متوازي الأضلاع

دفواراتي 8 أساسي
المستطيل والمعين
تمرين 5

أ) أرسم مستطيلا RANG بحيث AR=4 و RG=2. المستقيم المار من R والموازي للمستقيم (AG) يقطع المستقيم (NG) في نقطة E.

  1. بين أن الرباعي RAGE متوازي أضلاع.
  2. استنتج ان G منتصف [EN] وان RE=RN.
  3. عين النقطة F بحيث يكون G منتصف [RF] بين ان RNFE معين.
  4. استنتج ان AG=NF.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

1) لإثبات أنه متوازي أضلاع، استخدم تعريف التوازي. لديك زوج من الأضلاع المتوازية من المعطيات، ماذا عن الزوج الآخر؟
2) فكر في مبرهنة المنتصفين في المثلث REN.
3) لإثبات أن رباعي معين، أثبت أن أقطاره متعامدة وتتقاطع في منتصفها.

📝 الطريقة

  1. (RE)//(AG) معطى. بما أن RANG مستطيل، فإن (RA)//(GN). بما أن E تنتمي لـ (GN)، فإن (RA)//(GE). إذن RAGE له ضلعان متقابلان متوازيان.
  2. في المثلث REN، G منتصف [RN] (لماذا؟) و (AG)//(RE). حسب مبرهنة طالس العكسية، A منتصف [EN].
  3. في الرباعي RNFE، الأقطار هي [RF] و [NE]. G منتصف [RF] (معطى). G منتصف [NE] (مبرهن). الأقطار تتقاطع في منتصفها G. لإثبات أنه معين، يجب إثبات أن الأقطار متعامدة أو أن ضلعين متجاورين متقايسان.

✅ الحل الكامل

  1. لدينا (RE)//(AG) (معطى). وبما أن RANG مستطيل، فإن (RA)//(NG). إذن الرباعي RAGE له كل ضلعين متقابلين متوازيان، فهو متوازي أضلاع.
  2. في متوازي الأضلاع RAGE، لدينا (RG) // (AE) و $RG = AE = 2$. بما أن G منتصف [RN]، فإن $RN = 2RG = 4$. وفي متوازي الأضلاع RAGE، $RE = AG$. بما أن RANG مستطيل، $AG = \sqrt{AR^2+RG^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20}$. إذن $RE = \sqrt{20}$. لم نثبت أن $RE=RN$. هناك خطأ في الاستنتاج المقترح.
  3. لدينا G منتصف [RF] و G منتصف [NE]. إذن RNFE متوازي أضلاع.
  4. بما أن RAGE متوازي أضلاع، $AG=RE$. وبما أن RNFE متوازي أضلاع، $NF=RE$. إذن $AG=NF$.
الوسيط والمستقيم الموازي
تمرين 6

أ) ارسم مثلثا ABC متقايس الضلعين قمته الرئيسية A. المستقيم Δ المتوسط العمودي للقطعة [BC] و I منتصف [BC].

  1. عين النقطة D من نصف المستقيم [AI) بحيث ID=IA.
  2. بين أن الرباعي ABDC معين.
  3. ابن المستقيم 'Δ المار من A والموازي للمستقيم (BC) والمستقيم "Δ المار من C والموازي لـ 'Δ ويتقاطعان في M. بين أن AMCI مستطيل.
  4. استنتج أن AM=IB و أن AB=IM. ما هي طبيعة الرباعي AMIB على جوابك.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

2) لإثبات أنه معين، أثبت أنه متوازي أضلاع له قطران متعامدان.
3) لإثبات أنه مستطيل، أثبت أنه متوازي أضلاع له زاوية قائمة.
4) استخدم خصائص الأشكال التي أثبتتها للمقارنة بين الأطوال.

📝 الطريقة

  1. لدينا I منتصف [BC] و I منتصف [AD]، إذن ABDC متوازي أضلاع. بما أن ABC متقايس الضلعين في A، فإن المتوسط [AI] عمودي على [BC]. إذن الأقطار متعامدة.
  2. (AM)//(IC) لأن ('Δ)//(BC). و (MC)//(AI) لأن ("Δ)//(Δ). إذن AMCI متوازي أضلاع. وبما أن (AI) ⊥ (IC)، فلديه زاوية قائمة.
  3. من المستطيل AMCI، $AM=IC$. وبما أن I منتصف BC، $IC=IB$. إذن $AM=IB$.

✅ الحل الكامل

  1. الرباعي ABDC له قطران [AD] و [BC] يتقاطعان في منتصفهما I، فهو متوازي أضلاع. في المثلث المتقايس الضلعين ABC، المتوسط [AI] هو أيضا ارتفاع، إذن (AI)⊥(BC). متوازي الأضلاع ABDC له قطران متعامدان، فهو معين.
  2. لدينا (AM)//(BC) و I على (BC)، إذن (AM)//(IC). ولدينا (MC)//('Δ) و (AI) على 'Δ، إذن (MC)//(AI). الرباعي AMCI له أضلاع متقابلة متوازية، فهو متوازي أضلاع. بما أن (AI)⊥(BC)، فإن $\widehat{AIC}=90^\circ$. متوازي أضلاع بزاوية قائمة هو مستطيل.
  3. بما أن AMCI مستطيل، $AM=IC$. وبما أن I منتصف [BC]، $IC=IB$. إذن AM=IB. وبما أن ABDC معين، $AB=AC$. وبما أن AMCI مستطيل، $AC=IM$. إذن AB=IM. الرباعي AMIB له ضلعان متقابلان [AM] و [IB] متوازيان ومتقايسان، فهو متوازي أضلاع.