \((AJ) // (IC)\) و \(AJ = BI\) (لأن ABIJ متوازي أضلاع) و \(BI = IC\) (لأن I منتصف [BC]). إذن \(AJ=IC\).
الرباعي AJCI له ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان فهو متوازي أضلاع.
ولدينا \(\angle AIC = 90^\circ\) لأن \((AI) \perp (BC)\).
إذن متوازي الأضلاع AJCI هو **مستطيل**.
4) نبين أن AMIN معين:
لدينا \((IN) // (AM)\) (لأن \((IN)//(AC)\)) و \((IM) // (AN)\) (لأن \((IJ)//(AB)\)).
إذن AMIN متوازي أضلاع.
في المثلث ABC، المستقيم المار من I منتصف [BC] والموازي لـ (AC) يقطع [AB] في منتصفه N. إذن \(AN=AB/2\).
كذلك، المستقيم المار من I منتصف [BC] والموازي لـ (AB) يقطع [AC] في منتصفه M. إذن \(AM=AC/2\).
بما أن \(AB=AC\) (مثلث متقايس الضلعين)، فإن \(AN=AM\).
إذن متوازي الأضلاع AMIN هو **معين**.
ارسم متوازي أضلاع \(ABCD\) بحيث \(AB = 4\) و \(AD = 2\) و \(\angle ABC = 60^\circ\). عين النقاط \(O\) منتصف \([AC]\), و \(E\) منتصف \([AB]\), و \(F\) منتصف \([CD]\).
للمعين: أثبت أن الرباعي متوازي أضلاع ثم أثبت أن له ضلعين متجاورين متقايسين.
لطبيعة المثلث: قارن أطوال أضلاعه. إذا كان متقايس الضلعين وبه زاوية 60° فهو متقايس الأضلاع.
لمنتصف قطعة: استعمل خاصية أقطار متوازي الأضلاع.
1.أ) لإثبات أن AEFD معين:
- نثبت أنه متوازي أضلاع (\(AE=DF\) و \((AE)//(DF)\)).
- نقارن طولي الضلعين المتجاورين \(AE\) و \(AD\).
2.ب) لإثبات أن AECF معين:
- نثبت أنه متوازي أضلاع (\(AE=CF\) و \((AE)//(CF)\)).
- نثبت أن \(AE=EC\) عن طريق إثبات أن المثلث EBC متقايس الأضلاع.
3.أ) لإثبات أن AOFK متوازي أضلاع:
- نستعمل خاصية مستقيم المنتصفين في المثلث ADC لإثبات أن \((OF) // (AD)\).
- نستخدم المعطى \((FK) // (AC)\).
1.أ) نبين أن AEFD معين:
لدينا E منتصف [AB] و F منتصف [CD]. بما أن \(AB=CD=4\), فإن \(AE=DF=2\). وبما أن \((AB)//(CD)\), فإن \((AE)//(DF)\). إذن AEFD متوازي أضلاع.
ولدينا \(AE=2\) و \(AD=2\), إذن لمتوازي الأضلاع ضلعان متجاوران متقايسان، فهو **معين**.
1.ب) نحسب \(\angle EFD\):
لدينا \(\angle DAB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). في المعين AEFD، \(\angle EFD = \angle DAB\), إذن \(\angle EFD = 120^\circ\).
2.أ) طبيعة المثلث AFD:
لدينا \(AD=2\) و \(DF=2\). و \(\angle ADC = \angle ABC = 60^\circ\).
المثلث AFD متقايس الضلعين في D والزاوية في هذا الرأس 60°, إذن هو **مثلث متقايس الأضلاع** و \(AF=2\).
2.ب) نبين أن AECF معين:
لدينا \(AE=CF=2\) و \((AE)//(CF)\), إذن AECF متوازي أضلاع.
في المثلث EBC، لدينا \(EB=2\), \(BC=AD=2\) و \(\angle EBC=60^\circ\). إذن المثلث EBC متقايس الأضلاع و \(EC=2\).
في متوازي الأضلاع AECF، لدينا الضلعان المتجاوران \(AE=2\) و \(EC=2\). إذن AECF هو **معين**.
2.ج) نستنتج أن O منتصف [EF]:
بما أن AECF متوازي أضلاع، فإن قطريه [AC] و [EF] يتقاطعان في نفس المنتصف. بما أن O منتصف [AC]، فإن **O منتصف [EF]**.
3.أ) نبين أن AOFK متوازي أضلاع:
لدينا \((FK) // (AC)\) (معطى)، إذن \((FK)//(AO)\).
في المثلث ADC، لدينا O منتصف [AC] و F منتصف [CD]. إذن \((OF)//(AD)\). وبما أن K تنتمي لـ (AD)، فإن \((OF)//(AK)\).
إذن الرباعي AOFK **متوازي أضلاع**.
3.ب) نحسب OK:
في متوازي الأضلاع AOFK، القطران [OK] و [AF] ليسا بالضرورة متقايسان.
لقد بينا في السؤال 2.أ أن \(AF = 2\) لأن المثلث AFD متقايس الأضلاع.
لا يمكن تحديد طول [OK] بدقة بالاعتماد على خصائص متوازي الأضلاع فقط. يتطلب ذلك معلومات إضافية أو استخدام أدوات غير مسموح بها هنا.