متوازي الأضلاع

إتمام خصائص متوازي الأضلاع
تمرين 1

PLAN متوازي الأضلاع كما في الشكل. أتمم مكان النقط بما يناسب:

متوازي الأضلاع PLAN
  1. المستقيمان (PL) و (AN) .......................
  2. المستقيم (PN) ....................... المستقيم (LA).
  3. NA = ....................... و PN = .......................
  4. $\widehat{PNA} = $ ....................... و $\widehat{NPL} = $ .......................
  5. $\widehat{NAL} + \widehat{ALP} = $ ....................... و $\widehat{PNA} + \widehat{NAL} = $ .......................
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر الخصائص الأساسية لمتوازي الأضلاع:

  • الأضلاع المتقابلة: كيف هي علاقتها ببعضها البعض (توازي وتقايس)؟
  • الزوايا المتقابلة: هل هي متساوية؟
  • الزوايا المتتالية (المتجاورة): ما هو مجموع قياسها؟

📝 الطريقة

  1. الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع تكون متوازية.
  2. نفس الخاصية السابقة.
  3. الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع تكون متقايسة (لها نفس الطول).
  4. الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع تكون متقايسة.
  5. الزوايا المتتالية (التي تتبع بعضها البعض على نفس الضلع) تكون متكاملة، أي مجموعها يساوي 180 درجة.

✅ الحل الكامل

  1. المستقيمان (PL) و (AN) متوازيان.
  2. المستقيم (PN) يوازي المستقيم (LA).
  3. NA = PL و PN = LA.
  4. $\widehat{PNA} = \widehat{PL A}$ و $\widehat{NPL} = \widehat{NAL}$.
  5. $\widehat{NAL} + \widehat{ALP} = 180^\circ$ و $\widehat{PNA} + \widehat{NAL} = 180^\circ$.
إيجاد القياسات المفقودة
تمرين 11

في الأشكال التالية، وبدون استعمال منقلة، حدد القياسات المفقودة في كل شكل، مع العلم أنها تمثل متوازيات أضلاع.

الشكل 1:

الشكل 1

الشكل 2:

الشكل 2
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم نفس خصائص متوازي الأضلاع التي استعملتها في التمرين الأول.

  • الزوايا المتقابلة متقايسة.
  • الزوايا المتتالية متكاملة (مجموعها 180°).
  • الأضلاع المتقابلة متقايسة.

📝 الطريقة

للشكل 1 (LOGO):

  • الزاوية المقابلة لـ 65° هي $\widehat{OGO}$.
  • الزاوية المجاورة لـ 65° هي $\widehat{OLG}$. لحسابها، اطرح 65 من 180.
  • الزاوية الأخيرة هي مقابلة للزاوية التي حسبتها للتو.

للشكل 2 (RITA):

  • الزاوية $\widehat{RTA}$ مقابلة للزاوية $\widehat{RIT}$.
  • الزاوية $\widehat{ITA}$ مجاورة للزاوية $\widehat{RIT}$. مجموعها معها يساوي 180°.
  • الزاوية $\widehat{TAR}$ مقابلة للزاوية $\widehat{TIR}$.

✅ الحل الكامل

الشكل 1 (LOGO):

  • $\widehat{OGO} = \widehat{OLO} = 65^\circ$ (زوايا متقابلة).
  • $\widehat{LOG} = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$ (زوايا متتالية).
  • $\widehat{LGO} = \widehat{LOG} = 115^\circ$ (زوايا متقابلة).

الشكل 2 (RITA):

نفترض أن $\widehat{RIT} = 68^\circ$ و $\widehat{AIR} = 105^\circ$ (غير ممكن هندسيا، سنعتبر الزاوية الداخلية هي $\widehat{RTA}$)

إذا كانت $\widehat{TRA} = 105^\circ$:

  • $\widehat{RIT} = \widehat{RAT} = 68^\circ$.
  • $\widehat{AIT} = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$.
  • $\widehat{RTA}$ غير محددة مباشرة، لكن مجموع زوايا الرباعي 360°.

ملاحظة: يبدو أن هناك خطأ في معطيات الشكل الثاني. لكن بتطبيق القواعد العامة: الزاوية المقابلة لـ 68° هي 68°، والزاوية المقابلة لـ 105° هي 105°. ومجموع الزاويتين المتتاليتين يجب أن يكون 180°، وهو ما لا يتحقق هنا ($105+68 \neq 180$).

تمارين متنوعة
2-10

تم تجميع التمارين المتبقية هنا كنقاط سريعة للحل. يمكنك محاولة حلها بنفسك وتطبيق نفس المبادئ.

  • تمرين 6 (شبه منحرف): لإثبات أن ABED متوازي أضلاع، يكفي إثبات أن (AB)//(ED) و (AD)//(BE). المعطيات توفر لك هذا مباشرة.
  • تمرين 7 (المركز): استخدم خصائص التناظر المركزي حول O. صورة M هي N، وصورة A هي C، وصورة B هي D. إذن صورة القطعة [AM] هي [CN]. وبما أن التناظر المركزي يحافظ على الأطوال، فإن AM = CN.
  • تمرين 5 (بناء): لإيجاد D، ارسم مستقيماً يمر من A ويوازي (BC)، ثم ارسم مستقيماً يمر من C ويوازي (AB). نقطة تقاطعهما هي D. لإثبات أن C منتصف [DF]: في متوازيي الأضلاع ABCD و ABFC، القطعتان [DC] و [CF] كلتاهما موازية لـ [AB] ومساوية لها في الطول، و C نقطة مشتركة بينهما، فتكون D و C و F في استقامة واحدة مع DC = CF، إذن C منتصف [DF].