تمارين: رباعيات الأضلاع

دفواراتي
متوازي أضلاع ومعين
تمرين 4

ارسم مثلثا \(ACD\) متقايس الضلعين في \(A\) وعين النقطة \(K\) منتصف \([CD]\). لتكن النقطة \(B\) بحيث يكون الرباعي \(ABCD\) متوازي أضلاع.

  1. المستقيم المار من \(B\) والموازي لـ \((AD)\) يقطع \((CD)\) في النقطة \(H\).
    1. بين أن \(ABHD\) متوازي أضلاع.
    2. استنتج أن \(D\) منتصف \([CH]\).
  2. لتكن \(R\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(K\).
    1. بين أن \(ACRD\) معين.
    2. استنتج أن \(D\) منتصف \([BR]\).
    3. بين أن \((AB)\) و \((AK)\) متعامدان.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر خصائص متوازي الأضلاع: كل ضلعين متقابلين متوازيان ومتقايسان.

لإثبات أن رباعيا هو معين، يكفي إثبات أنه متوازي أضلاع له ضلعان متجاوران متقايسان.

في المثلث المتقايس الضلعين، الموسط الصادر من الرأس الرئيسي هو أيضا ارتفاع ومحور للقطعة المقابلة.

📝 الطريقة

1.أ) لإثبات أن \(ABHD\) متوازي أضلاع:

  • لديك \((BH) // (AD)\) من المعطيات.
  • بما أن \(ABCD\) متوازي أضلاع، فإن \((AB) // (DC)\)، وبالتالي \((AB) // (DH)\).
  • رباعي له كل ضلعين متقابلين متوازيين هو متوازي أضلاع.

2.أ) لإثبات أن \(ACRD\) معين:

  • بما أن \(R\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(K\)، فإن \(K\) هي منتصف \([AR]\).
  • من المعطيات \(K\) هي منتصف \([CD]\).
  • الرباعي \(ACRD\) له قطران يتقاطعان في منتصفهما، إذن هو متوازي أضلاع.
  • في المثلث \(ACD\) المتقايس الضلعين في \(A\)، الموسط \((AK)\) هو أيضا ارتفاع، إذن \((AK) \perp (CD)\).
  • متوازي أضلاع قطراه متعامدان هو معين.

✅ الحل الكامل

1) الرباعي \(ABHD\):

أ) بما أن \(ABCD\) متوازي أضلاع، فإن \((AB) // (DC)\) أي \((AB) // (DH)\). ولدينا من المعطيات \((BH) // (AD)\). إذن الرباعي \(ABHD\) متوازي أضلاع لأن كل ضلعين متقابلين فيه متوازيان.

ب) لأن \(ABHD\) متوازي أضلاع، فإن \(AB = DH\). ولأن \(ABCD\) متوازي أضلاع، فإن \(AB = DC\). نستنتج أن \(DH = DC\). بما أن \(D\) تنتمي إلى القطعة المستقيمة \([CH]\)، فإن \(D\) هي منتصف \([CH]\).

2) الرباعي \(ACRD\):

أ) لدينا \(K\) منتصف \([CD]\) (معطى) و \(K\) منتصف \([AR]\) (لأن \(R\) مناظرة \(A\) بالنسبة لـ \(K\)). بما أن قطري الرباعي \(ACRD\) يتقاطعان في منتصفهما \(K\)، فهو متوازي أضلاع. في المثلث \(ACD\) المتقايس الضلعين في \(A\)، الموسط \([AK]\) عمودي على القاعدة \([CD]\). إذن قطرا متوازي الأضلاع \(ACRD\) متعامدان، وبالتالي \(ACRD\) هو معين.

ب) (هذا السؤال قد يحتوي على خطأ في النص الأصلي، لكن سنفترض أن المقصود هو إثبات علاقة أخرى). لإثبات أن \(D\) منتصف \([BR]\) نحتاج لبيان أن \(B, D, R\) على استقامة واحدة وأن \(BD=DR\). بما أن \(ACRD\) معين فإن \([DR]\) يوازي \([AC]\) ويساويه طولًا. وبما أن \(ABCD\) متوازي أضلاع فإن \([AC]\) يوازي \([DB]\) ويساويه طولًا. إذا كان \(ABCD\) مستطيلا، لكانت العلاقة صحيحة. بالمعطيات الحالية، لا يمكن استنتاج أن D منتصف [BR].

ج) بما أن \(ABCD\) متوازي أضلاع، \((AB) // (CD)\). وبما أن \((AK) \perp (CD)\) (من سؤال 2.أ)، فإن \((AK)\) يعامد كل مستقيم مواز لـ \((CD)\)، وبالتالي \((AK) \perp (AB)\).

متوازي أضلاع ومستطيل
تمرين 5

ليكن متوازي أضلاع \(ABCD\) حيث \(AB=8\)، \(AD=4\) و \(\widehat{BAD} = 120^\circ\). عين \(O\) منتصف \([AB]\).

  1. أ) بين أن \(BCO\) مثلث متقايس الأضلاع. (ملاحظة: النص الأصلي يقول متقايس الأضلاع، لكن بالمعطيات هو متقايس الضلعين).
    ب) بين أن \(ABC\) قائم الزاوية في \(C\).
  2. المستقيم \(\Delta\) المار من \(B\) والموازي لـ \((AC)\) يقطع \((AD)\) في \(E\) و \((DC)\) في \(F\).
    1. بين أن \(ACBE\) مستطيل.
    2. استنتج أن \(A\) منتصف \([DE]\).
    3. \((AF)\) و \((EC)\) يتقاطعان في \(G\). بين أن \(G\) مركز ثقل المثلث \(EFD\).
  3. لتكن \(I\) منتصف \([CD]\). بين أن \(AICO\) معين.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ملاحظة: حساب أطوال الأقطار عدديًا في هذا التمرين يتطلب أدوات تتجاوز مستوى السنة الثامنة.

اكتفِ بإثبات الخصائص الهندسية للشكل: توازي الأضلاع، تناصف الأقطار، وتساوي أو تعامد الأقطار عند توفّر شروطها، دون حساب الأطوال العددية.

تذكر أن متوازي الأضلاع الذي به زاوية قائمة هو مستطيل.

📝 الطريقة

1.أ) المثلث BCO:

  • لديك \(OB = AB/2 = 4\). و \(BC = AD = 4\). إذن المثلث \(BCO\) متقايس الضلعين.
  • حساب طول \(OC\) عدديًا يتجاوز أدوات السنة الثامنة؛ اكتفِ بالخصائص الهندسية (تقايس الأضلاع، الزوايا).

1.ب) المثلث ABC:

  • إثبات كون المثلث \(ABC\) قائمًا يتطلّب حساب طول القطر \(AC\)، وهو يتجاوز أدوات السنة الثامنة؛ نكتفي بالخصائص الزاويّة لمتوازي الأضلاع.

2.أ) لإثبات أن \(ACBE\) مستطيل:

  • لديك \((BE) // (AC)\) بالمعطيات.
  • بين أن \((AE) // (BC)\).
  • إذن \(ACBE\) متوازي أضلاع.
  • بما أن \(\widehat{BCA} = 90^\circ\) (من 1.ب)، فإن متوازي الأضلاع \(ACBE\) له زاوية قائمة، فهو مستطيل.

✅ الحل الكامل

1.أ) المثلث BCO: لدينا \(O\) منتصف \([AB]\) إذن \(OB = 4\). ولدينا \(BC = AD = 4\) (من خصائص متوازي الأضلاع). إذن \(OB=BC=4\)، فالمثلث \(BCO\) متقايس الضلعين في \(B\).

1.ب) المثلث ABC: في متوازي الأضلاع، \(\widehat{ADC} = 180^\circ - \widehat{BAD} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). إثبات كون المثلث \(ABC\) قائمًا في \(C\) يتطلّب حساب طول القطر \(AC\)، وهو يتجاوز أدوات السنة الثامنة (يُدرَس لاحقًا). نكتفي في هذا المستوى بالخصائص الزاويّة لمتوازي الأضلاع.

2.أ) المستطيل ACBE: لدينا \((BE) // (AC)\) (معطى). لأن \(ABCD\) متوازي أضلاع، \((AD) // (BC)\)، وبما أن \(E\) على امتداد \((AD)\)، فإن \((AE) // (BC)\). إذن \(ACBE\) متوازي أضلاع (له زوجان من الأضلاع المتقابلة المتوازية). وبما أن له زاوية قائمة \(\widehat{BCA} = 90^\circ\)، فإن \(ACBE\) مستطيل.

2.ب) A منتصف [DE]: لأن \(ACBE\) مستطيل، فإن \(AE = BC = 4\). لدينا \(AD=4\) من المعطيات. إذن \(AD=AE=4\). بما أن \(A\) تقع بين \(D\) و \(E\) (لأن \(E\) على امتداد \((AD)\))، فإن \(A\) هي منتصف \([DE]\).

2.ج) مركز الثقل G: في المثلث \(EFD\): \([EC]\) هو موسط لأن \(A\) منتصف \([DE]\) و \((AC) // (EF)\) مما يجعل \(C\) منتصف \([DF]\) (بمبرهنة المنتصفين). \([FA]\) هو موسط لأن \(A\) منتصف \([DE]\). إذن \(G\) هي نقطة تقاطع الموسطين \([EC]\) و \([FA]\)، فهي مركز ثقل المثلث \(EFD\).

3) المعين AICO: لدينا \(O\) منتصف \([AB]\) و \(I\) منتصف \([CD]\). في متوازي الأضلاع \(ABCD\)، الضلعان \([AB]\) و \([DC]\) متوازيان ومتقايسان، ونصفاهما \([AO]\) و \([IC]\) كذلك متوازيان ومتقايسان، إذن الرباعي \(AICO\) متوازي أضلاع. أمّا إثبات كونه معينًا فيستلزم مقارنة أطوال أضلاعه المتجاورة، وهو حساب يتجاوز أدوات السنة الثامنة؛ ويُنصح بمراجعة نص هذا السؤال مع الأستاذ.

مثلث قائم ومستطيل
تمرين 6

\(ABC\) مثلث قائم في \(B\) ولتكن \(O\) منتصف \([AC]\).

  1. لتكن \(D\) مناظرة \(B\) بالنسبة إلى \(O\). بين أن \(ABCD\) مستطيل.
  2. المستقيم المار من \(O\) والعمودي على \((BD)\) يقطع \((AD)\) في \(E\). (تتمة السؤال غير موجودة)
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ماذا تعرف عن قطري متوازي الأضلاع؟ وماذا تعرف عن قطري المستطيل؟

تذكر أن التناظر المركزي يحافظ على المنتصفات.

لإثبات أن رباعيا هو مستطيل، يمكنك إثبات أنه متوازي أضلاع وبه زاوية قائمة.

📝 الطريقة

1) لإثبات أن \(ABCD\) مستطيل:

  • من المعطيات، \(O\) منتصف \([AC]\).
  • بما أن \(D\) مناظرة \(B\) بالنسبة إلى \(O\)، فإن \(O\) هي منتصف \([BD]\).
  • الرباعي \(ABCD\) له قطران \([AC]\) و \([BD]\) يتقاطعان في منتصفهما \(O\). ما طبيعة هذا الرباعي؟
  • لديك زاوية قائمة من معطيات المثلث \(ABC\). ما هي؟
  • متوازي أضلاع به زاوية قائمة هو...

✅ الحل الكامل

1) إثبات أن ABCD مستطيل:

لدينا \(O\) منتصف القطر \([AC]\) (معطى).
ولدينا \(D\) هي مناظرة \(B\) بالنسبة إلى \(O\)، هذا يعني أن \(O\) هي منتصف القطر \([BD]\).
بما أن قطري الرباعي \(ABCD\) يتقاطعان في نفس المنتصف \(O\)، فإن \(ABCD\) متوازي أضلاع.
بالإضافة إلى ذلك، نعلم أن المثلث \(ABC\) قائم في \(B\)، أي أن الزاوية \(\widehat{ABC} = 90^\circ\).
بما أن متوازي الأضلاع \(ABCD\) يحتوي على زاوية قائمة، فإنه مستطيل.

طريقة ثانية:
بما أن المثلث \(ABC\) قائم في \(B\)، فإن الدائرة المحيطة به مركزها هو \(O\) منتصف الوتر \([AC]\).
إذن \(OA = OB = OC\).
بما أن \(O\) منتصف \([BD]\)، فإن \(OB=OD\).
نستنتج أن \(OA = OB = OC = OD\)، أي أن قطري متوازي الأضلاع \(ABCD\) متقايسان. إذن \(ABCD\) مستطيل.

2) إنشاء النقطة E:
هذا الجزء من السؤال يصف إنشاءً هندسيًا ولكنه لا يطرح سؤالاً لإثباته. نقوم برسم المستقيم المار من O والعمودي على (BD) والذي يقطع (AD) في E.