تمارين في متوازي الأضلاع

دفواراتي
متوازي الأضلاع والتوازي
التمرين 1

OSMA متوازي الأضلاع.

  1. أنشئ المستقيم (\(\Delta\)) الموازي لـ (AS) والمار من النقطة M والذي يقطع (OS) في N.
  2. بين أن ASNM متوازي الأضلاع.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لإثبات أن رباعيا هو متوازي أضلاع، يمكنك إثبات أن كل ضلعين متقابلين متوازيان. استخدم المعطيات الموجودة في التمرين.

📝 الطريقة

  1. لديك من المعطيات أن (MN) يوازي (AS).
  2. استخدم خصائص متوازي الأضلاع OSMA لإيجاد علاقة توازٍ بين الضلعين الآخرين.
  3. استنتج طبيعة الرباعي ASNM.

✅ الحل الكامل

لدينا (MN) يوازي (AS) (معطى).
بما أن OSMA متوازي أضلاع، فإن (AM) يوازي (OS). وبما أن N نقطة من (OS)، فإن (AM) يوازي (SN).
في الرباعي ASNM، كل ضلعين متقابلين متوازيان. إذن ASNM متوازي أضلاع.

التناظر المركزي ومتوازي الأضلاع
التمرين 2

ABC مثلث و I منتصف [AB] والنقطة D مماثلة النقطة C بالنسبة للنقطة I.

ما طبيعة الرباعي ADBC؟

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم خاصية أقطار متوازي الأضلاع. ما هي العلاقة بين النقطة I والقطعتين [AB] و [CD]؟

📝 الطريقة

  1. من المعطيات، I هي منتصف [AB].
  2. من تعريف التناظر المركزي، استنتج موقع I بالنسبة للقطعة [CD].
  3. لاحظ أن [AB] و [CD] هما قطرا الرباعي ADBC واستنتج طبيعته.

✅ الحل الكامل

لدينا I منتصف [AB] (معطى).
بما أن D مماثلة C بالنسبة للنقطة I، فإن I هي منتصف [CD].
في الرباعي ADBC، القطران [AB] و [CD] يتقاطعان في منتصفهما I. إذن ADBC متوازي أضلاع.

زوايا متوازي الأضلاع
التمرين 3

ABCD متوازي أضلاع حيث \(\widehat{ABC} = 60^\circ\) و \(\widehat{DAB} = 120^\circ\).

أحسب قياس \(\widehat{BCD}\) و \(\widehat{ADC}\).

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر خصائص الزوايا في متوازي الأضلاع: كل زاويتين متقابلتين متقايستان، وكل زاويتين متتاليتين متكاملتان (مجموعهما 180 درجة).

📝 الطريقة

  1. الزاوية \(\widehat{BCD}\) تقابل الزاوية \(\widehat{DAB}\). استنتج قياسها.
  2. الزاوية \(\widehat{ADC}\) تقابل الزاوية \(\widehat{ABC}\). استنتج قياسها.
  3. يمكنك أيضا استخدام خاصية الزوايا المتتالية للتحقق.

✅ الحل الكامل

بما أن ABCD متوازي أضلاع، فإن كل زاويتين متقابلتين متقايستان.
- الزاوية \(\widehat{BCD}\) تقابل الزاوية \(\widehat{DAB}\)، إذن \(\widehat{BCD} = \widehat{DAB} = 120^\circ\).
- الزاوية \(\widehat{ADC}\) تقابل الزاوية \(\widehat{ABC}\)، إذن \(\widehat{ADC} = \widehat{ABC} = 60^\circ\).

التناظر ومتوازي الأضلاع
التمرين 4

ABC مثلث.

  1. أنشئ 'A و 'B مماثلتي A و B على التوالي بالنسبة للنقطة C.
  2. أثبت أن الرباعي 'ABA'B متوازي الأضلاع.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم تعريف التناظر المركزي لإيجاد علاقة بين النقطة C والقطعتين ['AA] و ['BB]. ثم استخدم خاصية أقطار متوازي الأضلاع.

📝 الطريقة

  1. من تعريف التناظر، استنتج أن C هي منتصف ['AA].
  2. وبالمثل، استنتج أن C هي منتصف ['BB].
  3. لاحظ أن ['AB] و ['BA] هما قطرا الرباعي 'ABA'B واستنتج طبيعته.

✅ الحل الكامل

لدينا 'A مماثلة A بالنسبة لـ C، إذن C منتصف ['AA].
ولدينا 'B مماثلة B بالنسبة لـ C، إذن C منتصف ['BB].
في الرباعي 'ABA'B، القطران هما ['AB] و ['BA]. يتقاطعان في النقطة C. بما أن C منتصف القطر ['AA] ومنتصف القطر ['BB]، فإن القطرين يتقاطعان في منتصفهما. إذن 'ABA'B متوازي الأضلاع.

مثلث متساوي الأضلاع
التمرين 5

EFG مثلث متساوي الأضلاع و I منتصف [FG].

  1. أنشئ H مماثلة النقطة E بالنسبة للنقطة I.
  2. أثبت أن EFHG متوازي الأضلاع.
  3. استنتج قياس الزاوية \(\widehat{FHG}\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

أولاً، أثبت أن الرباعي متوازي أضلاع باستخدام خاصية الأقطار. بعد ذلك، استنتج خصائص أخرى (معين؟). استخدم خصائص زوايا المثلث متساوي الأضلاع وزوايا المعين.

📝 الطريقة

  1. (2) بين أن قطري الرباعي EFHG يتقاطعان في منتصفهما I.
  2. (3) بين أن متوازي الأضلاع EFHG هو معين لأن له ضلعان متجاوران متقايسان (EF = EG). في المعين، القطر (EH) هو منصف للزاوية \(\widehat{FEG}\).

✅ الحل الكامل

2) لدينا I منتصف [FG] (معطى). ولدينا H مماثلة E بالنسبة لـ I، إذن I منتصف [EH]. بما أن قطري الرباعي EFHG يتقاطعان في منتصفهما I، فهو متوازي أضلاع.
3) بما أن المثلث EFG متساوي الأضلاع، فإن EF = EG. متوازي الأضلاع EFHG له ضلعان متجاوران متقايسان، فهو إذن معين.
في المثلث متساوي الأضلاع EFG، كل زواياه تساوي 60°. إذن \(\widehat{FEG} = 60^\circ\).
في المعين EFHG، القطر [EH] هو منصف للزاوية \(\widehat{FEG}\). إذن \(\widehat{FEH} = \widehat{GEH} = 60^\circ / 2 = 30^\circ\).
بما أن EFHG متوازي أضلاع، فإن (FH) يوازي (EG). والمستقيم (EH) قاطع لهما. إذن الزاويتان \(\widehat{FHG}\) و \(\widehat{GEH}\) متبادلتان داخليا ومتقايستان. إذن \(\widehat{FHG} = \widehat{GEH} = 30^\circ\).

متوازي الأضلاع والمنتصفات
التمرين 6

EFGH متوازي الأضلاع بحيث: EF=4cm و EH=6cm و \(\widehat{HEF} = 40^\circ\).

أنشئ R منتصف [EF] و (\(\Delta\)) المستقيم الموازي للمستقيم (EH) والمار من النقطة R بحيث يقطع المستقيم (HG) في النقطة S.

  1. بين أن ERSH متوازي الأضلاع.
  2. أحسب \(\widehat{RSH}\) و \(\widehat{EHS}\).
  3. بين أن S منتصف [HG].
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم تعريف متوازي الأضلاع (الأضلاع المتقابلة المتوازية) وخصائص زواياه. لإثبات أن S منتصف [HG]، استخدم نظرية المنتصفين أو خصائص متوازي الأضلاع الذي أنشأته.

📝 الطريقة

  1. (1) لديك (RS) يوازي (EH) (معطى). بين أن (ER) يوازي (HS).
  2. (2) استخدم خصائص الزوايا المتقابلة والمتتالية في متوازي الأضلاع ERSH.
  3. (3) بين أن HS = ER. ثم قارن ER بـ HG باستخدام خصائص متوازي الأضلاع EFGH.

✅ الحل الكامل

1) لدينا (RS) يوازي (EH) (معطى).
بما أن EFGH متوازي أضلاع، فإن (EF) يوازي (HG). وبما أن R على (EF) و S على (HG)، فإن (ER) يوازي (HS).
الرباعي ERSH له كل ضلعين متقابلين متوازيان، إذن هو متوازي أضلاع.

2) بما أن ERSH متوازي أضلاع، فإن زواياه المتقابلة متقايسة والمتتالية متكاملة.
- \(\widehat{RSH}\) تقابل \(\widehat{REH}\) (وهي نفسها \(\widehat{HEF}\)). إذن \(\widehat{RSH} = 40^\circ\).
- \(\widehat{EHS}\) تلي \(\widehat{REH}\). إذن \(\widehat{EHS} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\).

3) بما أن ERSH متوازي أضلاع، فإن HS = ER. ولدينا R منتصف [EF]، إذن \(ER = \frac{1}{2}EF = \frac{1}{2} \times 4 = 2\). إذن HS = 2cm.
بما أن EFGH متوازي أضلاع، فإن HG = EF = 4cm.
لدينا S تنتمي إلى [HG] و HS=2cm و HG=4cm. لا يمكن استنتاج أن S منتصف [HG] إلا إذا كانت S بين H و G. (هناك حاجة لتوضيح بناء S).

مثلث قائم ومتوازي أضلاع
التمرين 7

ABC مثلث قائم الزاوية في A بحيث: AC = 4cm و \(\widehat{ACB} = 40^\circ\) و E منتصف [AB].

  1. أحسب \(\widehat{ABC}\).
  2. ليكن المستقيم (\(\Delta\)) المار من النقطة E والعمودي على المستقيم (AB). بين أن (\(\Delta\)) يوازي (AC).
  3. لتكن النقطة D مماثلة C بالنسبة للنقطة E.
    أ) أثبت أن BD = 4cm.
    ب) برهن أن الرباعي ADBC متوازي الأضلاع.
    ج) استنتج أن \(\widehat{ADB} = 40^\circ\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة. استخدم خاصية "المستقيمان العموديان على نفس المستقيم متوازيان". لإثبات أن رباعيًا متوازي أضلاع، استخدم خاصية الأقطار.

📝 الطريقة

  1. (1) استخدم حقيقة أن مجموع زوايا المثلث ABC هو 180° وأن \(\widehat{BAC} = 90^\circ\).
  2. (2) لديك (\(\Delta\))⊥(AB) و (AC)⊥(AB). استنتج العلاقة بينهما.
  3. (3) بين أن المثلثين AEC و BED متقايسان (ضلع-زاوية-ضلع). استنتج تساوي BD و AC.

✅ الحل الكامل

1) في المثلث القائم ABC، \(\widehat{ABC} = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\).
2) لدينا (\(\Delta\))⊥(AB) (معطى) والمثلث قائم في A، إذن (AC)⊥(AB). بما أن المستقيمين (\(\Delta\)) و (AC) عموديان على نفس المستقيم (AB)، فهما متوازيان.
3أ) نقارن المثلثين AEC و BED. لدينا:

  • AE = EB (لأن E منتصف [AB]).
  • CE = ED (لأن D مماثلة C بالنسبة لـ E).
  • الزاويتان \(\widehat{AEC}\) و \(\widehat{BED}\) متقابلتان بالرأس، إذن متقايستان.
إذن المثلثان AEC و BED متقايسان (ضلع-زاوية-ضلع). نستنتج أن BD = AC = 4cm.
3ب) لدينا E منتصف [AB] (معطى) و E منتصف [CD] (لأن D مماثلة C). بما أن قطري الرباعي ADBC يتقاطعان في منتصفهما E، فهو متوازي أضلاع.
3ج) بما أن ADBC متوازي أضلاع، فإن (AD) يوازي (BC). المستقيم (DB) قاطع لهما. إذن الزاويتان \(\widehat{ADB}\) و \(\widehat{CBD}\) (وهي نفسها \(\widehat{CBA}\)) متبادلتان داخليا. إذن \(\widehat{ADB} = \widehat{ABC} = 50^\circ\). (هناك خطأ في نص السؤال الذي يقول 40°).

مركز متوازي الأضلاع
التمرين 8

ABCD متوازي الأضلاع مركزه O.

M نقطة من [AB] و N نقطة من [CD] بحيث: AM = CN.

  1. أثبت أن الرباعي AMCN متوازي الأضلاع.
  2. استنتج أن النقطة M هي مماثلة النقطة N بالنسبة للنقطة O.
  3. بين أن الرباعي MBND متوازي الأضلاع.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لإثبات أن رباعيا متوازي أضلاع، يمكنك إثبات أن له ضلعين متقابلين متوازيين ومتقايسين. استخدم خاصية مركز متوازي الأضلاع.

📝 الطريقة

  1. (1) بين أن (AM) يوازي (CN). ثم استخدم المعطى AM = CN.
  2. (2) بما أن AMCN متوازي أضلاع، فإن قطريه [AC] و [MN] لهما نفس المنتصف. قارن هذا المنتصف بالنقطة O.
  3. (3) بين أن MB = ND وأن (MB) يوازي (ND).

✅ الحل الكامل

1) بما أن ABCD متوازي أضلاع، فإن (AB) يوازي (DC). وبما أن M على [AB] و N على [CD]، فإن (AM) يوازي (CN).
لدينا أيضا AM = CN (معطى).
الرباعي AMCN له ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان، إذن هو متوازي أضلاع.

2) بما أن AMCN متوازي أضلاع، فإن قطريه [AC] و [MN] يتقاطعان في منتصفهما.
وبما أن ABCD متوازي أضلاع مركزه O، فإن O هو منتصف القطر [AC].
إذن، O هو أيضا منتصف القطر [MN].
بما أن O منتصف [MN]، فإن M هي مماثلة N بالنسبة للنقطة O.

3) بما أن ABCD متوازي أضلاع، فإن AB = DC. ولدينا AM = CN. إذن \(MB = AB - AM = DC - CN = ND\).
لدينا (AB) يوازي (DC)، إذن (MB) يوازي (ND).
الرباعi MBND له ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان، إذن هو متوازي أضلاع.