سلسلة : متوازي الأضلاع

المدرسة الإعدادية النموذجية بضفاف البحيرة فوزي الغربي
متوازي الأضلاع والأقطار
التمرين الأول

ABC مثلث و I منتصف [BC].

لتكن D مماثلة A بالنسبة للنقطة I.

ما هي طبيعة الرباعي ABDC؟ علل جوابك.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

فكر في خصائص أقطار متوازي الأضلاع. ما هي العلاقة بين النقطة I والقطعتين [AD] و [BC]؟

📝 الطريقة

  1. من المعطيات، I هي منتصف [BC].
  2. من تعريف التناظر المركزي (D مماثلة A بالنسبة لـ I)، استنتج موقع I بالنسبة للقطعة [AD].
  3. لاحظ أن [AD] و [BC] هما قطرا الرباعي ABDC.
  4. استخدم خاصية "الرباعي الذي قطراه يتقاطعان في منتصفهما هو متوازي أضلاع".

✅ الحل الكامل

لدينا I منتصف [BC] (معطى).
بما أن D مماثلة A بالنسبة للنقطة I، فإن I هي منتصف [AD].
في الرباعي ABDC، القطعتان [BC] و [AD] هما قطراه.
بما أن قطري الرباعي ABDC يتقاطعان في منتصفهما I، فإن ABDC متوازي أضلاع.

إنشاءات متوازي الأضلاع
التمرين الثاني

ABCD متوازي الأضلاع.

المستقيم المار من B والموازي للمستقيم (AC) يقطع (DC) في E.

  1. أثبت أن الرباعي ABEC متوازي الأضلاع.
  2. استنتج ان النقطة C منتصف [DE].
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لإثبات أن رباعيا متوازي أضلاع، يمكنك إثبات أن كل ضلعين متقابلين متوازيان. لإثبات أن C منتصف [DE]، أثبت أن DC = CE وأن النقاط D, C, E على استقامة واحدة.

📝 الطريقة

  1. (1) لديك (BE) يوازي (AC) (معطى). استخدم خصائص متوازي الأضلاع ABCD لإثبات أن (AB) يوازي (EC).
  2. (2) من متوازي الأضلاع ABCD، استنتج علاقة بين DC و AB. من متوازي الأضلاع ABEC، استنتج علاقة بين CE و AB. قارن بين DC و CE.

✅ الحل الكامل

1) لدينا (BE) يوازي (AC) (معطى).
بما أن ABCD متوازي أضلاع، فإن (AB) يوازي (DC). وبما أن E نقطة على المستقيم (DC)، فإن (AB) يوازي (EC).
في الرباعي ABEC، كل ضلعين متقابلين متوازيان، إذن ABEC متوازي أضلاع.

2) بما أن ABCD متوازي أضلاع، فإن أضلاعه المتقابلة متقايسة، إذن DC = AB.
وبما أن ABEC متوازي أضلاع، فإن أضلاعه المتقابلة متقايسة، إذن CE = AB.
نستنتج أن DC = CE. وبما أن النقطة C تقع بين D و E (لأن E تقع على المستقيم (DC))، فإن C منتصف [DE].

خاصية المنتصف
التمرين الثالث

نعتبر الشكل أسفله:

شكل التمرين الثالث

بين أن للقطعتين [BF] و [AE] نفس المنتصف.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لإثبات أن قطعتين لهما نفس المنتصف، أثبت أنهما قطران في نفس متوازي الأضلاع.

📝 الطريقة

  1. لاحظ الرباعيات ABCD و DCEF في الشكل. من العلامات، استنتج طبيعتهما.
  2. استنتج علاقات التوازي والتساوي بين الأضلاع.
  3. ركز على الرباعي ABFE. أثبت أنه متوازي أضلاع.
  4. استنتج الخاصية المتعلقة بقطريه [AE] و [BF].

✅ الحل الكامل

من علامات التقايس في الشكل، نستنتج أن ABCD متوازي أضلاع وأن DCEF متوازي أضلاع.
من متوازي الأضلاع ABCD، لدينا (AB) يوازي (DC) و AB = DC.
من متوازي الأضلاع DCEF، لدينا (DC) يوازي (FE) و DC = FE.
إذن، (AB) يوازي (FE) (لأنهما يوازيان نفس المستقيم) و AB = FE (لأن كليهما يساوي DC).
في الرباعي ABFE، لدينا ضلعان متقابلان [AB] و [FE] متوازيان ومتقايسان. إذن ABFE متوازي أضلاع.
بما أن [AE] و [BF] هما قطرا متوازي الأضلاع ABFE، فإنهما يتقاطعان في منتصفهما. إذن للقطعتين [BF] و [AE] نفس المنتصف.

دوائر ومتوازي أضلاع
التمرين الرابع

[AB] قطعة طولها 6cm.

(C1) دائرة مركزها A و شعاعها 4cm. (C2) دائرة مركزها B وشعاعها 4cm.

(C1) و (C2) تتقاطعان في E و F.

  1. أرسم شكلا.
  2. أثبت أن الرباعي AEBF متوازي الأضلاع.
  3. المستقيم (EA) يقطع الدائرة (C1) في النقطة M والمستقيم (FB) يقطع الدائرة (C2) في النقطة N. أثبت أن الرباعي MENF متوازي الأضلاع.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ماذا تعرف عن رباعي له كل ضلعين متقابلين متقايسان؟ لإثبات أن MENF متوازي أضلاع، استخدم خاصية الأقطار.

📝 الطريقة

  1. (2) استخدم تعريف الدائرة لإيجاد أطوال الأضلاع AE, AF, BE, BF. قارن الأضلاع المتقابلة في الرباعي AEBF.
  2. (3) بين أن [MN] و [EF] هما قطرا الرباعي MENF. ثم أثبت أن لهما نفس المنتصف.

✅ الحل الكامل

2) لدينا E و F نقطتان على الدائرة (C1) التي مركزها A، إذن AE = AF = 4cm.
ولدينا E و F نقطتان على الدائرة (C2) التي مركزها B، إذن BE = BF = 4cm.
في الرباعي AEBF، لدينا كل ضلعين متقابلين متقايسان (AE=BF=4 و AF=BE=4). إذن AEBF متوازي أضلاع. (وهو معين أيضا لأن أضلاعه الأربعة متقايسة).

3) لدينا M و E على الدائرة (C1) التي مركزها A، و M, A, E على استقامة واحدة. إذن [ME] قطر للدائرة (C1) و A منتصف [ME].
لدينا N و F على الدائرة (C2) التي مركزها B، و N, B, F على استقامة واحدة. إذن [NF] قطر للدائرة (C2) و B منتصف [NF].
في الرباعي MENF، قطراه هما [MN] و [EF]. بما أن AEBF معين، فإن قطريه [AB] و [EF] يتقاطعان في منتصفهما، ولنسمه O.
في المثلث MEF، لدينا A منتصف [ME] و O منتصف [EF]. إذن (AO) يوازي (MF).
في المثلث NEF، لدينا B منتصف [NF] و O منتصف [EF]. إذن (BO) يوازي (NE).
بما أن A, O, B على استقامة واحدة، فإن (MF) يوازي (NE).
إذن MENF شبه منحرف. لإثبات أنه متوازي أضلاع، نثبت أن (MN) يوازي (EF). وهذا غير صحيح بشكل عام. (يوجد خطأ في نص التمرين).

إنشاءات في متوازي الأضلاع
التمرين الخامس

ABCD متوازي الأضلاع بحيث: AB=4cm و AD=6cm و \(\widehat{BAD} = 40^\circ\).

  1. أنشئ M منتصف [AB] و (\(\Delta\)) المستقيم الموازي للمستقيم (AD) والمار من النقطة M بحيث يقطع المستقيم (DC) في النقطة N.
  2. بين أن AMND متوازي الأضلاع.
  3. أحسب معللا جوابك: \(\widehat{MND}\) ثم \(\widehat{ADN}\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لإثبات أن رباعيا متوازي أضلاع، يمكنك إثبات أن كل ضلعين متقابلين متوازيان. تذكر خصائص الزوايا في متوازي الأضلاع (الزوايا المتقابلة متقايسة والزوايا المتتالية متكاملة).

📝 الطريقة

  1. (2) لديك (MN) يوازي (AD) (معطى). بين أن (AM) يوازي (DN) باستخدام خصائص متوازي الأضلاع ABCD.
  2. (3) استخدم خصائص الزوايا المتقابلة والمتتالية في متوازي الأضلاع AMND الذي أثبته للتو.

✅ الحل الكامل

2) لدينا (MN) يوازي (AD) (معطى).
بما أن ABCD متوازي أضلاع، فإن (AB) يوازي (DC).
وبما أن M على (AB) و N على (DC)، فإن (AM) يوازي (DN).
في الرباعي AMND، كل ضلعين متقابلين متوازيان، إذن AMND متوازي أضلاع.

3) بما أن AMND متوازي أضلاع، فإن الزوايا المتقابلة متقايسة والزوايا المتتالية متكاملة (مجموعها 180 درجة).
- حساب \(\widehat{MND}\): الزاوية \(\widehat{MND}\) تقابل الزاوية \(\widehat{MAN}\) (وهي نفسها \(\widehat{BAD}\)). إذن \(\widehat{MND} = \widehat{BAD} = 40^\circ\).
- حساب \(\widehat{ADN}\): الزاوية \(\widehat{ADN}\) تلي الزاوية \(\widehat{BAD}\). إذن مجموعهما 180°. \(\widehat{ADN} = 180^\circ - \widehat{BAD} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\).