هندسة: الرباعيات الخاصة

تمرين عدد 2:
ارسم مثلثاً \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\)، وعيّن \(I\) منتصف \([BC]\).
المستقيم المار من \(A\) والموازي لـ \((BC)\) يقطع المستقيم المار من \(I\) والموازي لـ \((AB)\) في \(J\).
1) بيّن أن \(ABIJ\) متوازي أضلاع.
لدينا حسب المعطيات: \((AJ) // (BI)\) (لأن \((AJ) // (BC)\) و \(I \in [BC]\)).
ولدينا أيضاً: \((IJ) // (AB)\).
بما أن كل ضلعين متقابلين في الرباعي \(ABIJ\) متوازيان،
فإن \(ABIJ\) متوازي أضلاع.
2) بيّن أن \((AI) \perp (BC)\).
بما أن المثلث \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\)،
و بما أن \(I\) هو منتصف القاعدة \([BC]\)،
فإن المستقيم \((AI)\) هو الموسط العمودي لـ \([BC]\).
بالتالي فإن \((AI) \perp (BC)\).
3) بيّن أن \(AJCI\) مستطيل.
من السؤال الأول، \(ABIJ\) متوازي أضلاع، إذن \(AJ = BI\).
وبما أن \(I\) منتصف \([BC]\)، فإن \(BI = IC\).
نستنتج أن \(AJ = IC\).
وبما أن \((AJ) // (IC)\)، فإن الرباعي \(AJCI\) متوازي أضلاع.
ولدينا \((AI) \perp (BC)\) (من السؤال الثاني)، أي أن الزاوية \(\widehat{AIC}\) قائمة.
متوازي أضلاع به زاوية قائمة هو مستطيل، إذن \(AJCI\) مستطيل.
4) المستقيم \((AC)\) يقطع \((IJ)\) في \(M\). المستقيم المار من \(I\) والموازي لـ \((AC)\) يقطع \((AB)\) في \(N\). بيّن أن \(AMIN\) معين.
لدينا \((IN) // (AM)\) (حسب المعطيات) و \((IM) // (AN)\) (لأن \((IJ) // (AB)\)).
إذن الرباعي \(AMIN\) متوازي أضلاع.
في المثلث \(ABC\)، المستقيم \((IM)\) يمر من منتصف \([BC]\) وموازٍ لـ \([AB]\)، إذن \(M\) منتصف \([AC]\).
بالتالي \(AM = \frac{1}{2} AC\).
كذلك المستقيم \((IN)\) يمر من منتصف \([BC]\) وموازٍ لـ \([AC]\)، إذن \(N\) منتصف \([AB]\).
بالتالي \(AN = \frac{1}{2} AB\).
بما أن \(AB = AC\) (المثلث متقايس الضلعين)، فإن \(AN = AM\).
متوازي أضلاع له ضلعان متجاوران متقايسان هو معين، إذن \(AMIN\) معين.