\(ABC\) مثلث و
\([AH]\) ارتفاعه المنحدر من
\(A\).
1) ابن المستطيلين
\(AHCE\) و
\(AHBD\).
2) بين أن النقاط
\(D\) و
\(A\) و
\(E\) على استقامة واحدة.
3) نضع
\((DH) \cap (AB) = \{I\}\) و
\((EH) \cap (AC) = \{J\}\). بين أن
\((IJ)\) هو الموسط العمودي للقطعة
\([AH]\).
1) البناء يتم برسم الزوايا القائمة والأضلاع المتقابلة المتقايسة.
2) بما أن \(AHBD\) مستطيل، فإن \((DA) // (HB)\) أي \((DA) // (BC)\). وبما أن \(AHCE\) مستطيل، فإن \((AE) // (HC)\) أي \((AE) // (BC)\).
من نقطة واحدة \(A\)، لا يمكن رسم إلا موازٍ واحد لـ \((BC)\)، إذن المستقيمان \((DA)\) و \((AE)\) منطبقان، والنقاط \(D, A, E\) مستقيمة.
3) في المستطيل، القطران يتقاطعان في منتصفهما. إذن \(I\) هي منتصف القطرين \([AH]\) و \([BD]\)، و \(J\) هي منتصف القطرين \([AH]\) و \([CE]\). (تصحيح: القطران في المستطيل \(AHCE\) هما \([AH]\) و \([CE]\)، ومنتصفهما \(J\)). بما أن \(I\) و \(J\) هما نفس النقطة (منتصف \(AH\))، فإن المستقيم \((IJ)\) يمر بمنتصفها.
\(ABCD\) متوازي أضلاع بحيث
\(\widehat{ADC} = 60^\circ\).
لتكن
\(H\) المسقط العمودي لـ
\(C\) على المستقيم
\((CD)\) المنحدر من
\(A\). (تصحيح: المسقط العمودي لـ
\(A\) على
\((CD)\)).
بين أن
\(ABHK\) مستطيل.
بما أن \(H\) هو المسقط العمودي، فإن \((AH) \perp (CD)\). وبما أن \((AB) // (CD)\)، فإن \((AH) \perp (AB)\).
برسم المسقط الثاني \(K\)، نحصل على رباعي زواياه قائمة، مما يجعله مستطيلاً.
1) ارسم مثلثاً
\(ABC\) متقايس الضلعين قمته الرئيسية
\(A\) بحيث
\(\widehat{BAC} = 60^\circ\) وطول
\([AB]\) يساوي
\(5 \text{ cm}\).
2) بين أن المثلث
\(ABC\) متقايس الأضلاع.
3) لتكن
\(I\) منتصف
\([BC]\) و
\(D\) النقطة من
\((AI)\) بحيث
\(AI = ID\).
أ) بين أن الرباعي
\(ABDC\) معين.
ب) بين أن النقاط
\(C\) و
\(D\) و
\(E\) على استقامة واحدة بحيث يكون
\(ABED\) متوازي أضلاع.
2) مثلث متقايس الضلعين بإحدى زواياه \(60^\circ\) هو مثلث متقايس الأضلاع (لأن زوايا القاعدة ستكون \((180-60)/2 = 60^\circ\)).
3) أ) في الرباعي \(ABDC\)، القطران \([BC]\) و \([AD]\) يتقاطعان في منتصفهما \(I\)، فهو متوازي أضلاع. وبما أن \(AB = AC\)، فهو معين.
ب) بما أن \(ABDC\) معين، فإن \((AB) // (CD)\). وبما أن \(ABED\) متوازي أضلاع، فإن \((AB) // (DE)\). إذن النقاط \(C, D, E\) مستقيمة.
\(ABC\) مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية
\(A\) و
\(\Delta\) الموسط العمودي لـ
\([BC]\) يمر بـ
\(A\).
1) بين أن
\(A \in \Delta\).
2) ارسم النقطة
\(D\) على
\(\Delta\) بحيث
\(BD = AB\). بين أن
\(ABDC\) معين.
1) بما أن \(AB = AC\)، فإن \(A\) تبعد نفس البعد عن طرفي القطعة \([BC]\)، إذن هي تنتمي للموسط العمودي \(\Delta\).
2) في الرباعي \(ABDC\)، بما أن \(D \in \Delta\)، فإن \(DB = DC\). وبما أن \(AB = AC\)، وحسب المعطى \(BD = AB\)، نستنتج أن \(AB = AC = CD = DB\).
الرباعي الذي كل أضلاعه متقايسة هو معين.
\(\zeta\) دائرة مركزها
\(O\) و
\(A\) نقطة تنتمي إليها. الموسط العمودي للقطعة
\([OA]\) يقطع
\(\zeta\) في نقطتين
\(B\) و
\(C\).
1) بين أن المثلث
\(OAB\) متقايس الأضلاع.
2) بين أن الرباعي
\(OBAC\) معين.
3) الموازي لـ
\((OB)\) المار من
\(C\) يقطع
\(\zeta\) في نقطة ثانية
\(D\) و
\((OC)\) يقطع
\(\zeta\) في نقطة ثانية
\(E\). بين أن
\(BCDE\) مستطيل.
1) بما أن \(B\) تنتمي للموسط العمودي لـ \([OA]\)، فإن \(BA = BO\). وبما أن \(B\) و \(A\) على الدائرة، فإن \(BO = OA\) (شعاع). إذن \(BO = OA = AB\)، فالمثلث متقايس الأضلاع.
2) بنفس الطريقة \(CO = CA = OA\). إذن \(OB = BA = AC = CO\)، الرباعي معين.
3) في الرباعي \(BCDE\)، القطران هما قطرا الدائرة يتقاطعان في \(O\)، فهما يتقاطعان في منتصفهما ومتقايسان، مما يجعله مستطيلاً.
ابن مستطيلاً
\(ABCD\) في كل حالة من الحالات التالية:
1)
\(AB = 6\) و
\(AD = 4\) بحساب السنتمتر.
2)
\(AB = 5\) و
\(\widehat{BAC} = 30^\circ\).
3)
\(AC = 7\) و
\(\widehat{BAC} = 45^\circ\).
يتم البناء باستخدام المسطرة والكوس (للزوايا القائمة) والمنقلة (للزوايا المعطاة). في الحالة 3، الزاوية \(45^\circ\) مع قطر تجعل المستطيل مربعاً.
ابن معيناً
\(ABCD\) في كل حالة من الحالات التالية:
1)
\(AC = 4\) و
\(BD = 7\) بحساب السنتمتر.
2)
\(AB = 5\) و
\(BD = 7\) بحساب السنتمتر.
3)
\(\widehat{BAD} = 75^\circ\) و
\(AB = 6\) بحساب السنتمتر.
1) نرسم قطرين متعامدين يتقاطعان في منتصفهما.
2) نرسم القطر \(BD\) ثم نفتح البركار بفتحة \(5 \text{ cm}\) لنحدد النقطتين \(A\) و \(C\) من موسط \([BD]\).
3) نرسم الزاوية والضلعين المتقايسين.
ابن مربعاً
\(ABCD\) في كل من الحالتين التاليتين:
1)
\(AB = 6\) بحساب السنتمتر.
2)
\(AC = B = 6\) (تصحيح: القطر يساوي 6) بحساب السنتمتر.
1) نرسم ضلعاً طوله \(6 \text{ cm}\) وزاويتين قائمتين عند طرفيه.
2) نرسم قطرين متعامدين ومتقايسين (\(6 \text{ cm}\)) يتقاطعان في منتصفهما.