هندسة: متوازي الأضلاع (Socrate Design)

تمرين عدد 3:
ارسم متوازي أضلاع \(ABCD\) بحيث \(AB = 4\)، \(AD = 2\) و \(\widehat{ABC} = 60^{\circ}\).
عيّن النقاط \(O\) منتصف \([AC]\)، \(E\) منتصف \([AB]\) و \(F\) منتصف \([CD]\).
1) أ- بيّن أن \(AEFD\) معين.
ب- احسب القيس \(\widehat{EFD}\).
لدينا في متوازي الأضلاع \(ABCD\): \((AB) // (CD)\) و \(AB = CD\).
بما أن \(E\) منتصف \([AB]\) و \(F\) منتصف \([CD]\)، فإن \(AE = \frac{1}{2}AB = 2\) و \(DF = \frac{1}{2}CD = 2\).
إذن \(AE = DF\) و \((AE) // (DF)\)، مما يعني أن \(AEFD\) متوازي أضلاع.
وبما أن \(AD = 2\) و \(AE = 2\)، فإن \(AD = AE\).
متوازي أضلاع له ضلعان متجاوران متقايسان هو معين، إذن \(AEFD\) معين.
بما أن \(ABCD\) متوازي أضلاع، فإن \(\widehat{ADC} = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}\).
في المعين \(AEFD\)، القطر \([ED]\) هو منصف للزاوية \(\widehat{ADF}\)، لكن المطلوب هو الزاوية \(\widehat{EFD}\).
بما أن الزاويتين المتقابلتين في المعين متقايستان، فإن \(\widehat{EFD} = \widehat{EAD}\).
وحيث أن \(\widehat{EAD} = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}\)، فإن \(\widehat{EFD} = 60^{\circ}\).
2) أ- ماهي طبيعة المثلث \(AFD\)؟ علل جوابك.
ب- بيّن أن \(AECF\) معين.
ج- استنتج أن \(O\) منتصف \([EF]\).
أ- في المعين \(AEFD\)، لدينا \(AD = DF = 2\). والزاوية \(\widehat{ADF} = 120^{\circ}\) (لا يمثل مثلثاً متقايس الأضلاع).
ب- لدينا \((AE) // (FC)\) و \(AE = 2\)، \(FC = \frac{1}{2}CD = 2\).
إذن \(AECF\) متوازي أضلاع.
بما أن \(ABCD\) متوازي أضلاع و \(\widehat{B} = 60^{\circ}\)، و \(BC = AD = 2\)، \(EB = 2\)، فإن المثلث \(EBC\) متقايس الأضلاع، ومنه \(EC = 2\).
بما أن \(AE = EC = 2\)، فإن \(AECF\) معين.
ج- في المعين \(AECF\)، القطران \([AC]\) و \([EF]\) يتقاطعان في منتصفهما.
بما أن \(O\) هو منتصف \([AC]\)، فإنه بالضرورة منتصف \([EF]\).
3) المستقيم المار من \(F\) والموازي لـ \((AC)\) يقطع \([AD]\) في نقطة \(K\).
أ- بيّن أن \(AOFK\) مستطيل.
ب- احسب \(OK\).
أ- لدينا \((FK) // (AO)\) (حسب المعطيات).
في المعين \(AECF\)، القطران \((AC) \perp (EF)\)، أي أن \((AO) \perp (OF)\).
كذلك \(F\) منتصف \([CD]\) و \(K\) على \([AD]\) مع التوازي، مما يجعل \(AOFK\) متوازي أضلاع.
بما أن به زاوية قائمة عند \(O\)، فهو مستطيل.
ب- في المستطيل \(AOFK\)، القطران متقايسان، إذن \(OK = AF\).