1) ارسم مثلثاً $ABC$ ($AB = 3,5$ ، $A\hat{B}C = 32^\circ$ ، $BC = 4,5$) وارتفاعه $[AH]$.
2) ارسم $\Delta \perp (AH)$ في $A$ والمستقيم $\Delta' // (AB)$ المار من $C$. يتقاطعان في $D$.
ب) بيّن أن $ABCD$ متوازي أضلاع. ج) احسب الزوايا.
المرحلة 1: البحث عن التوازي الأول
بما أن $[AH]$ هو الارتفاع، فإن $(AH) \perp (BC)$.
وبما أن المستقيم $\Delta$ (الذي هو $(AD)$) عمودي أيضاً على $(AH)$ في $A$.
وحسب القاعدة: "المستقيمان العموديان على نفس المستقيم هما متوازيان".
إذن: $(AD) // (BC)$.
المرحلة 2: البحث عن التوازي الثاني
لدينا من المعطيات أن المستقيم $\Delta'$ (الذي هو $(CD)$) موازٍ لـ $(AB)$.
إذن: $(AB) // (CD)$.
الاستنتاج:
بما أن في الرباعي $ABCD$ كل ضلعين متقابلين متوازيان، فهو متوازي أضلاع.
1) أ) ابنِ $ABCD$ إذا كان $AB=2$ ونصف المحيط $7$ و $B\hat{A}D=75^\circ$.
2) هل يمكن بناء $ABCD$ بـ $AB=2, AD=4, BD=7$؟
أ) البحث عن طول الضلع الثاني:
نحن نعلم أن: نصف المحيط = طول الضلع الأول + طول الضلع الثاني.
إذن: $7 = AB + AD$.
نطرح: $AD = 7 - 2 = 5$.
2) هل البناء ممكن؟
في المثلث $ABD$، يجب أن يكون مجموع طولي أي ضلعين أكبر من الضلع الثالث.
لنجمع $AB + AD$: $2 + 4 = 6$.
نلاحظ أن $6$ أصغر من الضلع الثالث $BD$ الذي طوله $7$.
الاستنتاج: لا يمكن بناء هذا المثلث (وبالتالي متوازي الأضلاع) لأن $BD > AB + AD$.
مستطيل $MNPQ$ ($MQ=2, MN=4$). $R$ مناظرة $P$ بالنسبة لـ $(MN)$.
ج) بيّن أن $QMRN$ متوازي أضلاع واحسب مساحته.
1) لماذا هو متوازي أضلاع؟
بما أن $R$ هي مناظرة $P$ بالنسبة لـ $(MN)$، فإن $MN$ هو الموسط العمودي لـ $[PR]$.
إذن المثلثان $MNP$ و $MNR$ متناظران ومتقايسان.
هذا يعني أن $NR = NP$. وبما أن $NP = MQ$ (أضلاع مستطيل)، فإن $NR = MQ$.
وأيضاً $MR = MP$. وبما أن $MP = QN$ (أقطار مستطيل)، فإن $MR = QN$.
بما أن كل ضلعين متقابلين متقايسان، فإن $QMRN$ متوازي أضلاع.
2) حساب المساحة:
قاعدة متوازي الأضلاع هي $MN = 4$.
الارتفاع الموافق لها هو $MQ = 2$.
المساحة = القاعدة $\times$ الارتفاع.
المساحة = $4 \times 2 = 8$.
مثلث $ABC$ قائم في $A$. ابنِ $D$ ليكون $ABCD$ متوازي أضلاع. استنتج أن $(CD) \perp (AC)$.
لدينا $ABCD$ متوازي أضلاع، إذن الضلعان المتقابلان متوازيان.
يعني: $(AB) // (CD)$.
ولدينا من المعطيات أن المثلث $ABC$ قائم في $A$، يعني أن $(AB) \perp (AC)$.
نطبق القاعدة: "إذا كان مستقيمان متوازيين، فإن كل مستقيم عمودي على أحدهما يكون عمودياً على الآخر".
بما أن $(AC) \perp (AB)$ و $(AB) // (CD)$.
إذن حتماً: $(CD) \perp (AC)$.