سلسلة الهندسة: متوازي الأضلاع والرباعيات الخاصة

تمرين 1
\(ABC\) مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية \(A\) و \(I\) منتصف \([BC]\).
1) بين أن \((AI)\) هو الموسط العمودي لـ \([BC]\).
2) ارسم النقطة \(D\) بحيث تكون \(I\) منتصف \([AD]\). بين أن \(ABDC\) معين.
3) كيف يجب أن نختار المثلث \(ABC\) لكي يكون \(ABDC\) مربعاً؟
1) بما أن \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\)، فإن البعد \(AB = AC\)، مما يعني أن \(A\) تنتمي للموسط العمودي لـ \([BC]\). وبما أن \(I\) منتصف \([BC]\)، فإن المستقيم المار من \(A\) و \(I\) هو الموسط العمودي لـ \([BC]\).
2) في الرباعي \(ABDC\)، القطران \([BC]\) و \([AD]\) يتقاطعان في منتصفهما \(I\)، فهو متوازي أضلاع. وبما أن قطريه متعامدان (\((AI) \perp (BC)\))، فهو معين.
3) لكي يكون المعين \(ABDC\) مربعاً، يجب أن يكون قطريه متقايسين (\(AD = BC\))، أي أن يكون الموسط \(AI\) مساوياً لنصف القاعدة \(BC\).
تمرين 2
1) ابن مثلثاً \(ABC\) بحيث \(AC = 5 \text{ cm}\) و \(\widehat{BAC} = 40^\circ\) و \(\widehat{ACB} = 70^\circ\).
2) بين أن المثلث \(ABC\) متقايس الضلعين ثم أوجد طول القطعة \([AB]\).
3) لتكن \(E\) منتصف \([BC]\). الموازي لـ \((BC)\) المار من \(A\) والموازي لـ \((AB)\) المار من \(E\) يتقاطعان في \(K\).
بين أن \(ABEK\) متوازي أضلاع. استنتج أن \(EC = AK\).
4) بين أن \(AKCE\) مستطيل.
2) مجموع زوايا المثلث هو \(180^\circ\). إذن \(\widehat{ABC} = 180 - (70 + 40) = 70^\circ\). بما أن \(\widehat{ABC} = \widehat{ACB}\)، فإن المثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية \(A\)، ومنه \(AB = AC = 5 \text{ cm}\).
3) في الرباعي \(ABEK\)، لدينا \((AK) // (BE)\) و \((AB) // (EK)\) حسب المعطيات، إذن هو متوازي أضلاع. ومنه \(AK = BE\). وبما أن \(E\) منتصف \([BC]\)، فإن \(BE = EC\). إذن \(AK = EC\).
4) في الرباعي \(AKCE\)، لدينا \((AK) // (EC)\) و \(AK = EC\)، فهو متوازي أضلاع. وبما أن المثلث متقايس الضلعين و \(E\) منتصف قاعدته، فإن \((AE)\) موسط عمودي، أي \(\widehat{AEC} = 90^\circ\). متوازي أضلاع به زاوية قائمة هو مستطيل.
تمرين 3
\(ABD\) مثلث قائم الزاوية في \(A\). الموازي لـ \((AB)\) المار من \(D\) والموازي لـ \((AD)\) المار من \(B\) يتقاطعان في \(C\).
1) بين أن \(ABCD\) مستطيل.
2) ابن النقطتين \(E\) و \(F\) بحيث تكون النقطة \(B\) منتصف القطعتين \([AE]\) و \([CF]\).
3) بين أن \(ACEF\) معين.
1) الرباعي \(ABCD\) فيه كل ضلعين متقابلين متوازيين فهو متوازي أضلاع. وبما أن به زاوية قائمة في \(A\)، فهو مستطيل.
2) و 3) في الرباعي \(ACEF\)، القطران \([AE]\) و \([CF]\) يتقاطعان في منتصفهما \(B\)، فهو متوازي أضلاع. وبما أن \(ABCD\) مستطيل، فإن قطريه متساويان \(AC = BD\). ومن جهة أخرى \(B\) هي منتصف القطرين، وبما أن \((AB) \perp (AD)\) فإن القطرين متعامدين (في حالة المربع) أو نستخدم خاصية التناظر. (ملاحظة: ليكون معيناً يجب أن يكون القطران \([AE]\) و \([CF]\) متعامدين، وهذا يتحقق لأن \((AB) \perp (BC)\)).
تمرين 4
\(ABCD\) متوازي أضلاع بحيث \((AC) \perp (BC)\). لتكن \(M\) منتصف \([AB]\) و \(N\) منتصف \([CD]\).
1) ماهي طبيعة الرباعي \(MNCB\)؟ علل إجابتك.
2) بين أن \((MN) \perp (AC)\).
3) بين أن الرباعي \(AMCN\) معين.
1) بما أن \(ABCD\) متوازي أضلاع، فإن \((MB) // (NC)\) و \(MB = NC\) (أنصاف أضلاع متقابلة)، إذن \(MNCB\) متوازي أضلاع.
2) بما أن \(MNCB\) متوازي أضلاع، فإن \((MN) // (BC)\). وبما أن \((BC) \perp (AC)\)، فإن \((MN) \perp (AC)\).
3) الرباعي \(AMCN\) هو متوازي أضلاع (بنفس برهان السؤال 1). وبما أن قطريه \([MN]\) و \([AC]\) متعامدان، فهو معين.
تمرين 5
\(OBC\) مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية \(O\).
1) ارسم النقطتين \(A\) و \(D\) بحيث \(A\) منتصف \([OC]\) و \(D\) منتصف \([OB]\) و \(B\) منتصف \([OD]\)؟ (تصحيح: المطلوب بناء \(A\) و \(D\) بحيث \(O\) منتصف \([AC]\) و \([BD]\)).
2) برهن على أن الرباعي \(ABCD\) مستطيل.
1) و 2) في الرباعي \(ABCD\)، القطران \([AC]\) و \([BD]\) يتقاطعان في منتصفهما \(O\)، فهو متوازي أضلاع.
بما أن المثلث \(OBC\) متقايس الضلعين في \(O\)، فإن \(OB = OC\). ومنه فإن أنصاف الأقطار متساوية، أي \(OA = OB = OC = OD\)، مما يعني أن القطرين متقايسان (\(AC = BD\)).
متوازي أضلاع قطراه متقايسان هو مستطيل.
تمرين 6
1) ابن مثلثاً \(ABC\) متقايس الضلعين قمته الرئيسية \(A\) بحيث \(\widehat{ABC} = 45^\circ\).
2) بين أن المثلث \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\).
3) الموازي لـ \((AB)\) المار من \(C\) والموازي لـ \((AC)\) المار من \(B\) يتقاطعان في \(D\). بين أن \(ABDC\) مربع.
2) زوايا القاعدة متساوية، إذن \(\widehat{ACB} = 45^\circ\). زاوية القمة \(\widehat{BAC} = 180 - (45 + 45) = 90^\circ\). إذن هو قائم في \(A\).
3) الرباعي \(ABDC\) هو متوازي أضلاع (كل ضلعين متقابلين متوازيين). وبما أن به زاوية قائمة في \(A\)، فهو مستطيل. وبما أن \(AB = AC\) (متقايس الضلعين)، فإن المستطيل الذي له ضلعان متتاليان متقايسان هو مربع.
تمرين 7
\([AC]\) و \([BD]\) قطران متعامدان لدائرة \(\zeta\) مركزها \(O\). برهن على أن \(ABCD\) مربع.
بما أن \([AC]\) و \([BD]\) قطران للدائرة، فهما يتقاطعان في مركزهما \(O\) وهما متقايسان (\(AC = BD = 2R\)).
بما أن القطرين يتقاطعان في منتصفهما، فالرباعي متوازي أضلاع.
بما أن القطرين متقايسان، فهو مستطيل. وبما أن القطرين متعامدان، فهو معين.
بما أن الرباعي مستطيل ومعين في آن واحد، فهو مربع.