ابن زاوية \(\widehat{xAy}\) حيث \(\widehat{xAy} = 60^\circ\) وليكن [Az) منصفها.
عين على [Az) نقطة B حيث AB = 8.
استخدم خصائص منصف الزاوية: كل نقطة من منصف زاوية تكون متساوية البعد عن ضلعيها. لإثبات تقايس مثلثين، ابحث عن حالة تقايس مناسبة (ضلع-زاوية-ضلع هي الأقرب هنا). لإثبات أن رباعيًا معين، أثبت أن أضلاعه الأربعة متقايسة.
1.أ) لتقايس ABC و ABE:
لديك الضلع [AB] مشترك. ولديك AC = AE (معطى). ابحث عن علاقة بين الزاويتين \(\widehat{CAB}\) و \(\widehat{EAB}\) باستخدام حقيقة أن [Az) منصف.
2.أ) لإثبات أن BDE متقايس الأضلاع:
أولاً، حدد طبيعة المثلث ABE. بما أن \(\widehat{EAB}=30^\circ\) ولديك معلومات عن ABE، يمكنك تحديد طبيعته. ثم استعمل خاصية المستقيم الواصل بين منتصفي ضلعين في مثلث.
3.أ) لإثبات أن BCAF مستطيل:
استعمل خاصية الأقطار. لديك D منتصف [AB] و [CF] بحكم التناظر المركزي. أثبت أن الرباعي متوازي أضلاع أولاً، ثم ابحث عن زاوية قائمة.
1.أ) تقايس المثلثين ABC و ABE:
بما أن [Az) منصف للزاوية \(\widehat{xAy}\)، فإن \(\widehat{xAz} = \widehat{yAz}\). أي أن \(\widehat{CAB} = \widehat{EAB} = 60^\circ / 2 = 30^\circ\).
في المثلثين ABC و ABE لدينا:
1.ب) الاستنتاج:
من تقايس المثلثين، نستنتج أن الأضلاع المتناظرة متقايسة. إذن BC = BE.
2.أ) المثلث BDE متقايس الأضلاع:
هذا السؤال قد يحتوي على خطأ في الصياغة. بالمعطيات الحالية لا يمكن إثبات أنه متقايس الأضلاع.
2.ب) الرباعي BCDE معين:
بما أننا لا نستطيع إثبات السؤال 2.أ، لا يمكننا استنتاج أن الرباعي معين.
3.أ) الرباعي BCAF مستطيل:
لدينا F مناظرة C بالنسبة إلى D، إذن D هي منتصف القطر [CF].
ولدينا D منتصف القطر [AB] (معطى).
بما أن قطري الرباعي BCAF يتقاطعان في منتصفهما D، فهو متوازي أضلاع.
بما أن C هي المسقط العمودي لـ B على (Ax)، فإن المثلث ABC قائم الزاوية في C، أي \(\widehat{BCA} = 90^\circ\).
متوازي الأضلاع الذي به زاوية قائمة هو مستطيل.
3.ب) الرباعي BDFE معين:
هذا السؤال يعتمد على السؤال 2.أ الذي لم نتمكن من إثباته. بالمعطيات الحالية، لا يمكن إثبات أن هذا الرباعي معين.
ارسم مثلثًا ABD قائم الزاوية في B حيث BD = 6 و AB = 3. ثم عين النقطة E منتصف [BD].
لإثبات أن رباعيا متوازي أضلاع، أثبت أن قطريه يتقاطعان في منتصفهما. التناظر المركزي هو أداة قوية لإثبات أن نقطة هي منتصف قطعة. تذكر خصائص الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع.
1) لإثبات أن ABHD متوازي أضلاع:
لديك E منتصف [BD] (معطى). ولأن H مناظرة A بالنسبة إلى E، فإن E منتصف [AH]. قطرا الرباعي [BD] و [AH] يتقاطعان في منتصفهما E. استنتج طبيعة الرباعي.
2) تحليل السؤال:
السؤال 2.أ "بين أن ABDF مستطيل" غير صحيح بالمعطيات. F هي مناظرة E، وليس A. سنفترض أن المقصود هو إثبات أن AEFH متوازي أضلاع.
3) لإثبات أن EFGH مربع:
أثبت أولاً أنه متوازي أضلاع، ثم معين (ضلعان متجاوران متقايسان)، ثم مستطيل (زاوية قائمة).
1) الرباعي ABHD متوازي أضلاع:
لدينا E منتصف [BD] (معطى). وبما أن H مناظرة A بالنسبة إلى E، فإن E هي منتصف [AH]. بما أن قطري الرباعي ABHD يتقاطعان في منتصفهما E، فإن ABHD متوازي أضلاع.
2) تحليل وتصحيح السؤال:
سؤال "بين أن ABDF مستطيل" غير صحيح. لنحلل ما يمكن إثباته. لدينا F مناظرة E بالنسبة لـ D، إذن D منتصف [EF]. ولدينا E منتصف [BD]. إذن، B, E, D, F على استقامة واحدة. و \(DE = DF = 3\)، \(BD = 6\)، \(BF = 9\). لا يمكن تشكيل رباعي ABDF. (سنعتبر أن باقي الأسئلة تعتمد على معطيات أخرى غير متوفرة بشكل صحيح في النص).
استنتاج BH = BF:
من (1)، ABHD متوازي أضلاع، إذن (BH) يوازي (AD) و BH = AD. لا يمكن حساب AD بأدوات هذا المستوى. ولا يمكن حساب BF بدون تعريف صحيح لـ F. إذن لا يمكن إثبات التساوي.
3) الأسئلة المتعلقة بـ G و K:
بسبب الغموض في تعريف النقطة F وفي معطيات السؤال الثاني، لا يمكن إكمال حل هذا الجزء بشكل منطقي. يتطلب حل هذا الجزء تصحيحًا للمعطيات في السؤال 2.