إصلاح معمق لتمارين الرباعيات الخاصة

2) بما أن \(A\) و \(I\) هما نقطتا تقاطع الدائرتين، فإن النقطة \(A\) تبعد عن \(M\) مسافة الشعاع (\(MA=3\)) وتبعد عن \(N\) مسافة الشعاع (\(NA=3\)). وبالمثل \(MI=3\) و \(NI=3\).

بما أن \(MA = MI = AN = NI = 3\)، فإن الرباعي \(AMIN\) أضلاعه الأربعة متقايسة، فهو معين. قيس محيطه هو \(3 \times 4 = 12 \text{ cm}\).

3) من خصائص المعين أن قطريه يتقاطعان في منتصفهما. القطران هنا هما \([MN]\) و \([AI]\). وبما أن \(O\) هي منتصف \([MN]\) (معطى)، فهي بالضرورة منتصف القطر الآخر \([AI]\).

أ) في المعين \(ABCD\)، الضلعان المتقابلان متوازيان، إذن \((AD) // (BC)\). وفي المعين \(ACBE\)، الضلعان المتقابلان متوازيان، إذن \((AE) // (BC)\).

حسب "مسلمة إقليدس"، من نقطة خارج مستقيم (\(A \notin (BC)\)) لا يمر إلا مستقيم واحد يوازي هذا المستقيم. إذن \((AD)\) و \((AE)\) هما نفس المستقيم، مما يعني أن النقط \(A, D, E\) على استقامة واحدة.

ب) بما أن \(ABCD\) معين، فإن \(AD = BC\). وبما أن \(ACBE\) معين، فإن \(AE = BC\). إذن \(AD = AE\). وبما أن \(A\) تقع بين \(E\) و \(D\) (على نفس الخط)، فإن \(A\) هي منتصف القطعة \([ED]\).

في المعين، جميع الأضلاع متقايسة، إذن \(MN = NP = PK = KM\).

المثلث \(MNP\) فيه الضلعان \([MN]\) و \([NP]\) متقايسان، إذن هو مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية \(N\). (وإذا كانت الزاوية \(60^\circ\) يصبح متقايس الأضلاع).

1) في المستطيل، القطران يتقاطعان في منتصفهما وهما متقايسان، إذن \(OA = OD\).

2) ب) بما أن \(E\) مناظرة \(O\) بالنسبة للمستقيم \((AD)\)، فإن \((AD)\) هو الموسط العمودي لـ \([OE]\). بالتالي \(AE=AO\) و \(DE=DO\). وبما أن \(AO=DO\)، فإن \(AE=AO=DO=DE\). الرباعي أضلاعه متقايسة فهو معين.

ج) في المعين، القطران متعامدان، إذن \((OE) \perp (AD)\). وفي المستطيل \((AB) \perp (AD)\). مستقيمان عموديان على نفس المستقيم هما متوازيان، إذن \((EO) // (AB)\).

في المعين، كل زاويتين متقابلتين متقايستان، إذن \(\widehat{BCD} = 110^\circ\).

مجموع زوايا الرباعي \(360^\circ\)، والزاويتان المتتاليتان متكاملتان (\(180^\circ\)). إذن \(\widehat{ABC} = 180 - 110 = 70^\circ\). ومنه \(\widehat{ADC} = 70^\circ\).

القطر في المعين ينصف الزاوية، إذن \(\widehat{DBC} = 70 \div 2 = 35^\circ\).

1) \(\widehat{IAD} = 50 \div 2 = 25^\circ\) (القطر منصف). في المثلث القائم \(AID\)، \(\widehat{IDA} = 90 - 25 = 65^\circ\).

2) بما أن \((AC) \perp (BD)\) (قطرا معين) و \(\Delta \perp (BD)\) (معطى)، فإن \(\Delta // (AC)\).

بما أن \(\Delta // (AC)\)، فإن الزاويتين \(\widehat{EDA}\) و \(\widehat{DAC}\) متقايستان بالتبادل الداخلي (أو التناظر)، مما يثبت أن المثلث \(AED\) متقايس الضلعين.

بما أن \(ABCE\) معين، فإن \((CE) // (AB)\).

بما أن \(ABCD\) شبه منحرف قاعدتاه \([AB]\) و \([CD]\)، فإن \((CD) // (AB)\).

من نقطة واحدة \(C\)، لا يمر إلا موازٍ واحد لـ \((AB)\)، إذن المستقيمان \((CE)\) و \((CD)\) منطبقان، ومنه النقطة \(E\) تنتمي للمستقيم \((CD)\).

1) المستطيل زواياه قائمة. إذا تساوى فيه ضلعان متتاليان، تصبح كل أضلاعه متقايسة. الرباعي الذي كل أضلاعه متقايسة وزواياه قائمة هو مربّع.

2) المعين أضلاعه متقايسة. إذا احتوى على زاوية قائمة، فإن كل زواياه تصبح قائمة (لأن كل زاويتين متقابلتين متقايستان والمتتاليتين متكاملتان). الرباعي الذي أضلاعه متقايسة وزواياه قائمة هو مربّع.

أ) نرسم ضلعاً طوله \(3 \text{ cm}\) وزاويتين قائمتين بالكوس.

ب) طول الضلع = المحيط \(\div 4 = 14 \div 4 = 3.5 \text{ cm}\).

ج) بما أن مساحة المربع = الضلع \(\times\) الضلع، وحيث أن \(4 \times 4 = 16\)، فإن طول الضلع يجب أن يكون \(4 \text{ cm}\).

1) المثلث \(AME\): بما أن \(AMEL\) مربع، فإن الزاوية \(\widehat{AME}\) قائمة (\(90^\circ\)) والأضلاع متقايسة (\(AM = ME\)). إذن \(AME\) هو مثلث قائم ومتقايس الضلعين في \(M\).

2) المثلث \(SAM\): في المربع، القطران متقايسان، متعامدان ويتقاطعان في منتصفهما (المركز \(S\)).

بما أن القطرين متعامدان، فإن الزاوية \(\widehat{ASM}\) قائمة. وبما أن \(S\) منتصف القطرين المتقايسين، فإن \(SA = SM\). إذن \(SAM\) هو مثلث قائم ومتقايس الضلعين في \(S\).

1) في المربع، القطر \([BD]\) ينصف الزاوية القائمة \(\widehat{ADC}\) والزاوية \(\widehat{ABC}\). إذن \(\widehat{DBC} = 90 \div 2 = 45^\circ\).

2) المثلث \(BCE\): بما أن \(\widehat{BCD}\) قائمة (زاوية مربع)، فإن الزاوية المجاورة لها \(\widehat{BCE}\) قائمة أيضاً لأن \(D, C, E\) على استقامة واحدة (\(180 - 90 = 90^\circ\)).

بما أن \(C\) منتصف \([DE]\)، فإن \(CD = CE\). وبما أن \(ABCD\) مربع، فإن \(CD = BC\). إذن نستنتج أن \(BC = CE\). بالتالي المثلث \(BCE\) هو قائم ومتقايس الضلعين في \(C\).

3) المثلث \(BDE\): في المثلث \(BCE\)، الزاويتان في القاعدة هما \(\widehat{CBE} = \widehat{CEB} = 45^\circ\). إذن \(\widehat{DBE} = \widehat{DBC} + \widehat{CBE} = 45 + 45 = 90^\circ\). المثلث \(BDE\) هو قائم في \(B\).

أ) نرسم المسقط العمودي لـ \(O\) على \((BC)\) (وهو النقطة \(I\) لأن المثلث متقايس الضلعين)، ثم نمدد المستقيم بمسافة \(IE = IO\).

ب) بما أن التناظر المحوري يحفظ المسافات والزوايا: صورة النقطة \(O\) هي \(E\)، وصورة \(B\) هي \(B\)، وصورة \(C\) هي \(C\). إذن:
صورة \([OC]\) هي \([EC]\)، وصورة \([BO]\) هي \([BE]\)، وصورة الزاوية \(\widehat{BOC}\) هي الزاوية \(\widehat{BEC}\) وقيسها \(90^\circ\).

ج) الاستنتاج: الرباعي \(OBEC\) فيه \(OB = OC\) (معطى). ومن التناظر \(OB = BE\) و \(OC = CE\). إذن \(OB = BE = EC = CO\)، فالرباعي معين. وبما أن فيه زاوية قائمة \(\widehat{BOC} = 90^\circ\)، فإن المعين الذي به زاوية قائمة هو مربع.