تمارين الرياضيات التفاعلية

تمرين عدد 1

نعتبر الشكل التالي حيث $$ I $$ منتصف $$ [BD] $$ و $$ AB = DC $$ ، $(CD) \perp (DB)$ ، $(BD) \perp (AB)$ .

أ. بين أن $$ ABCD $$ متوازي الأضلاع.

تلميح:

مستقيمان عموديان على نفس المستقيم هما مستقيمان متوازيان.

الطريقة:

أثبت أن ضلعين متقابلين في الرباعي متوازيان ومتقايسان.

الحل:

لدينا $(AB) \perp (BD)$ و $(CD) \perp (BD)$ ، إذن $(AB) \parallel (CD)$ .

وبما أن $$ AB = DC $$ ، فإن الرباعي $$ ABCD $$ هو **متوازي أضلاع**.

ب. استنتج أن $$ I $$ منتصف $$ [AC] $$ .

الحل:

في متوازي الأضلاع، القطران يتقاطعان في منتصفهما. بما أن $$ ABCD $$ متوازي أضلاع و $$ I $$ منتصف قطره $$ [BD] $$ ، فإن $$ I $$ هي أيضًا **منتصف القطر $$ [AC] $$ **.

تمرين عدد 2

(1) أ. ابن متوازي الأضلاع $$ ABCD $$ مركزه $$ O $$ حيث $$ AB = 4 $$ ، $\angle OAB = 45°$ و $\angle OBA = 90°$ .

ب. احسب $\angle AOB$ ، $\angle ODC$ ، $$ DC $$ و $$ BD $$ .

تلميح:

مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة. استخدم خصائص التناظر المركزي في متوازي الأضلاع.

الطريقة:

1. احسب $\angle AOB$ من المثلث $$ AOB $$ .

2. استنتج قياسات الزوايا والأضلاع الأخرى باستخدام خصائص متوازي الأضلاع.

3. استنتج بقية الخصائص من كون المثلث $$ AOB $$ متقايس الضلعين وقائمًا (الحساب العددي لطول القطر يتجاوز هذا المستوى).

الحل:

في المثلث $$ AOB $$ : $\angle AOB = 180° - (90° + 45°) = 45°$ .

بما أن $$ ABCD $$ متوازي أضلاع، فإن $\angle ODC = \angle OBA = 90°$ و $$ DC = AB = 4 $$ .

المثلث $$ AOB $$ متقايس الضلعين (لأن $\angle OAB = \angle AOB = 45°$ )، إذن $$ OB = OA $$ . (حساب الطول العددي لـ $ OB $ والقطر يتطلّب أدوات تتجاوز مستوى السنة الثامنة.)

بما أن $$ O $$ منتصف $$ [BD] $$ ، فإن $BD = 2 \times OB$ (قيمته العددية تتجاوز أدوات هذا المستوى).

(2) أ. المستقيم المار من $$ D $$ والموازي لـ $$ (AC) $$ يقطع $$ (AB) $$ في $$ E $$ . بين أن $$ ACDC $$ متوازي الأضلاع.

ب. استنتج أن $$ A $$ منتصف $$ [BE] $$ .

الحل:

أ. في الرباعي $$ ACDC $$ (يبدو أن هناك خطأ مطبعي والمقصود $$ AECD $$ ): لدينا $(DE) \parallel (AC)$ (معطى). ولأن $$ ABCD $$ متوازي أضلاع، فإن $(CD) \parallel (AB)$ أي $(CD) \parallel (AE)$ . إذن $$ AECD $$ هو **متوازي أضلاع**.

ب. بما أن $$ AECD $$ متوازي أضلاع، فإن $$ AE = CD $$ . وبما أن $$ ABCD $$ متوازي أضلاع، فإن $$ AB = CD $$ . نستنتج أن $$ AE = AB $$ . وبما أن النقاط $$ B, A, E $$ على استقامة واحدة، فإن $$ A $$ هي **منتصف $$ [BE] $$ **.