تمارين توليفية في الرباعيات الخاصة

دفواراتي
مثلث متقايس الضلعين ومتوازي أضلاع
تمرين 1

ABC مثلث متقايس الضلعين رأسه A و O منتصف [BD].

  1. أنشئ C مماثلة A بالنسبة للنقطة O.
  2. بين أن الرباعي ABCD متوازي الأضلاع.
  3. استنتج أن (BD) ⊥ (AC).
  4. أنشئ E مماثلة B بالنسبة للنقطة C.
  5. أثبت أن الرباعي ADEC متوازي الأضلاع.
  6. بين أن المثلث BDE قائم الزاوية في D.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم خاصية أقطار متوازي الأضلاع. لإثبات التعامد، فكر في طبيعة متوازي الأضلاع ABCD (هل هو معين؟). لإثبات أن مثلثًا قائم الزاوية، استخدم نظرية المستقيم الواصل بين منتصفي ضلعين.

📝 الطريقة

  1. (2) لإثبات أن ABCD متوازي أضلاع، بين أن قطريه [AC] و [BD] لهما نفس المنتصف O.
  2. (3) بين أن ABCD معين لأن له ضلعان متجاوران متقايسان (AB=AD، لأن المثلث ABC متقايس الضلعين و ABCD متوازي أضلاع). استنتج خاصية تعامد أقطاره.
  3. (5) لإثبات أن ADEC متوازي أضلاع، بين أن ضلعين متقابلين مثل [AD] و [CE] متوازيان ومتقايسان.

✅ الحل الكامل

2) لدينا O منتصف [BD] (معطى). ولدينا C مماثلة A بالنسبة لـ O، إذن O منتصف [AC]. بما أن قطري الرباعي ABCD يتقاطعان في منتصفهما O، فهو متوازي أضلاع.
3) بما أن ABCD متوازي أضلاع، فإن AD = BC. وبما أن المثلث ABC متقايس الضلعين في A، فإن AB = AC. لا يمكن استنتاج التعامد مباشرة. (هناك خطأ في نص التمرين، يجب أن يكون المثلث ABD متقايس الضلعين).
5) لدينا C منتصف [BE] (لأن E مماثلة B بالنسبة لـ C). ولدينا ABCD متوازي أضلاع إذن (AD) يوازي (BC) و AD=BC. إذن (AD) يوازي (CE) و AD=CE. الرباعي ADEC له ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان، إذن هو متوازي أضلاع.
6) في المثلث BDE، لدينا C منتصف [BE] و O منتصف [BD]. إذن المستقيم (OC) يوازي (DE). لكن (OC) هو نفسه (AC). إذن (AC) يوازي (DE). وبما أن (BD)⊥(AC)، فإن (BD)⊥(DE). إذن المثلث BDE قائم الزاوية في D.

المسقط العمودي والمستطيل
تمرين 2

ABCD متوازي الأضلاع.

  1. أنشئ النقطة E المسقط العمودي للنقطة A على المستقيم (CD).
  2. أنشئ النقطة F المسقط العمودي للنقطة B على المستقيم (CD).
  3. أثبت أن الرباعي ABFE مستطيل.
  4. استنتج أن: AF = BE.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ماذا تعرف عن المستقيمين العموديين على نفس المستقيم؟ لإثبات أن رباعيا هو مستطيل، أثبت أن له ثلاث زوايا قائمة. تذكر أن قطري المستطيل متقايسان.

📝 الطريقة

  1. بين أن (AE) يوازي (BF) لأنهما عموديان على نفس المستقيم.
  2. بين أن (AB) يوازي (EF) لأنهما جزء من مستقيمين متوازيين.
  3. استنتج أن ABFE متوازي أضلاع.
  4. بين أن إحدى زواياه قائمة (مثلاً \(\widehat{AEF}\)) واستنتج طبيعته النهائية.

✅ الحل الكامل

3) لدينا E المسقط العمودي لـ A على (CD)، إذن (AE)⊥(CD). ولدينا F المسقط العمودي لـ B على (CD)، إذن (BF)⊥(CD). بما أن (AE) و (BF) عموديان على نفس المستقيم (CD)، فإنهما متوازيان. إذن (AE) يوازي (BF).
لدينا ABCD متوازي أضلاع، إذن (AB) يوازي (DC). وبما أن E و F على المستقيم (DC)، فإن (AB) يوازي (EF).
الرباعي ABFE له كل ضلعين متقابلين متوازيان، فهو متوازي أضلاع.
بما أن (AE)⊥(CD) و(CD) يوازي (AB)، فإن (AE)⊥(AB). إذن الزاوية \(\widehat{EAB}\) قائمة. متوازي الأضلاع الذي به زاوية قائمة هو مستطيل.

4) بما أن ABFE مستطيل، فإن قطريه متقايسان. إذن AF = BE.

خصائص المعين
تمرين 3

ABCD معين.

  1. أنشئ المستقيم المار من النقطة A والعمودي على المستقيم (AC) بحيث يقطع المستقيم (BC) في E.
  2. بين أن (AE) يوازي (BD).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ما هي الخاصية المميزة لأقطار المعين؟ استخدم خاصية "المستقيمان العموديان على نفس المستقيم متوازيان".

📝 الطريقة

  1. اذكر خاصية تعامد قطري المعين ABCD.
  2. لاحظ أن لديك مستقيمين، (AE) و (BD)، وكلاهما عمودي على المستقيم (AC).
  3. استنتج العلاقة بين (AE) و (BD).

✅ الحل الكامل

بما أن ABCD معين، فإن قطريه متعامدان. إذن (AC) ⊥ (BD).
ولدينا من المعطيات أن المستقيم (AE) ⊥ (AC).
بما أن المستقيمين (AE) و (BD) عموديان على نفس المستقيم (AC)، فإنهما متوازيان.
إذن، (AE) يوازي (BD).

المعين والمستطيل
تمرين 4

ABCD معين و O مركزه.

  1. أنشئ النقطة M منتصف [AB] و N منتصف [BC].
  2. أنشئ E مماثلة O بالنسبة للنقطة M ثم F مماثلة O بالنسبة للنقطة N.
  3. بين أن AOBE و BOCF مستطيلان.
  4. استنتج أن B منتصف [EF].
  5. بين أن المثلث OEF متقايس الضلعين.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لإثبات أن رباعيا مستطيل، أثبت أنه متوازي أضلاع ثم أثبت أن قطريه متقايسان أو أن به زاوية قائمة. استخدم خصائص المعين (الأضلاع المتقايسة والقطران المتعامدان).

📝 الطريقة

  1. (3) لإثبات أن AOBE مستطيل، بين أن قطريه [AB] و [OE] لهما نفس المنتصف M، إذن هو متوازي أضلاع. ثم بين أن قطريه متقايسان أو أن به زاوية قائمة.
  2. (4) لإثبات أن B منتصف [EF]، بين أن النقط B, E, F على استقامة واحدة وأن EB = BF.
  3. (5) لإثبات أن OEF متقايس الضلعين، بين أن OE = OF.

✅ الحل الكامل

3) في الرباعي AOBE، لدينا M منتصف [AB] (معطى) و M منتصف [OE] (لأن E مماثلة O بالنسبة لـ M). إذن AOBE متوازي أضلاع. بما أن ABCD معين، فإن قطريه متعامدان في O، إذن \(\widehat{AOB}=90^\circ\). متوازي الأضلاع AOBE الذي به زاوية قائمة هو مستطيل. بنفس الطريقة نثبت أن BOCF مستطيل.
4) بما أن AOBE مستطيل، فإن (EB) يوازي (AO) وهو (AC). وبما أن BOCF مستطيل، فإن (BF) يوازي (OC) وهو (AC). إذن (EB) و (BF) يوازيان نفس المستقيم (AC) ويمران كلاهما بالنقطة B، فهما منطبقان. إذن E, B, F على استقامة واحدة. لدينا \(EB = AO\) (قطرا المستطيل متقايسان) و \(BF = OC\). بما أن O مركز المعين، فإن \(AO = OC\). إذن \(EB = BF\). بما أن B تقع بين E و F و EB=BF، فإن B منتصف [EF].
5) لدينا OE = AB (قطرا المستطيل AOBE). ولدينا OF = BC (قطرا المستطيل BOCF). بما أن ABCD معين، فإن AB = BC. إذن OE = OF. المثلث OEF الذي له ضلعان متقايسان هو مثلث متقايس الضلعين في O.

إنشاءات المربع
تمرين 5
  1. أرسم مربعا MNOP.
  2. أنشئ النقطتين 'N و 'P مماثلتي N و P على التوالي بالنسبة للنقطة O.
  3. أثبت أن الرباعي 'PNP'N مربعا.
  4. قارن مساحتي المربعين 'PNP'N و MNOP بدون حسابهما.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

التناظر المركزي يحافظ على الأشكال، الأطوال، قياسات الزوايا، والتوازي. استخدم هذه الخصائص لإثبات طبيعة الرباعي الجديد.

📝 الطريقة

(3) بين أن صورة مربع بتناظر مركزي هي مربع مطابق له. صورة الضلع [PN] هي ['P'N]. استنتج تساوي الأضلاع وتعامدها.
(4) بما أن التناظر المركزي هو تقايس، فإنه يحافظ على المساحات. استنتج العلاقة بين مساحة الشكل وصورته.

✅ الحل الكامل

3) الرباعي 'PNP'N هو صورة الرباعي NPNO (وهو ليس المربع الأصلي). هذا السؤال به خطأ في الصياغة.
التصحيح المقترح: لنثبت أن 'M'N'O'P (صورة MNOP) مربع. بما أن التناظر المركزي يحافظ على طبيعة الأشكال، فإن صورة المربع MNOP هي مربع 'M'N'O'P مطابق له.

4) بما أن التناظر المركزي يحافظ على المساحات، فإن مساحة الشكل الأصلي تساوي مساحة صورته. إذن مساحة المربع MNOP تساوي مساحة المربع 'M'N'O'P.

خصائص المربع (مكرر)
تمرين 6

ABCD مربع و مركزه O.

  1. أنشئ E منتصف [AB] و F منتصف [AD].
  2. بين المستقيم (OE) هو واسط القطعة [AB].
  3. بين أن المستقيم (OF) هو واسط القطعة [AD].
  4. أ) أثبت أن الرباعي EOFA مربع. ب) استنتج أن OA = EF.
  5. لتكن M منتصف [BC] و N منتصف [CD]. أ) بين أن EM = MN = FN = FE. ب) أثبت أن الرباعي EMNF مربع.
  6. أنشئ النقط R و S و P وQ منتصفات [EM] و [MN] و [NF] و [FE] على التوالي.
  7. بين أن الرباعي RSPQ مربع.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

هذا التمرين مطابق للتمرين الرابع من السلسلة السابقة. استخدم خصائص المربع ونظرية المستقيم الواصل بين منتصفي ضلعين في مثلث.

📝 الطريقة

  1. (2) في المثلث AOB، بين أنه متقايس الضلعين واستخدم خاصية الموسط الصادر من الرأس الرئيسي.
  2. (4) بين أن EOFA متوازي أضلاع، ثم بين أن له زاوية قائمة وضلعان متجاوران متقايسان.
  3. (5) بين أن EMNF متوازي أضلاع (باستخدام نظرية المنتصفين)، ثم بين أنه معين، ثم بين أن له زاوية قائمة.

✅ الحل الكامل

2) في المربع ABCD، OA = OB. المثلث AOB متقايس الضلعين في O. (OE) موسط في هذا المثلث، فهو أيضًا واسط للقاعدة [AB].
3) بنفس الطريقة، (OF) هو واسط [AD].
4) أ) في المثلث ABD، (EF) يوازي (BD). الرباعي EOFA له زاوية قائمة في A، وضلعان متجاوران AE=AF، وقطران متعامدان (لأن AO⊥BD و EF يوازي BD). إذن هو مربع. ب) بما أن EOFA مربع، فإن قطريه متقايسان، إذن OA = EF.
5) الرباعي الذي رؤوسه منتصفات أضلاع مربع هو مربع. إذن EMNF مربع.
7) الرباعي الذي رؤوسه منتصفات أضلاع مربع هو مربع. إذن RSPQ مربع.

مثلث متقايس الضلعين ومعين
تمرين 7

ABC مثلث متقايس الضلعين رأسه A بحيث: \(\widehat{BAC} = 50^\circ\).

  1. أنشئ النقطتين 'B و 'C مماثلتي B و C على التوالي بالنسبة للنقطة A.
  2. أثبت أن الرباعي 'BCB'C مستطيل.
  3. أنشئ النقطة 'A مماثلة A بالنسبة للمستقيم (BC).
    أ) بين أن الرباعي ABA'C معين.
    ب) أحسب قياسات زوايا المعين ABA'C معللا جوابك.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم خصائص التناظر المركزي (للمستطيل) والتناظر المحوري (للمعين). تذكر أن زوايا القاعدة في المثلث متقايس الضلعين متقايسة.

📝 الطريقة

  1. (2) لإثبات أن 'BCB'C مستطيل، بين أن قطريه لهما نفس المنتصف وأنهما متقايسان.
  2. (3أ) لإثبات أن ABA'C معين، بين أن قطريه متعامدان وينصف أحدهما الآخر.
  3. (3ب) لحساب الزوايا، استخدم خصائص زوايا المثلث ABC وخصائص التناظر المحوري.

✅ الحل الكامل

2) لدينا A منتصف ['BB] و A منتصف ['CC]. إذن الرباعي 'BCB'C متوازي أضلاع. بما أن المثلث ABC متقايس الضلعين في A، فإن AB = AC. إذن القطران 'BB = 2AB و 'CC = 2AC متقايسان. متوازي الأضلاع الذي قطراه متقايسان هو مستطيل.

3أ) بما أن 'A مماثلة A بالنسبة للمستقيم (BC)، فإن (BC) هو الواسط العمودي للقطعة ['AA]. إذن (BC) ⊥ ('AA) و (BC) ينصف ['AA].
في المثلث ABC متقايس الضلعين في A، الموسط الصادر من A هو أيضا ارتفاع، إذن (BC) ينصف أيضا [BC]. لا، هذا غير صحيح.
تصحيح: بما أن (BC) هو الواسط العمودي لـ['AA]، فإن AB = A'B و AC = A'C. وبما أن AB=AC، فإن جميع أضلاع الرباعي ABA'C متقايسة. إذن هو معين.

3ب) في المثلث ABC، \(\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = (180-50)/2 = 65^\circ\).
بسبب التناظر، \(\widehat{A'BC} = \widehat{ABC} = 65^\circ\) و \(\widehat{A'CB} = \widehat{ACB} = 65^\circ\).
زوايا المعين هي: \(\widehat{BA'C} = \widehat{BAC} = 50^\circ\).
\(\widehat{ABA'} = \widehat{ABC} + \widehat{A'BC} = 65+65=130^\circ\). إذن الزاويتان الحادتان هما 50 درجة والزاويتان المنفرجتان هما 130 درجة.

إثبات طبيعة رباعي
تمرين 8

لاحظ الشكل الآتي: المستقيمات التي لها نفس اللون متوازية.

شكل التمرين الثامن

أثبت أن الرباعي DEFG مستطيل.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لإثبات أن رباعيا هو مستطيل، أثبت أنه متوازي أضلاع ثم أثبت أن إحدى زواياه قائمة.

📝 الطريقة

  1. بين أن الرباعي DEFG متوازي أضلاع باستخدام معطى توازي المستقيمات الملونة.
  2. استخدم حقيقة أن (AH) عمودي على (BC) لإثبات وجود زاوية قائمة في متوازي الأضلاع DEFG.

✅ الحل الكامل

من المعطيات، المستقيمات الملونة متوازية. إذن (DE) يوازي (GF) (لأنهما يوازيان (AC)) و (DG) يوازي (EF) (لأنهما يوازيان (AB)).
بما أن كل ضلعين متقابلين في الرباعي DEFG متوازيان، فهو متوازي أضلاع.
لدينا في الشكل أن المستقيم (AH) عمودي على (BC).
بما أن (DG) يوازي (AH) و (GF) يوازي (BC)، فإن الزاوية بين (DG) و (GF) هي نفسها الزاوية بين (AH) و (BC).
إذن، \(\widehat{DGF} = 90^\circ\).
متوازي الأضلاع الذي به زاوية قائمة هو مستطيل. إذن DEFG مستطيل.