\(ABCD\) متوازي أضلاع. عين على
\([AD]\) نقطة
\(M\) وعلى
\([BC]\) نقطة
\(N\) بحيث
\(AM = BN\).
1) بين أن
\(MBND\) متوازي أضلاع.
2) لتكن
\(O\) نقطة تقاطع قطري
\(ABCD\). بين أن النقط
\(M\) و
\(O\) و
\(N\) على استقامة واحدة.
1) في الرباعي \(ABCD\)، لدينا \((AD) // (BC)\)، وبما أن \(M \in [AD]\) و \(N \in [BC]\)، فإن \((MD) // (BN)\).
لدينا \(AD = BC\) (لأنه متوازي أضلاع) و \(AM = BN\) (معطى)، إذن \(AD - AM = BC - BN\)، أي أن \(MD = BN\).
بما أن الضلعين \([MD]\) و \([BN]\) متوازيان ومتقايسان، فإن \(MBND\) متوازي أضلاع.
2) بما أن \(ABCD\) متوازي أضلاع، فإن \(O\) هي منتصف القطر \([BD]\).
بما أن \(MBND\) متوازي أضلاع، فإن قطريه \([BD]\) و \([MN]\) يتقاطعان في منتصفهما.
بما أن \(O\) هي منتصف \([BD]\)، فهي بالضرورة منتصف \([MN]\)، ومنه فإن \(M, O, N\) على استقامة واحدة.
\(ABC\) مثلث.
\(I\) و
\(J\) منتصفا القطعتين
\([AB]\) و
\([AC]\).
1) ارسم النقطتين
\(D\) و
\(E\) بحيث
\(I\) منتصف
\([CD]\) و
\(J\) منتصف
\([BE]\).
2) برهن على أن
\(AEBC\) و
\(ABCD\) هما متوازيا أضلاع.
3) برهن على أن
\(A\) هو منتصف القطعة
\([ED]\).
2) في الرباعي \(AEBC\)، القطران \([AC]\) و \([BE]\) يتقاطعان في منتصفهما \(J\)، إذن هو متوازي أضلاع.
في الرباعي \(ABCD\)، القطران \([AB]\) و \([CD]\) يتقاطعان في منتصفهما \(I\)، إذن هو متوازي أضلاع.
3) بما أن \(AEBC\) متوازي أضلاع، فإن \((AE) // (BC)\) و \(AE = BC\).
بما أن \(ABCD\) متوازي أضلاع، فإن \((AD) // (BC)\) و \(AD = BC\).
نستنتج أن \((AE) // (AD)\) (أي \(E, A, D\) على استقامة واحدة) و \(AE = AD\).
بما أن \(A\) يقع بين \(E\) و \(D\) ولهما نفس البعد عنه، فإن \(A\) منتصف \([ED]\).
\(ABCD\) و
\(AECF\) هما متوازيا أضلاع لهما نفس القطر
\([AC]\).
برهن على أن
\(EBFD\) هو متوازي أضلاع.
بما أن \(ABCD\) متوازي أضلاع، فإن قطريه \([AC]\) و \([BD]\) يتقاطعان في منتصفهما، ولنسمّه \(O\).
بما أن \(AECF\) متوازي أضلاع، فإن قطريه \([AC]\) و \([EF]\) يتقاطعان في منتصفهما.
بما أن القطر \([AC]\) مشترك، فإن \(O\) هي منتصف \([AC]\) وهي أيضاً منتصف \([EF]\).
في الرباعي \(EBFD\)، نلاحظ أن القطرين \([BD]\) و \([EF]\) يتقاطعان في نفس النقطة \(O\)، وهي منتصف كل منهما.
إذن \(EBFD\) متوازي أضلاع لأن قطراه يتقاطعان في منتصفهما.
\(ABCD\) شبه منحرف قاعدتاه
\([AB]\) و
\([CD]\) بحيث
\(CD = 2AB\).
لتكن
\(E\) منتصف القطعة
\([CD]\).
1) بين أن
\([AE]\) و
\([BD]\) لهما نفس المنتصف.
2) لتكن
\(I\) منتصف القطعة
\([BC]\). بين أن
\(I\) هي منتصف القطعة
\([AC]\). (ملاحظة: النص الأصلي به خطأ في الصياغة، سنصلح المطلوب المنطقي).
1) بما أن \(E\) منتصف \([CD]\) و \(CD = 2AB\)، فإن \(CE = ED = AB\).
بما أن \((AB) // (CD)\) فإن \((AB) // (ED)\).
الرباعي \(ABED\) فيه ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان (\(AB = ED\) و \((AB) // (ED)\))، فهو متوازي أضلاع.
بما أنه متوازي أضلاع، فإن قطريه \([AE]\) و \([BD]\) يتقاطعان في منتصفهما.
\(ABCD\) متوازي أضلاع و
\(I\) منتصف
\([BC]\).
1) ارسم النقطة
\(E\) بحيث
\(A*E = I\) (أي
\(I\) منتصف
\([AE]\)).
2) بين أن النقاط
\(D\) و
\(C\) و
\(E\) على استقامة واحدة وأن
\(C\) هي منتصف القطعة
\([DE]\).
بما أن \(I\) منتصف \([BC]\) (معطى) و \(I\) منتصف \([AE]\) (بالبناء)، فإن الرباعي \(ABEC\) متوازي أضلاع لأن قطراه يتقاطعان في منتصفهما.
إذن \((AB) // (CE)\) و \(AB = CE\).
وبما أن \(ABCD\) متوازي أضلاع، فإن \((AB) // (CD)\) و \(AB = CD\).
نستنتج أن \((CD) // (CE)\)، مما يعني أن \(D, C, E\) على استقامة واحدة.
وكذلك \(CD = CE\)، وبما أن \(C\) تقع بين \(D\) و \(E\)، فإن \(C\) منتصف \([DE]\).
\(ABC\) مثلث.
\(M\) و
\(N\) منتصفا الضلعين
\([AB]\) و
\([AC]\) على التوالي.
1) ابن النقطة
\(P\) بحيث يكون الرباعي
\(AMPN\) متوازي أضلاع.
2) بين أن الرباعيين
\(MNCP\) و
\(MNPB\) هما متوازيا أضلاع.
3) بين أن النقاط
\(B\) و
\(P\) و
\(C\) على استقامة واحدة وأن النقطة
\(P\) هي منتصف القطعة
\([BC]\).
2) في \(AMPN\) متوازي أضلاع، إذن \((AN) // (MP)\) و \(AN = MP\). بما أن \(N\) منتصف \([AC]\)، فإن \(AN = NC\). إذن \(NC = MP\) و \((NC) // (MP)\)، مما يجعل \(MNCP\) متوازي أضلاع.
بنفس الطريقة، \((AM) // (NP)\) و \(AM = NP\). بما أن \(M\) منتصف \([AB]\)، فإن \(AM = MB\). إذن \(MB = NP\) و \((MB) // (NP)\)، مما يجعل \(MNPB\) متوازي أضلاع.
3) من \(MNCP\) متوازي أضلاع، لدينا \((PC) // (MN)\). ومن \(MNPB\) متوازي أضلاع، لدينا \((PB) // (MN)\). إذن \((PB) // (PC)\)، فالنقط \(B, P, C\) مستقيمة.
كذلك من التوازي، \(BP = MN\) و \(PC = MN\)، إذن \(BP = PC\)، فـ \(P\) هي منتصف \([BC]\).
\(ABC\) مثلث.
\(I\) و
\(L\) منتصفا الضلعين
\([AB]\) و
\([AC]\) على التوالي.
1) ارسم النقطة
\(D\) بحيث تكون
\(L\) منتصف
\([ID]\).
2) ماهي طبيعة كل من الرباعيين
\(ADCI\) و
\(BIDC\)؟ علل إجابتك.
3) استنتج مما سبق أن
\((BC) // (IL)\) و
\(IL = \frac{BC}{2}\).
2) في الرباعي \(ADCI\)، القطران \([AC]\) و \([ID]\) يتقاطعان في منتصفهما \(L\)، إذن هو متوازي أضلاع.
بما أن \(ADCI\) متوازي أضلاع، فإن \((ID) // (BC)\) ليس مباشراً، لنرى \(BIDC\): \(AD = IC\) و \((AD) // (IC)\)... لنستخدم الموسط العادي: \(BIDC\) هو شبه منحرف... (تصحيح: الرباعي \(ADCI\) متوازي أضلاع إذن \(AI=DC\) و \((AI)//(DC)\). بما أن \(AI=IB\)، فإن \(IB=DC\) و \((IB)//(DC)\)، إذن \(BIDC\) متوازي أضلاع).
3) بما أن \(BIDC\) متوازي أضلاع، فإن \((ID) // (BC)\) و \(ID = BC\).
بما أن \(L\) منتصف \([ID]\)، فإن \(IL = \frac{ID}{2}\)، إذن \(IL = \frac{BC}{2}\).
\(ABC\) مثلث و
\(O\) منتصف القطعة
\([BC]\).
1) ارسم النقطة
\(D\) بحيث
\(A*D = O\) (أي
\(O\) منتصف
\([AD]\)).
2) ماهي طبيعة الرباعي
\(ABDC\) في كل حالة من الحالات التالية:
أ)
\(ABC\) مثلث أي كان؟ ب)
\(ABC\) مثلث قائم الزاوية في
\(A\)؟
ج)
\(ABC\) مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية
\(A\)؟ د)
\(ABC\) مثلث متقايس الضلعين وقائم الزاوية في
\(A\)؟
أ) بما أن القطرين \([BC]\) و \([AD]\) لهما نفس المنتصف \(O\)، فإن \(ABDC\) متوازي أضلاع.
ب) إذا كان قائم الزاوية في \(A\)، فإن متوازي الأضلاع \(ABDC\) له زاوية قائمة، إذن هو مستطيل.
ج) إذا كان متقايس الضلعين في \(A\)، فإن \(AB = AC\). متوازي أضلاع له ضلعان متتاليان متقايسان هو معين.
د) إذا كان قائم الزاوية ومتقايس الضلعين في \(A\)، فإن \(ABDC\) هو مربع (مستطيل ومعين في نفس الوقت).