ابنِ دائرة \(\mathcal{C}\) مركزها \(O\) وعيّن عليها نقطة \(A\).
ثم ابنِ \(\Delta\) الموسط العمودي لـ \([OA]\).
\(\Delta\) يقطع \(\mathcal{C}\) في نقطتين مختلفتين \(B\) و \(D\).
1) بيّن أن \(OBAD\) معين.
لدينا \(\Delta\) هو الموسط العمودي لـ \([OA]\).
بما أن \(B \in \Delta\)، فإن \(BO = BA\).
وبما أن \(D \in \Delta\)، فإن \(DO = DA\).
وبما أن \(B\) و \(D\) ينتميان إلى الدائرة \(\mathcal{C}\) التي مركزها \(O\)، فإن \(OB = OD\).
من هذه المعطيات نستنتج أن: \(OB = BA = AD = DO\).
إذن، الرباعي \(OBAD\) معين لأن جميع أضلاعه متقايسة.
2) أ- بيّن أن \(BDMN\) مستطيل.
(\((OB)\) يقطع \(\mathcal{C}\) في نقطة ثانية \(M\) و \((OD)\) يقطع \(\mathcal{C}\) في نقطة ثانية \(N\))
لدينا \([BM]\) و \([DN]\) هما قطران في الدائرة \(\mathcal{C}\).
إذن القطران \([BM]\) و \([DN]\) لهما نفس المنتصف وهو المركز \(O\).
هذا يعني أن الرباعي \(BDMN\) متوازي أضلاع.
وبما أن \([BM]\) و \([DN]\) قطران في نفس الدائرة، فإن \(BM = DN\).
متوازي أضلاع قطراه متقايسان هو مستطيل.
إذن \(BDMN\) مستطيل.
ب- استنتج أن \((OA) // (BN)\).
في المعين \(OBAD\)، القطران \((OA)\) و \((BD)\) متعامدان.
بما أن \(BDMN\) مستطيل، فإن الزاوية \(\widehat{NBD}\) قائمة، أي \((BN) \perp (BD)\).
لدينا إذن: \((OA) \perp (BD)\) و \((BN) \perp (BD)\).
المستقيمان العموديان على نفس المستقيم متوازيان.
إذن \((OA) // (BN)\).
3) بيّن أن \(OABN\) معين.
لدينا \((OA) // (BN)\) (من السؤال السابق).
وبما أن \(N\) و \(B\) على الدائرة \(\mathcal{C}\)، فإن \(OB = ON\).
في المعين \(OBAD\)، لدينا \(OA = OB\).
إذن \(OA = OB = ON\).
بما أن \((OA) // (BN)\) و \(OA = BN = \text{radius}\)، فإن الرباعي متوازي أضلاع.
وبما أن \(OA = OB\)، فإنه معين.