📐 كيف أبين؟
الأشكال الرباعية — 7 و 8

🔧 الأساسيات والأدوات
▱ متوازي الأضلاع
▭ المستطيل
◇ المعين
■ المربع
⌂ شبه المنحرف
⌂ شبه المنحرف متقايس الضلعين
🪁 الطائرة الورقية
📋 جدول الخصائص المقارن
📐

كيف أبين طبيعة الأشكال الرباعية؟

28 سؤالاً وجواباً موافقاً لبرنامج السنة 7 و 8
باستخدام المسطرة والبركار والمنقلة والمسطرة الزاوية فقط

اختر سؤالاً من القائمة للبدء!

📏 ما الأدوات التي أستخدمها في البرهان؟
🔧 أدواتي الأساسية في البرهان:

📏 المسطرة: لقياس أطوال الأضلاع والتحقق من التساوي

📐 المسطرة الزاوية (الإسقيل): للتحقق من التوازي والتعامد

🔵 البركار: لقياس المسافات ورسم الدوائر والتحقق من التساوي

📣 المنقلة: لقياس الزوايا بالدرجات

بماذا أثبت كل خاصية؟

📏 تساوي الأضلاع: أقيس بالمسطرة أو أفتح البركار على طول أحدهما وأتحقق من الآخر

📐 توازي ضلعين: أضع الإسقيل على أحدهما وأحرّك المسطرة لأرى إذا كان الآخر متوازياً

📐 تعامد ضلعين: أضع الإسقيل في الزاوية وأتحقق أن الزاوية قائمة تماماً (90°)

📣 تساوي الزوايا: أقيس بالمنقلة وأقارن

✂️ تقاطع القطرين في المنتصف: أقيس كل نصف بالمسطرة

أساسي
🎯 كيف أختار طريقة البرهان المناسبة؟
الخطوة 1 — أنظر إلى المعطيات:

ماذا أعرف عن الشكل؟ أضلاع؟ زوايا؟ قطران؟

الخطوة 2 — أحدد الهدف:

ما نوع الشكل الذي يُطلب مني إثباته؟

ما هي الخصائص الضرورية لهذا الشكل؟

الخطوة 3 — أختار المسار الأقصر:

🔹 المعطيات تتعلق بالأضلاع؟ → أستخدم طريقة الأضلاع

🔹 المعطيات تتعلق بالزوايا؟ → أستخدم طريقة الزوايا

🔹 المعطيات تتعلق بالقطرين؟ → أستخدم طريقة القطرين

💡 نصيحة:

دائماً ارسم الشكل أولاً وضع عليه المعطيات بسهام وعلامات تساوي

أساسي
⚠️ ما الأخطاء الشائعة التي يجب تجنبها؟
❌ الخطأ 1: قول "الشكل مستطيل لأنه يبدو مستطيلاً"
✅ يجب قياس الزوايا بالمنقلة أو التحقق منها بالإسقيل
❌ الخطأ 2: إثبات خاصية واحدة فقط وإهمال الباقي
✅ يجب التحقق من جميع الشروط اللازمة للتعريف
❌ الخطأ 3: الخلط بين الأضلاع المتجاورة والمتقابلة
✅ الأضلاع المتقابلة لا تشتركان في رأس
❌ الخطأ 4: قياس القطر بدلاً من الضلع أو العكس
✅ القطران هما الخطان الواصلان بين الرؤوس المتقابلة
⚠️ إذا أثبتَّ أن الشكل متوازي أضلاع، فلا تنسَ التحقق هل هو مستطيل أو معين أو مربع!
أساسي
📐 بالتعريف: كيف أبين أن الأضلاع المتقابلة متوازية؟
التعريف: متوازي الأضلاع هو رباعي أضلاعه المتقابلة متوازية
ما يجب إثباته: AB // CD و AD // BC
🔵 الخطوة 1 — أتحقق من أن AB // CD:

أضع الإسقيل بحيث ضلعه الأول يكون على AB

أحرّك المسطرة على امتداد CD

إذا بقي الإسقيل مضبوطاً على CD ← AB // CD ✓

🔵 الخطوة 2 — أتحقق من أن AD // BC بنفس الطريقة
✅ إذا أثبتُّ AB // CD و AD // BC → ABCD متوازي أضلاع
💡 طريقة أخرى بالزوايا:

إذا قاستِ الزوايا المتناظرة (بالمنقلة) قيماً متساوية، فالضلعان متوازيان

متوسط
📏 بالأضلاع المتقابلة: كيف أبين أنها متساوية؟
النظرية: إذا كانت الأضلاع المتقابلة في رباعي متساوية فهو متوازي أضلاع
ما يجب إثباته: AB = CD و AD = BC

أقيس بالمسطرة طولَ كل ضلع

أو أفتح البركار على طول AB وأتحقق أنه يساوي CD

ثم أفعل الشيء نفسه لـ AD و BC

AB = CD = ......سم    و    AD = BC = ......سم
← إذن ABCD متوازي أضلاع
⚠️ تأكد أنك قست الأضلاع المتقابلة (لا تشتركان في رأس)، وليس المتجاورة!
متوسط
⚖️ بزوج واحد: كيف يكفي زوج واحد متوازٍ ومتساوٍ؟
النظرية الذهبية: إذا كان في رباعي زوج من الأضلاع المتقابلة متوازياً ومتساوياً في الوقت نفسه، فهو متوازي أضلاع
مثلاً: أثبت أن AB // CD و AB = CD

🔵 التوازي: استخدم الإسقيل والمسطرة

📏 التساوي: قس بالمسطرة أو تحقق بالبركار

AB // CD و AB = CD ← ABCD متوازي أضلاع
✅ هذه أسرع طريقة عند توفر معطيات عن ضلع واحد فقط!
متوسط
✂️ بالقطرين: كيف أبين أنهما يتقاطعان في المنتصف؟
النظرية: إذا تقاطع قطرا رباعي في منتصف كل منهما، فالرباعي متوازي أضلاع
ما يجب إثباته: نقطة التقاطع O هي منتصف كل قطر
🔵 الخطوة 1 — أقيس نصفَي القطر الأول: AO و OC
🔵 الخطوة 2 — أقيس نصفَي القطر الثاني: BO و OD
AO = OC = ......سم
BO = OD = ......سم
← O منتصف AC و O منتصف BD ← ABCD متوازي أضلاع
💡 كيف أتحقق بالبركار؟

أفتح البركار على طول AO وأتحقق أنه يساوي OC بالضبط

ثم نفس الشيء لـ BO و OD

متوسط
📐 بالزوايا المتقابلة: كيف أبين أنها متساوية؟
النظرية: إذا كانت الزوايا المتقابلة في رباعي متساوية فهو متوازي أضلاع
ما يجب إثباته:

∠A = ∠C و ∠B = ∠D

🔵 أقيس الزوايا الأربع بالمنقلة
∠A = ∠C = ......° و ∠B = ∠D = ......°
← ABCD متوازي أضلاع
✅ تحقق دائماً: مجموع الزوايا الأربع = 360°
متوسط
📐 بالتعريف: كيف أبين أن جميع الزوايا قائمة؟
التعريف: المستطيل هو متوازي أضلاع جميع زواياه قائمة (90°)
الطريقة بالإسقيل:

أضع الإسقيل في كل زاوية وأتحقق أنها قائمة تماماً

أو أقيس بالمنقلة: كل زاوية = 90°

💡 اختصار في متوازي الأضلاع:

إذا كانت زاوية واحدة فقط قائمة في متوازي الأضلاع، فجميع الزوايا قائمة تلقائياً!

السبب: في متوازي الأضلاع، الزوايا المتجاورة متكاملة (مجموعها 180°)

إذا كانت إحداها 90°، فالأخرى = 180° − 90° = 90°

∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90° ← ABCD مستطيل
متوسط
📏 بتساوي القطرين: كيف أثبت المستطيل؟
النظرية: إذا كان متوازي الأضلاع له قطران متساويان في الطول فهو مستطيل
🔵 الخطوة 1 — أثبت أن ABCD متوازي أضلاع أولاً
🔵 الخطوة 2 — أقيس طولَ القطرين: AC و BD
AC = BD = ......سم ← ABCD مستطيل
💡 التحقق بالبركار:

أفتح البركار على طول القطر AC

أتحقق أن البركار المفتوح بنفس الفتحة يوافق القطر BD بالضبط

متوسط
📐 بزاوية قائمة واحدة: لماذا تكفي لإثبات المستطيل؟
السبب المنطقي:

في متوازي الأضلاع: الزوايا المتقابلة متساوية، والزوايا المتجاورة متكاملة (مجموعها 180°)

إذا كانت زاوية واحدة = 90°:

→ الزاوية المتقابلة لها = 90°

→ الزاويتان الأخريان = 180° − 90° = 90°

🔵 الخطوة 1 — أثبت أن ABCD متوازي أضلاع
🔵 الخطوة 2 — أتحقق بالإسقيل أن إحدى الزوايا قائمة
ABCD متوازي أضلاع + ∠A = 90° ← ABCD مستطيل
متوسط
📏 بالتعريف: كيف أبين أن جميع الأضلاع متساوية؟
التعريف: المعين هو متوازي أضلاع جميع أضلاعه متساوية
ما يجب إثباته: AB = BC = CD = DA

أقيس الأضلاع الأربعة بالمسطرة أو بالبركار

💡 اختصار في متوازي الأضلاع:

يكفي إثبات أن ضلعين متجاورين متساويان!

لأن في متوازي الأضلاع: الأضلاع المتقابلة متساوية أصلاً

فإذا كان AB = BC، فسيكون AB = BC = CD = DA

AB = BC = CD = DA = ......سم ← ABCD معين
متوسط
⊥ بتعامد القطرين: كيف أبين أن القطرين متعامدان؟
النظرية: إذا كان متوازي الأضلاع له قطران متعامدان فهو معين
🔵 الخطوة 1 — أثبت أن ABCD متوازي أضلاع
🔵 الخطوة 2 — أتحقق أن القطرين متعامدان
كيف أتحقق من التعامد؟

أضع الإسقيل في نقطة تقاطع القطرين O

إذا انطبق كل ضلع من الإسقيل على قطر ← القطران متعامدان ✓

أو أقيس الزاوية في O بالمنقلة: إذا كانت 90° ← متعامدان ✓

ABCD متوازي أضلاع + AC ⊥ BD ← ABCD معين
متوسط
📏 بضلعين متجاورين: لماذا يكفيان لإثبات المعين؟
في متوازي الأضلاع يكفي إثبات أن ضلعين متجاورين متساويان

مثلاً: إذا أثبتُّ أن AB = BC

فلأن ABCD متوازي أضلاع: AB = CD و BC = DA

إذن AB = BC = CD = DA

🔵 الخطوة 1 — أثبت أن ABCD متوازي أضلاع
🔵 الخطوة 2 — أقيس AB و BC: إذا تساويا ← ABCD معين
ABCD متوازي أضلاع + AB = BC ← ABCD معين
متوسط
🟫 بالتعريف: كيف أبين أنه مستطيل ومعين في نفس الوقت؟
التعريف: المربع = متوازي أضلاع + جميع الأضلاع متساوية + جميع الزوايا قائمة
الطريقة المنهجية:

1️⃣ أثبت أنه مستطيل: متوازي أضلاع + زواياه كلها 90°

2️⃣ أثبت أنه معين: متوازي أضلاع + أضلاعه كلها متساوية

3️⃣ مستطيل + معين = مربع

AB = BC = CD = DA + ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90° ← ABCD مربع
💡 خصائص المربع الكاملة:

✅ الأضلاع الأربعة متساوية

✅ الزوايا الأربع قائمة

✅ القطران متساويان

✅ القطران متعامدان

✅ كل قطر ينصف الزاوية عند طرفيه (45° + 45°)

متقدم
📏 بالقطرين المتساويين والمتعامدين: إثبات المربع
النظرية: إذا كان متوازي الأضلاع له قطران متساويان ومتعامدان فهو مربع
🔵 الخطوة 1 — أثبت أن ABCD متوازي أضلاع
🔵 الخطوة 2 — أقيس القطرين: AC = BD (متساويان)
🔵 الخطوة 3 — أتحقق بالإسقيل: AC ⊥ BD (متعامدان)
متوازي أضلاع + AC = BD + AC ⊥ BD ← ABCD مربع
متقدم
📐 بالأضلاع والزوايا معاً: طريقة مباشرة لإثبات المربع
الطريقة المباشرة بدون المرور بمتوازي الأضلاع:

أقيس الأضلاع الأربعة بالمسطرة: AB = BC = CD = DA

أقيس الزوايا الأربع بالمنقلة (أو الإسقيل): ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°

4 أضلاع متساوية + 4 زوايا قائمة ← ABCD مربع
⚠️ رباعي بأربعة أضلاع متساوية فقط هو معين (وليس بالضرورة مربعاً)
⚠️ رباعي بأربع زوايا قائمة فقط هو مستطيل (وليس بالضرورة مربعاً)
متقدم
📐 بالتعريف: كيف أبين أن الشكل شبه منحرف؟
التعريف: شبه المنحرف هو رباعي له زوج واحد فقط من الأضلاع المتوازية
ما يجب إثباته:

✅ زوج واحد من الأضلاع متوازٍ (مثلاً: AB // CD)

❌ الزوج الآخر غير متوازٍ (AD لا يوازي BC)

🔵 الخطوة 1 — أتحقق بالإسقيل أن AB // CD
🔵 الخطوة 2 — أتحقق بالإسقيل أن AD ليس موازياً لـ BC
AB // CD و AD ∦ BC ← ABCD شبه منحرف
⚠️ إذا كان الزوجان متوازيين معاً ← الشكل متوازي أضلاع وليس شبه منحرف!
متوسط
↔️ بالقاعدة الوسطى: كيف أستخدم هذه الخاصية؟
القاعدة الوسطى: هي القطعة الواصلة بين منتصفَي الضلعين غير المتوازيين
نظرية القاعدة الوسطى في شبه المنحرف ABCD (AB // CD):

إذا كانت M منتصف AD و N منتصف BC:

✅ MN // AB // CD (القاعدة الوسطى موازية للقاعدتين)

طول المنصف = (القاعدة الكبرى + القاعدة الصغرى) ÷ 2

مثال: AB = 6 سم، CD = 10 سم
MN = (6 + 10) ÷ 2 = 8 سم
💡 تطبيق عكسي:

إذا كان MN = 7 سم و AB = 5 سم:

CD = (7 × 2) − 5 = 9 سم

متوسط
📐 بالزوايا المتكاملة: كيف أستخدمها في شبه المنحرف؟
في شبه المنحرف ABCD (AB // CD)، الزوايا في نفس الجهة متكاملة:
∠A + ∠D = 180°    و    ∠B + ∠C = 180°
مثال للتحقق:

∠A = 70°، ∠D = 110° → 70° + 110° = 180° ✓ → AB // CD

∠B = 65°، ∠C = 115° → 65° + 115° = 180° ✓

هل AD // BC؟ نتحقق بالإسقيل → لا ✗

← ABCD شبه منحرف

💡 استخدام للإثبات:

إذا قست الزوايا بالمنقلة ووجدت أن مجموع زاويتين في نفس الجهة = 180°، فالضلعان متوازيان

متوسط
📏 بالتعريف: كيف أبين أن الساقين متساويتان؟
التعريف: شبه المنحرف متقايس الضلعين هو شبه منحرف ساقاه متساويتان
في شبه المنحرف ABCD (AB // CD)، الساقان هما AD و BC

أقيس AD و BC بالمسطرة

أو أتحقق بالبركار: أفتح البركار على AD وأتحقق أنه يساوي BC

🔵 الخطوة 1 — أثبت أن ABCD شبه منحرف
🔵 الخطوة 2 — أقيس الساقين: AD = BC
شبه منحرف + AD = BC ← متقايس الضلعين
متقدم
📐 بزوايا القاعدة: كيف أبين أنها متساوية؟
في شبه المنحرف متقايس الضلعين (AB // CD):

زوايا القاعدة الكبرى متساوية: ∠A = ∠B

زوايا القاعدة الصغرى متساوية: ∠C = ∠D

🔵 أقيس الزوايا الأربع بالمنقلة
∠A = ∠B و ∠C = ∠D ← شبه منحرف متقايس الضلعين
💡 ارتباط الزوايا:

إذا كان ∠A = ∠B = 75°، فإن ∠C = ∠D = 180° − 75° = 105°

مجموع الزوايا = 2×75° + 2×105° = 150° + 210° = 360° ✓

متقدم
📏 بتساوي القطرين: إثبات شبه المنحرف متقايس الضلعين
النظرية: إذا كان شبه المنحرف له قطران متساويان فهو متقايس الضلعين
🔵 الخطوة 1 — أثبت أن ABCD شبه منحرف
🔵 الخطوة 2 — أقيس القطرين AC و BD
🔵 إذا كان AC = BD ← شبه منحرف متقايس الضلعين
AC = BD = ......سم ← متقايس الضلعين
💡 التحقق بالبركار:

أفتح البركار على طول AC وأتحقق أنه يوافق BD

متقدم
📐 بالتعريف: كيف أبين أن الشكل طائرة ورقية؟
التعريف: الطائرة الورقية هي رباعي له زوجان من الأضلاع المتجاورة المتساوية
في ABCD: AB = AD و CB = CD

(الزوجان يشتركان في رأسين: A يجمع AB و AD، و C يجمع CB و CD)

🔵 أقيس الأضلاع الأربعة بالمسطرة
🔵 أتحقق من النمط: AB = AD و CB = CD
AB = AD و CB = CD ← ABCD طائرة ورقية
⚠️ المعين حالة خاصة: عندما تتساوى المجموعتان أيضاً (AB = CB)
متوسط
⊥ بالقطرين: كيف أبين أن أحدهما عمودي وينصف الآخر؟
في الطائرة الورقية ABCD (AB=AD, CB=CD):

✅ القطر AC عمودي على القطر BD

✅ القطر AC ينصف القطر BD (نقطة التقاطع هي منتصف BD)

❌ لكن BD لا ينصف AC بالضرورة

🔵 الخطوة 1 — أتحقق بالإسقيل أن AC ⊥ BD
🔵 الخطوة 2 — أقيس BO و OD وأتحقق أنهما متساويان
AC ⊥ BD و BO = OD ← ABCD طائرة ورقية
متوسط
🔄 بمحور التناظر: إثبات الطائرة الورقية
الطائرة الورقية لها محور تماثل واحد: القطر AC

يمر بالرأسين A وC (حيث تلتقي الأضلاع المتساوية)

B و D متماثلان بالنسبة لهذا المحور

🔵 أطوي الشكل على امتداد AC
🔵 إذا انطبق B على D تماماً ← الشكل طائرة ورقية
💡 بالبركار:

أثبت أن المسافة من B إلى المحور = المسافة من D إلى المحور

وأن كلاهما على نفس المستقيم العمودي على AC

متوسط
📋 مقارنة خصائص جميع الأشكال الرباعية
الخاصية م. الأضلاع مستطيل معين مربع ش. منحرف
الأضلاع المتقابلة متوازية ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ زوج واحد
الأضلاع المتقابلة متساوية ✅ ✅ ✅ ✅ ❌
جميع الأضلاع متساوية ❌ ❌ ✅ ✅ ❌
جميع الزوايا قائمة ❌ ✅ ❌ ✅ ❌
القطران ينصفان بعضهما ✅ ✅ ✅ ✅ ❌
القطران متساويان ❌ ✅ ❌ ✅ ❌
القطران متعامدان ❌ ❌ ✅ ✅ ❌
محاور التناظر 0 2 2 4 0
مرجع
🎯 الاستراتيجية العامة للبرهان: 5 خطوات
🔵 الخطوة 1 — أقرأ وأرسم
أقرأ المسألة جيداً وأرسم الشكل مع كتابة المعطيات عليه بسهام وعلامات تساوي
🔵 الخطوة 2 — أحلل المعطيات
ماذا أعرف؟ أضلاع؟ زوايا؟ قطران؟ توازٍ؟ تعامد؟
🔵 الخطوة 3 — أحدد الشكل المحتمل وشروطه
ما الشكل الذي يُطلب إثباته؟ ما خصائصه الضرورية؟
🔵 الخطوة 4 — أطبق الطريقة خطوة بخطوة
أقيس أو أتحقق من كل خاصية بالأداة المناسبة وأكتب كل نتيجة
🔵 الخطوة 5 — أصيغ الاستنتاج النهائي
أكتب الاستنتاج بوضوح مع ذكر النظرية أو التعريف المستخدم
✅ ارسم دائماً — قس بدل الافتراض — اكتب كل خطوة
❌ لا تفترض ما لم تثبته — لا تقفز خطوات
مرجع
↶ العودة إلى كلّ الفصول