تمارين في متوازي الأضلاع

المدرسة الإعدادية النموذجية بضفاف البحيرة فوزي الغربي
إنشاءات حول مثلث
التمرين 1

EFG مثلث.

  1. أنشئ E' و F' مماثلتي E و F على التوالي بالنسبة للنقطة G.
  2. أثبت أن الرباعي EFE'F' متوازي الأضلاع.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم تعريف التناظر المركزي. ما هي العلاقة بين النقطة G والقطعتين [EE'] و [FF']؟

📝 الطريقة

  1. من تعريف التناظر، استنتج أن G منتصف [EE'].
  2. كذلك، استنتج أن G منتصف [FF'].
  3. لاحظ أن [EE'] و [FF'] هما قطرا الرباعي EFE'F' واستنتج طبيعته.

✅ الحل الكامل

لدينا E' مماثلة E بالنسبة لـ G، إذن G منتصف [EE'].
ولدينا F' مماثلة F بالنسبة لـ G، إذن G منتصف [FF'].
في الرباعي EFE'F'، القطران [EE'] و [FF'] يتقاطعان في منتصفهما G. إذن EFE'F' متوازي الأضلاع.

مركز متوازي الأضلاع
التمرين 2

ABCD متوازي الأضلاع مركزه O. E نقطة من [DO].

  1. أنشئ F مماثلة النقطة E بالنسبة للنقطة O.
  2. أثبت أن الرباعي AFCE متوازي الأضلاع.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لإثبات أن رباعيا متوازي أضلاع، يمكنك إثبات أن قطريه لهما نفس المنتصف. استخدم خصائص مركز متوازي الأضلاع.

📝 الطريقة

  1. لديك F مماثلة E بالنسبة لـ O. ماذا تستنتج عن موقع O بالنسبة لـ [EF]؟
  2. ماذا يمثل O بالنسبة للقطر [AC] في متوازي الأضلاع ABCD؟
  3. استنتج طبيعة الرباعي AFCE.

✅ الحل الكامل

لدينا F مماثلة E بالنسبة لـ O، إذن O منتصف [EF].
بما أن ABCD متوازي أضلاع مركزه O، فإن O هو منتصف القطر [AC].
في الرباعي AFCE، القطران [EF] و [AC] يتقاطعان في منتصفهما O. إذن AFCE متوازي الأضلاع.

دوائر ومُعيّن
التمرين 3

[AB] قطعة طولها 4cm. (C1) دائرة مركزها A و شعاعها 1.5cm. (C2) دائرة مركزها B وشعاعها 1.5cm. (C1) و (C2) تتقاطعان في E و F.

  1. أثبت أن الرباعي AEBF متوازي الأضلاع.
  2. المستقيم (EA) يقطع الدائرة (C1) في النقطة M والمستقيم (FB) يقطع الدائرة (C2) في النقطة N. أثبت أن الرباعي MENF متوازي الأضلاع.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ماذا تعرف عن رباعي له كل ضلعين متقابلين متقايسان؟ لإثبات أن MENF متوازي أضلاع، استخدم خاصية الأقطار.

📝 الطريقة

  1. (1) استخدم تعريف الدائرة لإيجاد أطوال الأضلاع AE, AF, BE, BF. قارن الأضلاع المتقابلة.
  2. (2) بين أن A منتصف [ME] و B منتصف [NF]. ثم بين أن للقطرين [MN] و [EF] نفس المنتصف.

✅ الحل الكامل

1) لدينا E و F على (C1) مركزها A، إذن AE = AF = 1.5cm. ولدينا E و F على (C2) مركزها B، إذن BE = BF = 1.5cm. في الرباعي AEBF، كل ضلعين متقابلين متقايسان (AE=BF و AF=BE). إذن AEBF متوازي أضلاع (وهو معين).

2) بما أن M, E على (C1) و A هي المركز وتقع على (ME)، فإن [ME] قطر و A منتصفه. بالمثل B منتصف [NF]. في الرباعي ANBM، قطراه [MN] و [AB] لهما نفس المنتصف. إذن ANBM متوازي أضلاع. (هناك خطأ في نص السؤال، يجب أن يكون الرباعي MANB أو ANBM).
تصحيح المنطق: في الرباعي MENF، لنثبت أن قطريه [MN] و [EF] لهما نفس المنتصف. ليكن I منتصف [EF]. في المثلث MEF، [AI] موسط. وفي المثلث NEF، [BI] موسط. هذا لا يثبت أن I منتصف [MN]. (هذا السؤال صعب بدون أدوات أخرى).

إنشاءات في متوازي الأضلاع
التمرين 4

ABCD متوازي الأضلاع بحيث: AB=4 و AD=6 و \(\widehat{BAD} = 40^\circ\).

  1. أنشئ M منتصف [AB] و (\(\Delta\)) المستقيم الموازي لـ(AD) والمار من M بحيث يقطع (DC) في N.
  2. بين أن AMND متوازي الأضلاع.
  3. أحسب: \(\widehat{MND}\) ثم \(\widehat{ADN}\).
  4. بين أن N منتصف [DC].
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم تعريف وخصائص متوازي الأضلاع. لإثبات أن N منتصف [DC]، يمكنك استخدام خصائص متوازي أضلاع آخر تم إنشاؤه.

📝 الطريقة

  1. (6) بين أن (AM) يوازي (DN) وأن (AD) يوازي (MN).
  2. (7) استخدم خصائص زوايا متوازي الأضلاع AMND.
  3. (8) في متوازي الأضلاع AMND، قارن طول DN بطول AM. ثم قارن AM بنصف طول DC.

✅ الحل الكامل

6) لدينا (MN) يوازي (AD) (معطى). وبما أن ABCD متوازي أضلاع، فإن (AB) يوازي (DC)، وبالتالي (AM) يوازي (DN). إذن AMND متوازي الأضلاع.

7) في متوازي الأضلاع AMND: \(\widehat{MND} = \widehat{MAD} = 40^\circ\) (زوايا متقابلة). و \(\widehat{ADN} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\) (زوايا متتالية).

8) بما أن AMND متوازي أضلاع، فإن DN = AM. ولدينا M منتصف [AB]، إذن \(AM = \frac{1}{2}AB\). وبما أن ABCD متوازي أضلاع، فإن AB = DC. إذن \(DN = \frac{1}{2}DC\). بما أن N على [DC] وتبعد عن D مسافة نصف طول [DC]، فإن N منتصف [DC].

مثلث متساوي الأضلاع
التمرين 5

ABC مثلث متساوي الأضلاع و I منتصف [AC].

  1. أنشئ D مماثلة النقطة B بالنسبة للنقطة I.
  2. أثبت أن ABCD متوازي الأضلاع.
  3. استنتج قياس الزاوية \(\widehat{ADC}\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

أثبت أولاً أن الرباعي متوازي أضلاع. ثم بين أنه معين. استخدم خصائص زوايا المثلث متساوي الأضلاع والمعين.

📝 الطريقة

  1. (2) بين أن قطري الرباعي ABCD يتقاطعان في منتصفهما I.
  2. (3) بين أن متوازي الأضلاع ABCD معين لأن له ضلعان متجاوران متقايسان (AB=BC). استنتج أن القطر [DB] هو منصف للزاوية \(\widehat{ADC}\) أو استخدم خاصية الزوايا المتقابلة.

✅ الحل الكامل

1) لدينا I منتصف [AC] (معطى). ولدينا D مماثلة B بالنسبة لـ I، إذن I منتصف [BD]. بما أن قطري الرباعي ABCD يتقاطعان في منتصفهما I، فهو متوازي أضلاع.

2) بما أن المثلث ABC متساوي الأضلاع، فإن AB=BC=60. متوازي الأضلاع ABCD له ضلعان متجاوران متقايسان، فهو إذن معين.
في المعين ABCD، الزوايا المتقابلة متقايسة. الزاوية \(\widehat{ADC}\) تقابل الزاوية \(\widehat{ABC}\).
بما أن المثلث ABC متساوي الأضلاع، فإن \(\widehat{ABC} = 60^\circ\).
إذن، \(\widehat{ADC} = 60^\circ\).

إنشاءات متوازية (2)
التمرين 6

ABC مثلث بحيث: \(\widehat{BAC} = 70^\circ\). المستقيم الموازي لـ (AC) والمار من B يقطع الموازي لـ (AB) والمار من C في D.

  1. أثبت أن الرباعي ABDC متوازي الأضلاع.
  2. أحسب: \(\widehat{BDC}\) ثم \(\widehat{ABD}\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم تعريف متوازي الأضلاع (رباعي له كل ضلعين متقابلين متوازيان). ثم استخدم خصائص زواياه.

📝 الطريقة

  1. (1) من المعطيات لديك (BD) يوازي (AC) و (CD) يوازي (AB). استنتج طبيعة الرباعي ABDC.
  2. (2) استخدم خاصية الزوايا المتقابلة والزوايا المتتالية في متوازي الأضلاع.

✅ الحل الكامل

1) لدينا (BD) يوازي (AC) (معطى). ولدينا (CD) يوازي (AB) (معطى). بما أن كل ضلعين متقابلين في الرباعي ABDC متوازيان، فهو متوازي أضلاع.

2) في متوازي الأضلاع ABDC:
- الزاوية \(\widehat{BDC}\) تقابل الزاوية \(\widehat{BAC}\). إذن \(\widehat{BDC} = \widehat{BAC} = 70^\circ\).
- الزاوية \(\widehat{ABD}\) تلي الزاوية \(\widehat{BAC}\). إذن مجموعهما 180°. \(\widehat{ABD} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\).