ارسم مثلثاً \(ACD\) متقايس الضلعين في \(A\) وعيّن النقطة \(K\) منتصف \([CD]\).
ابنِ النقطة \(B\) بحيث يكون الرباعي \(ABCD\) متوازي أضلاع.
المستقيم المار من \(B\) والموازي لـ \((AD)\) يقطع \((CD)\) في النقطة \(H\).
1) أ- بيّن أن \(ABHD\) متوازي أضلاع. ب- استنتج أن \(D\) منتصف \([CH]\).
أ- لدينا \((AB) // (DH)\) لأن \((AB) // (CD)\) و \(H \in (CD)\).
ولدينا \((AD) // (BH)\) حسب المعطيات.
إذن الرباعي \(ABHD\) متوازي أضلاع لأن كل ضلعين متقابلين فيه متوازيان.
ب- بما أن \(ABCD\) متوازي أضلاع، فإن \(AB = CD\).
بما أن \(ABHD\) متوازي أضلاع، فإن \(AB = DH\).
نستنتج أن \(CD = DH\). وبما أن \(D \in [CH]\)، فإن \(D\) منتصف \([CH]\).
2) أ- بيّن أن \(ACRD\) معين (حيث \(R\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(D\)). ب- استنتج أن \((AK)\) و \((BR)\) متعامدان.
أ- الرباعي \(ACRD\) فيه القطران \([AR]\) و \([CD]\) يتقاطعان في \(D\) (ليست قاعدة عامة هنا، نحتاج لتعليل أدق من الصورة):
بما أن \(R\) مناظرة \(A\) بالنسبة لـ \(D\)، فإن \(D\) منتصف \([AR]\).
لدينا \(AD = DC\) (المثلث \(ACD\) متقايس الضلعين في \(A\)).
إذن \(DA = DR = DC\). هذا الرباعي يمتلك خصائص المعين إذا كان \(DR=DC=AC\).
3) عيّن النقطة \(O\) من \([HK]\) بحيث \(OK = AB\). أثبت أن \(ABOK\) مستطيل.
لدينا \((AB) // (OK)\) لأن النقطة \(O\) تنتمي للمستقيم \((CD)\).
ولدينا \(OK = AB\) حسب المعطيات.
إذن الرباعي \(ABOK\) متوازي أضلاع.
بما أن \(K\) منتصف القاعدة في مثلث متقايس الضلعين \(ACD\)، فإن \((AK) \perp (CD)\).
إذن الزاوية \(\widehat{AKO}\) قائمة. متوازي أضلاع به زاوية قائمة هو مستطيل.
تمرين عدد 5:
ارسم متوازي أضلاع \(ABCD\) حيث \(\widehat{BAD} = 120^{\circ}\) و \(AD = 4\) و \(AB = 8\).
عيّن \(O\) منتصف \([AB]\).
1) ابنِ \(I\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(D\). بيّن أن \(ABIR\) مستطيل.
(ملاحظة: النقطة \(R\) لم تُذكر في المعطيات الأولية، يفترض أنها مرتبطة بالرسم).
بما أن \(D\) منتصف \([AI]\)، فإن \(AI = 2 \times AD = 2 \times 4 = 8\).
إذن \(AI = AB = 8\).
إذا كان الرباعي متوازي أضلاع وله زاوية قائمة أو أقطار متقايسة، فهو مستطيل.
2) استنتج أن \(B\)، \(I\) و \(O\) على استقامة واحدة.
في المستطيل، المركز هو منتصف القطرين. إذا كانت \(O\) هي منتصف \([AB]\) (وهو ضلع)، نحتاج لمراجعة وضعية النقطة \(O\) في الرسم الأصلي لتحديد الاستقامية بدقة.