تمارين محلولة حول متوازي الأضلاع

دفواراتي
المنتصفات والتناظر
التمرين 1

ABC مثلث. M و N منتصفا [AB] و [AC] على التوالي. E هي نظيرة النقطة C بالنسبة لـ M. المستقيم (MN) يقطع (EB) في النقطة I.

  1. أنشئ الشكل.
  2. بين أن ACBE متوازي الأضلاع.
  3. استنتج أن (AC) يوازي (EB).
  4. برهن أن I نظيرة N بالنسبة للنقطة M.
  5. برهن أن CNIB متوازي الأضلاع.
  6. استنتج أن (MN) يوازي (BC).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم خاصية أقطار متوازي الأضلاع. تذكر نظرية المستقيم المار من منتصفي ضلعين في مثلث. التناظر المركزي يحافظ على التوازي.

📝 الطريقة

  1. (2) بين أن قطري الرباعي ACBE لهما نفس المنتصف M.
  2. (4) استخدم التناظر المركزي الذي مركزه M. ما هي صورة المستقيم (AC)؟ ما هي صورة النقطة N؟
  3. (5) بين أن الضلعين [IB] و [CN] متوازيان ومتقايسان.

✅ الحل الكامل

2) لدينا E نظيرة C بالنسبة لـ M، إذن M منتصف [EC]. ولدينا M منتصف [AB] (معطى). بما أن قطري الرباعي ACBE يتقاطعان في منتصفهما M، فهو متوازي أضلاع.

3) بما أن ACBE متوازي أضلاع، فإن أضلاعه المتقابلة متوازية. إذن (AC) يوازي (EB).

4) نعتبر التناظر المركزي الذي مركزه M. صورة C هي E، وصورة B هي A. إذن صورة المستقيم (BC) هي المستقيم (EA).
بما أن N منتصف [AC]، فإن صورة N هي منتصف صورة [AC] وهي [EB]. ليكن I' منتصف [EB]. إذن صورة N هي I'.
حسب نظرية المنتصفين في المثلث ABC، فإن (MN) يوازي (BC). إذن المستقيم (MN) هو نفسه (I'M). بما أن I على (EB) و (MN)، فإن I هي نفسها I'. إذن I نظيرة N بالنسبة لـ M.

5) بما أن I نظيرة N بالنسبة لـ M، فإن M منتصف [NI]. ولدينا M منتصف [AB]. إذن الرباعي ANBI متوازي أضلاع، وبالتالي IB = AN و (IB) يوازي (AN).
بما أن N منتصف [AC]، فإن AN = NC. إذن IB = NC. وبما أن (IB) يوازي (AN) و A,N,C على استقامة، فإن (IB) يوازي (NC).
الرباعي CNIB له ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان، فهو متوازي أضلاع.

6) بما أن CNIB متوازي أضلاع، فإن (MN) (وهو نفسه (IN)) يوازي (BC).

إنشاءات متوازية
التمرين 2

ACBD متوازي الأضلاع. J نقطة من [AD] و H نقطة من [CB] حيث أن: HB = DJ. المستقيم (d) المار من A و H يقطع (JB) في I. المستقيم ('d) المار من J و C يقطع (DH) في T.

  1. أنشئ الشكل.
  2. بين أن AHCJ متوازي الأضلاع.
  3. بين أن JBHD متوازي الأضلاع.
  4. أثبت أن: JT = IH.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لإثبات أن رباعيا متوازي أضلاع، أثبت أن له ضلعين متقابلين متوازيين ومتقايسين. لإثبات تساوي قطعتين، يمكنك إثبات أنهما ضلعان متقابلان في متوازي أضلاع.

📝 الطريقة

  1. (2) بين أن (AJ) يوازي (HC) ثم بين أن AJ = HC.
  2. (3) بين أن (JB) لا يوازي (HD). (هناك خطأ في نص التمرين، يجب أن يكون الرباعي JBH D).
  3. (4) أثبت أن الرباعي JTHI متوازي أضلاع.

✅ الحل الكامل

2) بما أن ACBD متوازي أضلاع، فإن (AD) يوازي (CB)، إذن (AJ) يوازي (HC).
لدينا AD = CB. وبما أن DJ = HB، فإن \(AJ = AD - DJ = CB - HB = HC\).
الرباعي AHCJ له ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان، فهو متوازي أضلاع.

3) لدينا (AD) يوازي (CB)، إذن (JD) يوازي (BH). ولدينا DJ = HB (معطى).
الرباعي JBHD له ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان، فهو متوازي أضلاع.

4) بما أن AHCJ متوازي أضلاع، فإن (AH) يوازي (JC)، أي (IH) يوازي (JT).
بما أن JBHD متوازي أضلاع، فإن (JB) يوازي (HD)، أي (IJ) يوازي (TH).
الرباعي JTHI له كل ضلعين متقابلين متوازيان، فهو متوازي أضلاع. إذن أضلاعه المتقابلة متقايسة، ومنه JT = IH.

المركز والمنتصف
التمرين 3

ABCD متوازي الأضلاع مركزه O. على القطعة [AC]، أنشئ النقطتين I و J بحيث يكون AI = IJ = CJ.

  1. برهن أن O منتصف [IJ].
  2. بين أن الرباعي DIBJ متوازي الأضلاع.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم حقيقة أن O هو منتصف [AC]. عبر عن المسافات AO و OC بدلالة AI, IO, OJ, JC.

📝 الطريقة

  1. (1) اكتب AO = AI + IO و OC = OJ + JC. استخدم حقيقة أن AO = OC و AI = CJ.
  2. (2) بين أن قطري الرباعي DIBJ لهما نفس المنتصف O.

✅ الحل الكامل

1) لدينا O منتصف [AC]، إذن AO = OC. نعلم أن AO = AI + IO و OC = OJ + JC.
إذن AI + IO = OJ + JC. وبما أن AI = CJ (معطى)، فإن IO = OJ.
بما أن O تنتمي إلى [IJ] و IO=OJ، فإن O منتصف [IJ].

2) لدينا O منتصف [BD] (لأن O مركز متوازي الأضلاع).
ومن السؤال السابق، O منتصف [IJ].
بما أن قطري الرباعي DIBJ يتقاطعان في منتصفهما O، فهو متوازي أضلاع.

نظرية المنتصفين
التمرين 4

ABC مثلث. I و J و K منتصفات [AB] و [AC] و [BC] على التوالي.

  1. أنشئ الشكل.
  2. بين أن IJKB متوازي الأضلاع.
  3. بين أن: \(IJ = \frac{1}{2} BC\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم نظرية المستقيم المار من منتصفي ضلعين في مثلث لإيجاد علاقات توازٍ وتساوٍ.

📝 الطريقة

  1. (2) في المثلث ABC، طبق نظرية المنتصفين على I و J. ثم طبقها على J و K. استنتج علاقات التوازي وأثبت أن IJKB متوازي أضلاع.
  2. (3) من متوازي الأضلاع IJKB، استنتج علاقة بين IJ و BK. ثم استخدم حقيقة أن K منتصف [BC].

✅ الحل الكامل

2) في المثلث ABC، لدينا I منتصف [AB] و J منتصف [AC]. إذن (IJ) يوازي (BC). وبما أن K على (BC)، فإن (IJ) يوازي (BK).
في المثلث ABC، لدينا J منتصف [AC] و K منتصف [BC]. إذن (JK) يوازي (AB). وبما أن I على (AB)، فإن (JK) يوازي (IB).
الرباعي IJKB له كل ضلعين متقابلين متوازيان، فهو متوازي أضلاع.

3) بما أن IJKB متوازي أضلاع، فإن IJ = BK.
ولدينا K منتصف [BC]، إذن \(BK = \frac{1}{2}BC\).
نستنتج أن \(IJ = \frac{1}{2} BC\).

إنشاءات متوازية (2)
التمرين 5

[AB] قطعة منتصفها I. M نقطة لا تنتمي إلى (AB). (D) مستقيم يمر من A ويوازي (MB) و (\(\Delta\)) مستقيم يمر من B ويوازي (MA). (D) و (\(\Delta\)) يتقاطعان في نقطة N.

  1. أنجز شكلا مناسبا.
  2. بين أن I منتصف [MN].
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

بين أن الرباعي AMBN متوازي أضلاع. ثم استخدم خاصية تقاطع أقطاره.

📝 الطريقة

  1. من المعطيات، لديك (AN) يوازي (MB) و (BN) يوازي (MA).
  2. استنتج طبيعة الرباعي AMBN.
  3. استنتج أن قطريه [AB] و [MN] لهما نفس المنتصف.
  4. استخدم حقيقة أن I منتصف [AB].

✅ الحل الكامل

لدينا (AN) يوازي (MB) و (BN) يوازي (MA) (معطى).
إذن الرباعي AMBN له كل ضلعين متقابلين متوازيان، فهو متوازي أضلاع.
في متوازي الأضلاع، يتقاطع القطران في منتصفهما. إذن منتصف القطر [MN] هو نفسه منتصف القطر [AB].
وبما أن I هو منتصف [AB] (معطى)، فإن I منتصف [MN].

زاويا متوازي الأضلاع
التمرين 6

AOE مثلث قائم الزاوية في O حيث \(\widehat{OAE} = 73^\circ\). M نقطة من المستوى تحقق AOME متوازي الأضلاع.

  1. أنجز شكلا مناسبا.
  2. أحسب قياس \(\widehat{EOM}\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم خصائص الزوايا المتبادلة داخليا الناتجة عن توازي أضلاع متوازي الأضلاع. تذكر أن مجموع زوايا المثلث القائم (غير القائمة) هو 90 درجة.

📝 الطريقة

  1. في المثلث القائم AOE، احسب قياس الزاوية \(\widehat{AEO}\).
  2. بما أن AOME متوازي أضلاع، فإن (OM) يوازي (AE).
  3. اعتبر (OE) قاطعا لهذين المستقيمين المتوازيين واستنتج العلاقة بين \(\widehat{AEO}\) و \(\widehat{EOM}\).

✅ الحل الكامل

في المثلث AOE القائم في O، لدينا \(\widehat{AEO} = 90^\circ - \widehat{OAE} = 90^\circ - 73^\circ = 17^\circ\).
بما أن AOME متوازي أضلاع، فإن (OM) يوازي (AE).
المستقيم (OE) قاطع لهما، إذن الزاويتان \(\widehat{AEO}\) و \(\widehat{EOM}\) متبادلتان داخليا، وبالتالي متقايستان.
إذن، \(\widehat{EOM} = \widehat{AEO} = 17^\circ\).