تمارين متنوعة في متوازي الأضلاع

التناظر المركزي والمثلث
تمرين 1

EFG مثلث.

  1. أنشئ 'E و 'F مماثلتي E و F على التوالي بالنسبة للنقطة G.
  2. أثبت أن الرباعي EFE'F' متوازي الأضلاع.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ماذا يعني أن نقطة هي مماثلة نقطة أخرى بالنسبة لنقطة ثالثة؟ فكر في مفهوم "المنتصف". وكيف يمكن إثبات أن رباعياً هو متوازي أضلاع باستخدام أقطاره؟

📝 الطريقة

  1. ترجم معطيات التناظر: "'E مماثلة E بالنسبة لـ G" تعني أن G هي منتصف القطعة ['EE].
  2. افعل نفس الشيء للنقطتين 'F و F.
  3. لاحظ أن ['EE] و ['FF] هما قطرا الرباعي EFE'F'.
  4. استخدم الخاصية: "إذا كان لرباعي قطران يتقاطعان في نفس المنتصف، فإنه متوازي أضلاع".

✅ الحل الكامل

بما أن 'E هي مماثلة E بالنسبة للنقطة G، فإن G هي منتصف القطر ['EE].

وبما أن 'F هي مماثلة F بالنسبة للنقطة G، فإن G هي منتصف القطر ['FF].

الرباعي EFE'F' له قطران هما ['EE] و ['FF]. وبما أن هذين القطرين يتقاطعان في نفس المنتصف G، فإن الرباعي EFE'F' هو متوازي أضلاع.

التناظر ومركز متوازي الأضلاع
تمرين 2

ABCD متوازي الأضلاع مركزه O. لتكن E نقطة من [DO].

  1. أنشئ F مماثلة النقطة E بالنسبة للنقطة O.
  2. أثبت أن الرباعي AFCE متوازي الأضلاع.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ما هي خاصية مركز متوازي الأضلاع O بالنسبة للقطرين [AC] و [BD]؟ استخدم هذه الخاصية مع معطى التناظر لإثبات أن قطري الرباعي AFCE لهما نفس المنتصف.

📝 الطريقة

  1. تذكر أن مركز متوازي الأضلاع هو منتصف قطريه. إذن O هي منتصف [AC].
  2. من المعطيات، F هي مماثلة E بالنسبة لـ O. هذا يعني أن O هي منتصف [EF].
  3. الرباعي AFCE له قطران هما [AC] و [EF].
  4. استنتج أن القطرين لهما نفس المنتصف O، وبالتالي فإن الرباعي AFCE هو متوازي أضلاع.

✅ الحل الكامل

بما أن ABCD متوازي أضلاع مركزه O، فإن O هي منتصف القطر [AC].

وبما أن F هي مماثلة E بالنسبة للنقطة O، فإن O هي منتصف القطعة [EF].

الرباعي AFCE له قطران [AC] و [EF]. بما أن O هي منتصف القطرين معاً، فإن الرباعي AFCE هو متوازي أضلاع.

تقاطع الدوائر
تمرين 3

[AB] قطعة طولها 4 cm. (C1) دائرة مركزها A وشعاعها 1.5، (C2) دائرة مركزها B وشعاعها 1.5. تتقاطعان في E و F.

  1. أثبت أن الرباعي AEBF متوازي الأضلاع.
  2. المستقيم (EA) يقطع الدائرة (C1) في النقطة M، والمستقيم (FB) يقطع الدائرة (C2) في النقطة N. أثبت أن MENF متوازي الأضلاع.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

1) ما هي أطوال أضلاع الرباعي AEBF؟ تذكر أن أي نقطة على دائرة تبعد عن المركز بمسافة تساوي الشعاع.

2) ما هي طبيعة القطعتين [EM] و [FN]؟ هل هما قطران؟ كيف يمكن إثبات أن MENF متوازي أضلاع؟

📝 الطريقة

  1. احسب الأطوال: AE (شعاع C1)، BE (شعاع C2)، AF (شعاع C1)، BF (شعاع C2). قارن بينها. إذا كانت الأضلاع المتقابلة متقايسة، فهو متوازي أضلاع.
  2. بيّن أن [EM] قطر في (C1) و [FN] قطر في (C2). استنتج أن (EM) يوازي (FN) وأنهما متقايسان. رباعي له ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان هو متوازي أضلاع.

✅ الحل الكامل

  1. لدينا: E و F على (C1)، إذن AE = AF = 1.5 cm. ولدينا: E و F على (C2)، إذن BE = BF = 1.5 cm. في الرباعي AEBF، كل الأضلاع متقايسة وتساوي 1.5 cm. إذن AEBF معين، وكل معين هو متوازي أضلاع.
  2. بما أن (EA) يقطع (C1) في M، فإن [EM] هو قطر في (C1). إذن $EM = 2 \times 1.5 = 3$ cm. وبالمثل، [FN] هو قطر في (C2). إذن $FN = 2 \times 1.5 = 3$ cm. إذن $EM=FN$.
    لدينا AEBF معين، إذن (AE)//(BF). بما أن النقاط E,A,M على استقامة والنقاط F,B,N على استقامة، فإن (EM)//(FN).
    الرباعي MENF له ضلعان متقابلان [EM] و [FN] متوازيان ومتقايسان، إذن MENF هو متوازي أضلاع.
بناء واستنتاج
تمرين 4

ABCD متوازي الأضلاع بحيث: AB=4 و AD=6 و $B\hat{A}D = 40^\circ$.

  1. أنشئ M منتصف [AB] و (Δ) المستقيم المار من M والموازي للمستقيم (AD) بحيث يقطع المستقيم (DC) في النقطة N.
  2. بين أن AMND متوازي الأضلاع.
  3. أحسب: $M\hat{N}D$ ثم $A\hat{D}N$.
  4. بين أن N منتصف [DC].
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لإثبات أن AMND متوازي أضلاع، استخدم تعريف التوازي المعطى في السؤال. لحساب الزوايا، استخدم خصائص الزوايا المتقابلة والمتتالية. لإثبات أن N منتصف، استخدم مبرهنة المنتصفين أو خصائص التوازي.

📝 الطريقة

  1. لإثبات أن AMND متوازي أضلاع، يكفي إثبات أن أضلاعه المتقابلة متوازية. (AM)//(DN) لأن (AB)//(DC)، و (AD)//(MN) حسب المعطيات.
  2. $A\hat{D}N$ و $B\hat{A}D$ زاويتان متتاليتان في متوازي الأضلاع ABCD. $M\hat{N}D$ مقابلة لـ $B\hat{A}D$ في المتوازي الصغير AMND.
  3. في المثلث ADB، M منتصف [AB] والمستقيم (MN) يمر من M ويوازي (AD). ماذا تستنتج عن النقطة التي يقطع فيها (DB)؟ طبق نفس المنطق على متوازي الأضلاع ABCD.

✅ الحل الكامل

  1. لدينا (AM) يقع على (AB) و (DN) يقع على (DC). بما أن (AB)//(DC)، فإن (AM)//(DN). ولدينا من المعطيات أن (MN)//(AD). إذن الرباعي AMND له كل ضلعين متقابلين متوازيان، فهو متوازي أضلاع.
  2. في متوازي الأضلاع AMND، الزوايا المتتالية متكاملة: $A\hat{D}N + D\hat{A}M = 180^\circ$. $A\hat{D}N = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$. والزوايا المتقابلة متقايسة: $M\hat{N}D = D\hat{A}M = 40^\circ$.
  3. في متوازي الأضلاع ABCD، نعتبر المثلث ABC. المستقيم المار من M منتصف [AB] والموازي لـ(BC) يقطع [AC] في منتصفه. هنا، لدينا (MN)//(AD). في متوازي الأضلاع ABCD، المستقيم المار من M منتصف [AB] والموازي لـ[AD] يقطع [DC] في منتصفه N. إذن N منتصف [DC].
مثلث متساوي الأضلاع
تمرين 5

ABC مثلث متساوي الأضلاع و I منتصف [AC].

  1. أنشئ D مماثلة النقطة B بالنسبة لـ I.
  2. أثبت أن ABCD متوازي الأضلاع.
  3. استنتج قياس الزاوية $A\hat{D}C$.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم نفس طريقة التمرينين 1 و 2 لإثبات أنه متوازي أضلاع (خاصية الأقطار). ما هي قياسات زوايا المثلث متساوي الأضلاع؟ وكيف ترتبط زوايا متوازي الأضلاع ببعضها؟

📝 الطريقة

  1. لإثبات أن ABCD متوازي أضلاع، أثبت أن قطريه [AC] و [BD] لهما نفس المنتصف I.
  2. لإيجاد $A\hat{D}C$، تذكر أنها زاوية في متوازي الأضلاع ABCD. هي مقابلة لأي زاوية؟ وما هو قياس تلك الزاوية في مثلث متساوي الأضلاع؟

✅ الحل الكامل

  1. لدينا I منتصف [AC] (معطى). ولدينا D مماثلة B بالنسبة لـ I، وهذا يعني أن I منتصف [BD]. بما أن قطري الرباعي ABCD يتقاطعان في نفس المنتصف I، فإن ABCD متوازي أضلاع.
  2. بما أن ABC مثلث متساوي الأضلاع، فإن جميع زواياه تساوي 60°. إذن $A\hat{B}C = 60^\circ$.
  3. في متوازي الأضلاع ABCD، الزوايا المتقابلة متقايسة. إذن $A\hat{D}C = A\hat{B}C = 60^\circ$.
البناء بالخطوط المتوازية
تمرين 6

ABC مثلث بحيث: $B\hat{A}C = 70^\circ$. المستقيم الموازي لـ (AC) والمار من B يقطع المستقيم الموازي لـ (AB) والمار من C في D.

  1. أثبت أن ABDC متوازي الأضلاع.
  2. أحسب $B\hat{D}C$ ثم $A\hat{B}D$.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ما هو التعريف الدليل القوةي لمتوازي الأضلاع؟ هل المعطيات تفي بهذا التعريف مباشرة؟ بالنسبة للزوايا، استخدم خصائص الزوايا المتقابلة والمتتالية.

📝 الطريقة

  1. من المعطيات، لديك (BD)//(AC) و (CD)//(AB). هذا هو تعريف متوازي الأضلاع.
  2. $B\hat{D}C$ هي الزاوية المقابلة لـ $B\hat{A}C$.
  3. $A\hat{B}D$ هي الزاوية المتتالية لـ $B\hat{A}C$. مجموعهما يساوي 180°.

✅ الحل الكامل

  1. لدينا من المعطيات أن المستقيم المار من B موازٍ لـ(AC)، إذن (BD)//(AC).
    ولدينا المستقيم المار من C موازٍ لـ(AB)، إذن (CD)//(AB).
    بما أن الرباعي ABDC له كل ضلعين متقابلين متوازيان، فإن ABDC هو متوازي أضلاع.
  2. في متوازي الأضلاع ABDC، الزوايا المتقابلة متقايسة، إذن $B\hat{D}C = B\hat{A}C = 70^\circ$.
    والزوايا المتتالية متكاملة، إذن $A\hat{B}D + B\hat{A}C = 180^\circ$.
    ومنه $A\hat{B}D = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.