سلسلة الهندسة: الرباعيات الخاصة (إصلاح شامل)

إثبات طبيعة الرباعي: بما أن النقطتين \(A\) و \(I\) تنتميان إلى الدائرة \(\zeta\) التي مركزها \(M\) وشعاعها \(3\)، فإن \(MA = MI = 3\).
وبما أنهما تنتميان إلى الدائرة \(\zeta'\) التي مركزها \(N\) وشعاعها \(3\)، فإن \(NA = NI = 3\).
نستنتج أن \(MA = MI = NA = NI = 3\). بما أن الرباعي \(AMIN\) له أربعة أضلاع متقايسة، فهو إذن معين.

حساب المحيط: محيط المعين هو قيس الضلع في 4: \(P = 3 \times 4 = 12 \text{ cm}\).

الاستنتاج: من خصائص المعين أن قطريه يتقاطعان في منتصفهما. القطران هنا هما \([MN]\) و \([AI]\). بما أن \(O\) هي منتصف \([MN]\) (معطى)، فهي بالضرورة منتصف \([AI]\).

الاستقامة: في المعين \(ABCD\)، الضلعان المتقابلان متوازيان، إذن \((AD) // (BC)\).
في المعين \(ACBE\)، الضلعان المتقابلان متوازيان، إذن \((AE) // (BC)\).
من نقطة واحدة \(A\)، لا يمكن رسم إلا مستقيم واحد يوازي \((BC)\). إذن المستقيمان \((AD)\) و \((AE)\) منطبقان، مما يعني أن النقط \(A, D, E\) على استقامة واحدة.

المنتصف: من المعين الأول، قيس الضلع هو نفس قيس ضلع المثلث، إذن \(AD = BC\).
من المعين الثاني، \(AE = BC\).
نستنتج أن \(AD = AE\). وبما أن النقط مستقيمة و \(A\) تقع بين \(E\) و \(D\)، فإن النقطة \(A\) هي منتصف \([ED]\).

1) في المستطيل \(ABCD\)، القطران \([AC]\) و \([BD]\) متقايسان ويتقاطعان في منتصفهما \(O\). إذن \(OA = OB = OC = OD\). ومنه نستخلص أن \(OA = OD\).

2) بما أن \(E\) مناظرة \(O\) بالنسبة للمستقيم \((AD)\)، فإن \((AD)\) هو الموسط العمودي للقطعة \([OE]\). بالتالي فإن كل نقطة من \((AD)\) تبعد نفس المسافة عن طرفي القطعة: \(AO = AE\) و \(DO = DE\).

3) بما أن \(OA = OD\) (من الخطوة 1)، فإن الأطوال الأربعة متساوية: \(OA = OD = AE = DE\). الرباعي الذي أضلاعه الأربعة متقايسة هو معين.

4) في المعين \(AEDO\)، القطران متعامدان، إذن \((EO) \perp (AD)\). وبما أن \(ABCD\) مستطيل، فإن \((AB) \perp (AD)\). مستقيمان عموديان على نفس المستقيم هما متوازيان، إذن \((EO) // (AB)\).

طبيعة المثلث \(AME\): بما أن \(AMEL\) مربع، فإن جميع زواياه قائمة، إذن \(\widehat{AME} = 90^\circ\). وبما أن جميع أضلاعه متقايسة، فإن \(AM = ME\).
نستنتج أن \(AME\) مثلث قائم ومتقايس الضلعين في \(M\).

طبيعة المثلث \(SAM\): في المربع، القطران \([AE]\) و \([ML]\) متعامدان ويتقاطعان في منتصفهما \(S\) وهما متقايسان.
تعامد القطرين يعني أن \(\widehat{ASM} = 90^\circ\).
تقايس أنصاف الأقطار يعني أن \(SA = SM\).
نستنتج أن \(SAM\) مثلث قائم ومتقايس الضلعين في \(S\).

1) في المربع \(ABCD\)، القطر \([BD]\) هو منصف للزاوية القائمة \(\widehat{ABC}\). إذن \(\widehat{DBC} = 90^\circ \div 2 = 45^\circ\).

2) بما أن النقط \(D, C, E\) على استقامة واحدة (لأن \(C\) منتصف \([DE]\))، وبما أن \(\widehat{BCD} = 90^\circ\) (زاوية مربع)، فإن الزاوية المجاورة لها \(\widehat{BCE} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\).
من جهة أخرى، لدينا \(CD = BC\) (أضلاع مربع) و \(CD = CE\) (لأن \(C\) منتصف \([DE]\)). إذن \(BC = CE\).
المثلث \(BCE\) إذن قائم ومتقايس الضلعين في \(C\).

3) بما أن المثلث \(BCE\) قائم ومتقايس الضلعين في \(C\)، فإن زوايا القاعدة متقايسة: \(\widehat{CBE} = \widehat{CEB} = (180-90) \div 2 = 45^\circ\).
لنحسب الزاوية \(\widehat{DBE}\):
\(\widehat{DBE} = \widehat{DBC} + \widehat{CBE} = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ\).
إذن المثلث \(BDE\) قائم الزاوية في \(B\).

التناظر المحوري: نعلم أن التناظر المحوري بالنسبة لـ \((BC)\) يترك النقطتين \(B\) و \(C\) ثابتتين (لأنهما تنتميان للمحور)، ويحول \(O\) إلى \(E\).
إذن: صورة \([OC]\) هي القطعة \([EC]\)، وصورة \([BO]\) هي القطعة \([BE]\)، وصورة الزاوية القائمة \(\widehat{BOC}\) هي الزاوية القائمة \(\widehat{BEC}\).

استنتاج المربع: بما أن التناظر المحوري يحفظ الأقاييس، فإن \(BE = BO\) و \(CE = CO\).
وبما أن المثلث \(OBC\) متقايس الضلعين في \(O\)، فإن \(BO = CO\).
بالتالي: \(BO = CO = BE = CE\). الرباعي أضلاعه الأربعة متقايسة، فهو إذن معين.
وحيث أن فيه زاوية قائمة \(\widehat{BOC} = 90^\circ\)، فإن هذا المعين هو مربع.

بما أن \(MNKP\) معين، فإن جميع أضلاعه متقايسة: \(MN = NK = KP = PM\).
في المثلث \(MNP\)، لدينا الضلعان \([MN]\) و \([NP]\) ينتميان لأضلاع المعين، إذن \(MN = NP\).
بالإضافة إلى ذلك، بما أن المعين فيه جميع الأضلاع متساوية، والقطر \([MP]\) يقسمه لمثلثين، فإن المثلث \(MNP\) هو متقايس الضلعين في \(N\). (وإذا كانت زاوية المعين \(60^\circ\) يصبح متقايس الأضلاع).

1) في المعين، كل زاويتين متتاليتين متكاملتان، إذن: \(\widehat{ABC} = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\).

2) القطر في المعين ينصف الزاوية، إذن في المثلث \(ABC\):
\(\widehat{BAC} = \widehat{DAC} = 110^\circ \div 2 = 55^\circ\).
\(\widehat{BCA} = \widehat{DCA} = 55^\circ\).
\(\widehat{ABC} = 70^\circ\).
إذن زوايا المثلث \(ABC\) هي (\(55^\circ, 55^\circ, 70^\circ\)).

1) في المعين، القطران متعامدان \((AC) \perp (BD)\). وبما أن المستقيم \(\Delta\) عمودي أيضاً على \((BD)\)، فإن \(\Delta // (AC)\).

2) الزاوية \(\widehat{DAC} = 50^\circ \div 2 = 25^\circ\). بما أن \(\Delta // (AC)\)، فإن الزاويتين \(\widehat{EDA}\) و \(\widehat{DAC}\) متقايستان بالتبادل الداخلي. إذن \(\widehat{EDA} = 25^\circ\).

بما أن \(ABCE\) معين، فإن أضلاعه متقايسة \(AB = BC = CE = EA = 3\). وبما أن \(ABCD\) شبه منحرف قائم، فإن الارتفاع \(AD=2\). النقطة \(E\) تقع على امتداد \([DC]\) لأن القواعد متوازية. الاستقامة تأتي من كون الشكل يمتلك توازيات تجعل المساقط والمنتصفات تقع على خطوط تناظر مشتركة.

1) المستطيل له 4 زوايا قائمة. إذا تساوى فيه ضلعان متتاليان، تصبح جميع أضلاعه متقايسة. الرباعي الذي له 4 زوايا قائمة و4 أضلاع متقايسة هو مربع.

2) المعين له 4 أضلاع متقايسة. إذا وُجدت فيه زاوية قائمة واحدة، تصبح جميع زواياه قائمة بالضرورة. الرباعي الذي له 4 أضلاع متقايسة و4 زوايا قائمة هو مربع.

أ) نرسم قطعتين متعامدتين طول كل منهما \(3 \text{ cm}\).

ب) الضلع = المحيط \(\div 4 = 14 \div 4 = 3.5 \text{ cm}\).

ج) المساحة = الضلع \(\times\) الضلع. وبما أن \(4 \times 4 = 16\)، فإن طول الضلع هو \(4 \text{ cm}\).